基于局域共振的艦船浮筏低頻減振方法

郭 彭 周奇鄭 駱子寅 李 劍

1.海軍工程大學兵器工程學院，武漢，430033 2. 中國人民解放軍92480部隊，青島，266004

0 引言

機械噪聲是巡航狀態下艦船的主要噪聲源，主要是艦船內部機械部件的往復和旋轉運動激勵殼體振動，進而向周圍空氣和海水輻射的噪聲[1]。 該類噪聲會在艦船輻射噪聲低頻段的某些頻率處使噪聲強度陡然增高，形成線狀譜，強度高于附近連續譜10～25 dB。由于低頻線譜噪聲能量集中且穩定，傳播距離遠，是現代被動聲吶檢測、跟蹤和識別艦船的重要特征信號，因此，該類機械噪聲嚴重影響艦船的聲隱身性能。由此，從噪聲產生源頭出發，研究艦船動力機械低頻振動線譜的控制方法具有重要的軍事應用價值。

雖然單級、雙級、氣囊、浮筏等隔振系統在艦船上得到了廣泛的應用，可使全頻段振動量級得到降低，但是對低頻振動線譜控制仍然是一個難題[2]。文獻[3]利用反饋混沌化理論，研究了多諧波激勵條件下隔振系統的混沌化，達到降低多自由度隔振系統線譜成分和改變頻譜結構的目的。文獻[4]在主被動混合隔振原理的基礎上，研究了工程化磁懸浮-氣囊混合隔振應用技術，研制了滿足船舶應用要求的混合隔振裝置，并提出了工程實用的控制算法。文獻[5]又針對工程實際中機械設備振動線譜頻率波動以及多臺機組運轉激勵出密頻振動線譜帶來的主動控制問題，改進了Fx-Newton算法，并進行了實驗研究。文獻[6]采用有限元方法模擬計算了吸振器在浮筏上的減振效果，研制了磁流變彈性體半主動吸振器，并進行了減振實驗。文獻[7]基于反共振原理，應用流體動量方程和振動理論推導了一種新型流體浮筏隔振器的數學模型，并分析了其隔振性能。文獻[8-9]研究了含慣容器動力反共振隔振器的低頻線譜隔振機理，并討論慣容器在動力反共振隔振器的應用效果。局域共振結構利用局域振子的周期布置和反共振實現了結構中彈性波傳遞的帶隙，在其帶隙頻率范圍內可以高效地抑制結構振動，這為減振降噪技術的發展開辟了一條新途徑[10]。彈性波帶隙的性質與局域振子的參數密切相關，通過對局域振子的設計可實現對帶隙的有效調控。相關研究[11-12]表明，在基體結構上附加具有負剛度特性的局域振子能夠實現低頻的帶隙，這為局域共振結構的應用發展提供了有力的參考。此外，懸臂梁式結構的應用同樣是調控彈性波帶隙[13]，實現低頻減振降噪的有效方式。然而，要利用局域共振理論實現動力機械低頻振動線譜的控制，在機理揭示、行為調控等方面還存在基礎問題有待解決。

本文針對動力機械激勵下艦船浮筏低頻振動與輻射噪聲線譜的控制問題，將動力機械運轉產生的不平衡力視為點激勵力，并作用在具有周期局域共振單元的柔性平板上，建立平板和局域振動單元的連續-離散耦合振動方程，研究局域共振單元對單個和多個低頻振動與輻射噪聲線譜的控制作用。

1 柔性基礎局域共振隔振系統動力學模型

動力機械振動激勵下平板結構低頻振動線譜的控制問題如圖1所示，假定動力機械運轉產生的力通過彈簧剛度系數為k0、阻尼系數為c0的隔振器在(x0,y0,0)處與局域共振板相連，動力機械運轉產生的慣性力幅值為merω2，其中，me為動力機械轉子的質量，r為偏心距，ω為旋轉角速度，動力機械的總質量為m0。局域共振板上布置有P×Q個局域振動單元(圖1)，局域共振板的材料參數如下：彈性模量E、密度ρ、泊松比μ。幾何參數如下：長度a0、寬度b0、厚度h。假定每個局域共振單元中包含R個局域振子，每個局域振子的質量為mi，彈簧剛度系數為ki，彈簧阻尼系數為ci；局域共振單元在x方向的間隔為a，y方向的間隔為b，假設局域共振板中面上各點僅做沿z軸方向的微幅振動，位移為w，局域振子的振動位移為ui，根據Hamilton變分原理可得到動力機械-平板-局域共振單元的耦合振動方程。

