光譜共焦法偏心下徑向梯度折射率透鏡的厚度測量

李春艷，李庚鵬，劉繼紅，羅豆，劉佳奕

（西安郵電大學 電子工程學院，陜西 西安 710121）

1 引言

徑向梯度折射率（Gradient Index，GRIN）透鏡是一種軸心折射率最大，折射率沿徑向呈非均勻梯度變化，平端面的圓柱狀透鏡，光線在其內部呈曲線傳播，具有以超短焦距即可實現光束準直或聚焦成像的特點［1-4］。隨著光學系統的微型化、集成化、輕型化發展，徑向GRIN透鏡已成為光通訊、光傳感及光學成像等領域中一種極為重要的光學元件［5-6］。精確的透鏡厚度參數有助于指導GRIN透鏡的應用，便于技術人員把控相關精密光學儀器的性能。

近年來，學者們提出了利用激光自動對焦掃描法、光譜干涉法、共面電容法、視覺圖像法和光譜共焦法等來實現透明材料厚度的非接觸精密測量。激光自動對焦掃描法將被測樣品置于雙向對射光學系統的工作范圍內，軸向掃描透鏡表面，令光學系統的物鏡焦平面與被測樣品的前后表面分別重合，光電探測系統獲得最大軸向光強響應，進而根據樣品前后表面的位置實現樣品的厚度測量。光譜干涉法與共面電容法則分別利用低相干光的光程差變化與待測樣品引起的電容差變化實現厚度測量。這些測量方法具有測量精度低，易受雜光、振動等環境因素干擾的缺點，難以滿足高速、高精度、高穩定性的測量需求。2019年，尚名揚采用3D結構光成像結合多目視覺交會立體測量的方法［7］，實現了變折射率透明材料GRIN透鏡厚度的測量。該方法借助結構光對GRIN透鏡的外觀進行3D成像，利用幾何匹配、數據融合等方法，對圖像信息進行分析得出透鏡外觀特征點的空間坐標，進而獲得GRIN透鏡厚度的高精度測量值，測量誤差為±5 μm［7］。光譜共焦法是一種基于色散原理建立空間位置與各波長之間的精確編碼關系，進而實現空間位置精密測量的方法。該方法具有超高的距離測量分辨率（nm量級）和多表面層析探測的特點，并且對環境與材料具有普遍的適應性［8-11］，可實現單層或多層透明材料厚度的精密測量，但目前使用該方法進行透明材料厚度測量的研究僅限于折射率分布均勻的材料，利用均勻折射率完成厚度測量數據的修訂，對于變折射率材料厚度的測量還未見有報導。

本文基于光譜共焦法的光譜分析實現徑向GRIN透鏡的厚度測量，測量時GRIN透鏡的偏心狀態會改變色散光譜的聚焦特性，引起探測光譜的波峰漂移，進而影響厚度測量的準確度。針對該問題，推導了透鏡偏心與厚度測量誤差之間的關系，并將偏心狀態與光軸對中狀態下的厚度測量值進行對比，驗證了透鏡偏心對厚度測量的影響。

2 光譜共焦系統的構成及工作原理

2.1 系統構成

圖1為光譜共焦厚度測量系統示意圖。它主要由光源、色散選頻光路、掃描控制及數據采集、數據處理等部分組成。光源部分由光源和光源控制器構成，選用Thorlabs光纖耦合式白光LED及LEDD1B驅動器；色散選頻光路部分選用歐姆龍ZW-S5030光纖同軸位移傳感器探頭；數據采集部分選用分辨率為0.5 nm的CCS100小型光譜儀；選用TH200R5S2A多模光纖耦合器連接光源、色散系統與數據采集部分。將歐姆龍ZWS5030光纖同軸位移傳感器固定于連勝LSSP-13XVR五軸精密位移平臺上，將徑向GRIN透鏡固定于Newport公司的線性位移臺（型號：MILS100LM-S，最大行程為100 mm，最小位移量為10 nm，精度為0.5 μm）上，實現徑向GRIN透鏡厚度測量，同時模擬透鏡擺放狀態對厚度測量的影響。

圖1 光譜共焦厚度測量系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of spectral confocal thickness measurement system

2.2 工作原理

該系統中，光源發出寬光譜復色白光，經光路部分產生軸向色散，各光譜波長在一定范圍內的出射光軸上形成對應的單色聚焦點，建立聚焦位置與波長之間的對應關系。如圖2所示，被測樣品徑向GRIN透鏡被置于光路中，上下表面分別反射回特定光波λ1，λ2，而其他光波無法在透鏡表面聚焦形成彌散斑，反射后能夠通過分光器件、圓孔光闌等到達光譜儀的光能極弱，因此透鏡上下表面聚焦光波λ1，λ2在光譜圖上以波峰形式呈現。提取峰值波長λ1，λ2，結合厚度模型即可實現被測GRIN透鏡厚度測量數據的解算。

圖2 光譜共焦法厚度測量的光譜響應Fig.2 Spectral response of thickness measurement by spectral confocal method

3 徑向GRIN透鏡的厚度測量模型

3.1 基于光譜共焦法的厚度測量模型

如圖3所示，徑向GRIN透鏡的折射率軸心處最大，從軸心到邊緣逐漸減小，沿徑向梯度變化，等折射率面是中心軸對稱的圓柱面。透鏡折射率的連續變化，使入射光線在內部發生連續折射，呈曲線傳播，光束平滑且連續地會聚到端面中心，因此GRIN透鏡也稱為自聚焦透鏡。

圖3 徑向GRIN透鏡中的光線傳播軌跡及該透鏡折射率分布Fig.3 Ray path and refractive index distribution of radial GRIN Lens

徑向GRIN透鏡的折射率分布函數為：

其中：n（r）為距離軸心r處的折射率，n0為軸心折射率，α為折射率分布系數，又稱聚焦常數。通過對徑向GRIN透鏡的光線追跡，在笛卡爾坐標系下結合光學拉格朗日函數、光線弧微分方程建立了徑向GRIN透鏡基于光譜共焦法的厚度測量模型。

圖4 徑向GRIN透鏡基于光譜共焦法的厚度測量模型Fig.4 Thickness measurement model of radial GRIN lens based on spectral confocal method

圖4中，GRIN透鏡中心軸與色散物鏡光軸重合，光波λ1與λ2分別聚焦于透鏡上下表面的O點與P點，透鏡實際厚度H即為聚焦點之間的軸向距離OP。設Q點為下表面聚焦光束λ2在透鏡上表面的入射點，Q點與色散物鏡光軸之間的距離為OQ=y0，λ2的入射角和折射角分別為θ1，θ2，λ1與λ2在空氣中的色散距離為h0，光線在透鏡中傳播時遵循微分方程d(ndr/dl)/dl=?n，在笛卡爾坐標系下的形式為：

式中dx/dl，dy/dl，dz/dl為光線3個方向的余弦。由于徑向GRIN透鏡的等折射率面為旋轉圓柱面，因此分析子午面內光線的軌跡具有一般性意義，即dn/dx=0，由式（2）得：

其中Q點的折射率nQ=n（y0），利用光線的弧微分，得：

對式（4）進行二次微分得到：

圖4中，y也可表示光線入射至透鏡時偏離中 心 軸 的 距 離r，由 式（1）得 到d(n2)/dr=代入式（5），得：

由式（6）得出GRIN透鏡內的光線傳播軌跡y（z）為軸向傳播距離z的函數：

式中tanφ0=-n(y0)sinθ2/(αy0)，由入射光線的初始位置（y0，z0）和光線斜率dy0/dz0確定。圖2中tanθ2，結 合 折 射 定 律sinθ1=nQsinθ2，得λ2到 達GRIN透 鏡 下 表 面z=H時：

由于色散聚焦，y（H）=0，GRIN透鏡的厚度H為：

設θ1=θλ2，h0=zλ2-zλ1，將各 項代入式（9），得GRIN透鏡的厚度H為λ1，λ2相關的函數：

式中：θλ2取 決 于色散物 鏡的數值孔 徑NA，zλ為色散物鏡各光線的軸向聚焦點位置，由光譜共焦色散物鏡的色散性能決定，可通過擬合及精確標定得到。根據式（10），利用實際色散物鏡的θλ與精確解調出的光譜儀兩個峰值波長對應的色散距離，即可解算得到待測GRIN透鏡的厚度H。

3.2 GRIN透鏡偏心對其厚度測量的影響

GRIN透鏡擺放偏離某一中心位置，會導致色散物鏡光軸與GRIN透鏡的中心軸之間存在一定的橫向偏心，其折射率分布使得聚焦光線的傳播特性變化，會影響厚度測量的準確度。GRIN透鏡的等折射率面是旋轉圓柱面，|x|=|y|位置處的折射率相等，在坐標系中以y表示偏離GRIN透鏡軸心的距離r，Δy來等效偏心距離，在子午面內研究偏心對GRIN透鏡厚度測量的影響。如圖5所示，存在位置偏心誤差時，GRIN透鏡的中心軸O'z'偏離色散物鏡光軸Oz的距離為Δy=Δr=OO'。根據光譜共焦探測原理，光波λ1仍聚焦于透鏡上表面O點，而光波λ2由于透鏡偏心以及徑向GRIN透鏡的折射率分布隨離軸位置變化的原因，無法在GRIN透鏡下表面實現聚焦。設λ3在下表面聚焦于P'點，在上表面的入射點為Q'，Q″，因透鏡偏心導致Q'，Q″點的折射率不同，Q'P'，Q″P'兩條光線的傳播特性也不同。

圖5 GRIN透鏡偏心時的厚度測量模型Fig.5 Thickness measurement model of GRIN lens with eccentricity

由圖5可知，λ3在GRIN透鏡上表面Q′，Q″點處的入射角均為θ'1，兩點的折射率不同，折射角不同，分別設為θ'2，θ″2。對于色散物鏡，λ1，λ3之間的色散距離h'0=z（λ3）-z（λ1），入射點Q′，Q″與色散物鏡光軸Oz的距離OQ′，OQ″為=h'0tanθ'1，偏離GRIN透鏡中心軸O′z′的距離分別為點處的折射率分別為：

根 據 折 射 定 律sinθ1'=nQ'sinθ2'=nQ″sinθ2''，結合式（9），則Q'P'，Q''P'兩條光線在透鏡下表面z=H處聚焦時的坐標y（H）分別為：

由于yQ'(H)=-yQ″(H)，則有：

其中：

此時H為λ1、λ3及Δy的函數，即：

由式（14）～式（16）可知，對于同一GRIN透鏡，利用光譜共焦法測量厚度時，透鏡偏心導致聚焦于透鏡下表面的光線波長改變。此時，利用光譜儀接收到的兩個峰值波長及透鏡光軸對中狀態下的厚度公式（10）解算得出的厚度，與式（14）～式（16）式中與偏心距離Δy相關的實際厚度之間存在偏差，即由偏心引起的厚度測量誤差ΔH。

色散物鏡參考歐姆龍ZW-S5030光纖同軸位移傳感器（中心工作距離為30 mm，量程為±2 mm），取傳感器的零位工作點作為參考零點位置。由于歐姆龍ZW-S5030光纖位移傳感器探頭的線性度δ=±2.0 μm，GRIN透鏡在量程范圍內的軸向位置改變引起透鏡表面聚焦光波λ1的不同，改變z（λ1），可能對測量結果產生影響。綜合考慮位移傳感器的量程，透鏡的軸向放置位置為-2～-1.5 mm。參考現有的GRIN透鏡產品參數，對厚度H分別為0.78，1.15，2.36，3.93 mm，直徑d分別為0.35，0.5，1，1.8 mm的GRIN透鏡，中心折射率n0分別為1.62，1.629，1.629，1.629，折 射 率分 布 系 數α分 別 為2.02，1.363，0.664，0.364 mm-1，在不同的軸向位置z（λ1）下由偏心距離Δy引起的厚度測量誤差ΔH進行模擬，仿真結果如圖6所示。

由圖6可以看出，厚度H分別為0.78，1.15，2.36，3.93 mm的GRIN透 鏡 偏 心0.05 mm時，厚度測量誤差分別約為1.04，2.04，4.19，6.22μm；透鏡偏心0.1 mm時，相應厚度透鏡的測量誤差分別約為4.15，8.16，16.61，24.35 μm。同一透鏡的偏心距離Δy越大，ΔH越大，關于GRIN透鏡的軸心對稱分布；軸向放置位置z（λ1）的變化相比偏心距離Δy對ΔH的影響，可以忽略不計；相同的軸向放置位置z（λ1）下，透鏡偏心距離一定，GRIN透鏡的厚度測量誤差ΔH會隨厚度的增大而增大。

圖6 偏心距離Δy及軸向放置位置z（λ1）針對不同透鏡引起的厚度測量誤差Fig.6 Thickness measurement errors caused by eccentric distanceΔy and axial location z（λ1）

4 測量實驗與結果

4.1 系統標定

選用美國Edmund Optics生產的長度容差為5%的徑向GRIN透鏡作為被測對象。利用歐姆龍ZW-5000T光譜共焦位移傳感器標定樣品的實際厚度，該系統的光學鏡頭靜止分辨率達到0.016 μm，系統的測量分辨率為0.25 μm。具體標定步驟為：（1）將置放被測樣品的位移裝置的平面移動至距離ZW-5000T色散探頭量程內較遠的位置，記錄由ZW-5000T控制器解調得到的被測樣品被置放平面的位置，該平面位置即為待測樣品下表面的位置；（2）在位移裝置的放置平面放置好徑向GRIN透鏡，探測光波在透鏡上表面的聚焦反射形成光譜信號中的第一個波峰處，利用控制器解調第一個波峰的位置，即為透鏡上表面位置。最后，計算待測樣品的上表面位置與位移裝置置放平面之間的距離，得到被測樣品的標定厚度。待測樣品的相關參數及標定厚度如表1所示。

表1 待測樣品的相關參數及標定厚度Tab.1 Relevant parameters and calibration thickness of sample to be measured

搭建光譜共焦厚度測量實驗平臺并進行相關的實驗，如圖7所示。白光光源發出一束混合波長的光束，經過光纖耦合器到達傳感器探頭產生軸向色散，色散光波在GRIN透鏡前后表面自動聚焦反射，由光譜儀分析反射光的光譜分布，定位波峰波長代入式（10），即可得到透鏡厚度。

由于GRIN透鏡的厚度解調算法依賴于色散光波波長與其聚焦位置的對應關系以及色散光波波長與其像方孔徑角之間的關系，利用精密位移裝置進行系統標定，得到如圖8所示的擬合關系。圖中，光譜共焦系統的工作波長約為500～650 nm，所對應的軸向色散區間為±2 mm，零點工作波長為573.6 nm，工作波長所對應的像方孔徑角為12.7°～10.98°。

圖7 光譜共焦厚度測量實驗系統Fig.7 Experimental system for spectral confocal thickness measurement

圖8 光譜共焦系統的標定曲線Fig.8 Calibration curves of spectral confocal system

4.2 實驗結果

為分析偏心位置誤差對不同GRIN透鏡厚度測量的影響，實驗以色散物鏡中心軸與GRIN透鏡軸心對準作為對中狀態。具體操作為：采用平移臺移動GRIN透鏡偏離測量光束至透鏡兩側邊緣恰無接收測量信號，并重新回到中間位置，偏心距離Δy=0 mm。測量時，上下移動GRIN透鏡至不同的軸向位置z（λ1），并左右平移透鏡至不同的偏心位置Δy，在每個位置均測量6組數據。通過計算機利用式（10）進行數據處理，完成厚度測量數據的解算及折射率修正。將厚度測量值與透鏡的實際厚度值進行比較，得到厚度偏差的絕對值Δ1～Δ6，即為透鏡在偏心狀態下厚度測量的絕對誤差。然后，對多次厚度測量的絕對誤差取均值表示為，將與光軸對中狀態的厚度偏差均值進行比較，得到透鏡偏心引起的厚度相對誤差Δ，并驗證Δ與3.2節中理論分析得到的預測Δ的一致性。為了說明光譜共焦法的測量精度，結合透鏡偏心距離依據式（14）～式（16）校正透鏡在偏心狀態下的厚度絕對誤差Δ1～Δ6，并對Δ1～Δ6的校正誤差取均值得到校正。最后，計算透鏡多個位置的校正的均值，即可得到光譜共焦法對每塊GRIN透鏡的測量精度。實驗測量數據如表2所示，其中z（λ1）分別為-2，-1.8，-1.6 mm。

如表2所示，在相同的測量位置和偏心狀態下，GRIN透鏡的厚度越大，測量誤差越大，且隨著透鏡偏心距離的增大，測量偏差增大，但軸向擺放引起的誤差影響較小；其中，對實際厚度為4.012 6 mm的GRIN透 鏡，偏 心0.1 mm的 厚 度測量值與光軸對中狀態相比具有約25 μm的厚度相對誤差，與理論分析及仿真結果基本符合。但由于透鏡偏心引起的厚度相對誤差較大，透鏡的厚度測量值與實際標定厚度值具有約30 μm的絕對誤差，在對偏心引起的誤差進行校正后，絕對誤差縮小至4.6 μm。實驗結果表明，透鏡在偏心狀態下的厚度測量誤差較大，為實現徑向GRIN透鏡厚度的準確測量，測量時需提前校準系統光軸，令GRIN透鏡的軸心盡可能與色散物鏡的中心軸線重合，或通過透鏡的厚度誤差補償模型對透鏡偏心引起的厚度測量誤差進行修正。

表2 不同軸向放置位置及偏心距離下的厚度測量結果Tab.2 Thickness measurement result at different axial positions and eccentric distances

4.3 討論

實際厚度測量值的變化趨勢及范圍與理論仿真結果相比，具有一定的偏差。綜合分析其原因可能包括：（1）各波長λ與色散位置z（λ）之間不滿足完全線性關系，實際選取的歐姆龍ZWS5030光纖位移傳感器的線性度δ=±2.0 μm；（2）實驗所采用的白光光源在整個光波譜段內出射光強不均勻，另外光源噪聲及系統的暗噪聲等也會影響實際檢測；（3）測量時，由于GRIN透鏡折射率梯度變化，透鏡偏心時下表面光束并非完全沿原入射方向返回，導致接收光能減弱，以及透鏡材質對光波的吸收也可能會造成波峰偏移或對比度下降，波峰定位不準確，提取的光譜響應的峰值波長不準確，進而影響檢測精度；（4）理論分析時GRIN透鏡的折射率分布公式為簡化形式，推導光線傳播軌跡時利用的是近軸條件下的光線微分方程，理論分析結果只能近似表示實際光線在下表面的聚焦位置。根據理論仿真及實驗結果，可采取以下改進措施：（1）優化色散物鏡設計，或選取線性度較好的色散選頻系統，并通過標定對系統非線性系數進行修正；（2）寬譜段白光光源在500～650 nm波段內出射光強分布均勻，應充分利用該波段進行測量；（3）測量時盡量使光束入射至GRIN透鏡中心；（4）改進數據處理算法，提高峰值波長提取精度；（5）修正非均勻折射率材料的誤差補償模型，優化厚度補償算法。

5 結論

本文基于光譜共焦技術實現了徑向GRIN透鏡的厚度測量，并研究了透鏡偏心狀態對厚度測量的影響。實驗結果表明：GRIN透鏡厚度越大，因偏心引起的測量誤差越大；而測量時軸向的位置狀態對測量結果的影響較小，可忽略不計，但測量誤差隨透鏡偏心程度的增大顯著增加。實際厚度為4.012 6 mm的GRIN透鏡在校正偏心對厚度測量的影響后，厚度測量誤差為4.6 μm，光譜共焦法能夠實現徑向GRIN透鏡厚度的無損快速測量。針對光譜共焦法實現徑向GRIN透鏡的厚度測量以及GRIN透鏡偏心對厚度測量影響的研究，對優化光譜共焦測量系統結構，進一步提高系統的測量性能具有一定的指導意義，為光譜共焦法測量變折射率材料提供了一定的參考。