圖1 動力機械激勵下局域共振板的動力學模型Fig.1 Dynamic model of locally resonance plate underdynamic mechanical excitation

動力機械-平板-局域共振單元組成的連續-離散系統的耦合振動方程為

(1)

(2)

(3)

D=Eh3/12(1-μ2)2=?2/?x2+?2/?y2

式中，FKc為動力機械運轉過程中通過彈簧和阻尼器傳遞至平板的力；FTu為所有共振單元施加于平板的作用力；D為平板的抗彎剛度；2為Laplace算子；δ()為Dirac函數；分別為動力機械振動激勵作用點的位移和速度；分別為各振子與平板連接點處的位移和速度。

2 耦合振動方程的解

由式(1)可知，動力機械-平板-局域共振單元組成的耦合系統中包含連續梁的振動和離散振子的振動，連續振動和離散振動通過連接點耦合，下面根據振動理論推導耦合振動方程的解。

由于耦合系統是在動力機械運轉過程中產生的激勵力下振動的，故由動力機械的振動方程可將其振動位移表示為

U(t)=U0ccosωt+U0ssinωt

(4)

式中，U0c、U0s分別為動力機械振動位移的余弦和正弦成分。

若不考慮系統中的非線性因素，平板在激勵力作用下的振動將與激勵力的振動具有相同的振動周期，因此，根據模態展開法，平板在強迫激勵下的振動位移可表示為

(5)

其中，wmnc、wmns分別為平板振動位移的余弦和正弦成分，ψmn(x,y)為振型函數，對于四邊簡支平板，有

ψmn(x,y)=sinkmxsinkny

(6)

km=mπ/a0kn=nπ/b0

由于局域共振單元置于平板上，隨平板一起振動，因此可將局域振子的振動位移寫為

upqi(t)=Upqiccosωt+Upqissinωt

(7)

其中，Upqic和Upqis分別表示局域振子振動位移的余弦和正弦成分。

將式(4)、式(5)、式(7)代入式(1)，將其第一式兩端乘以ψm′n′，并沿平板表面積分，將結果按諧波平衡法展開可得

(8)

(9)

κ=4/(a0b0)ψmn0=ψmn(x0,y0)

ψmnipq=ψmn(xi+pa,yi+qb)

為便于表示，將局域振子按總數P×Q×R排序。令x=(wmnc,wmns,U0c,U0s,uc,us)T，wmnc、wmns、uc和us分別是由wmnc、wmns、Upqic和Upqis組成的向量，將式(1)、式(8)和式(9)寫成矩陣形式：

(10)

Ku=-m0ω2+k0

K56=diag(…,ciω,…)

Ku=diag(…,-miω2+ki,…)

F=(0,merω2cosωt,0)T

ψ0=(ψ110,ψ120,…,ψMN0)

ψ1=(ψ111,ψ121,…,ψMN1)

ψPQR=(ψ11PQR,ψ12PQR,…,ψMNPQR)

計算中，考慮模態的最大階數為(M,N)，求解式(10)即可得到動力機械運轉產生的不平衡力作用下平板-局域共振單元耦合振動的解。獲得平板表面振動位移后，可以根據Rayleigh積分公式，將平板表面輻射聲壓用其表面位移表示為

p(x,y,0,t)=

(11)

式中，k、ω、ρ0分別為波數、振動頻率、流體介質密度；S為平板表面面積；|r-r′|為空間中一點(x′,y′)到平板上一點(x,y)之間的距離。

利用結構振動表面聲強積分可獲得結構的輻射聲功率，即有

(12)

其中，上標T表示共軛轉置；Zmn為聲輻射阻抗，可以由以下公式計算得到：

(13)

進一步可由以下公式計算得平板表面輻射聲功率級：

(14)

式中，W0為參考聲功率，本文W0=1×10-12W。

3 結果與討論

在平板結構表面周期布置小質量局域振子的目的是為了降低低頻振動線譜激勵下平板結構表面的振動速度，進而控制結構的輻射噪聲。下面研究周期布置小質量局域振子對平板低頻振動線譜與輻射噪聲的控制問題。假定動力機械的總質量m0=5 kg，轉子質量為2 kg，偏心距r=0.2 mm；隔振器的剛度系數k0=4.93 kN/m，阻尼系數c0=1.5 kN·s/m，隔振器作用在平板的中心，即(a0/2,b0/2)處；平板的幾何參數為：a0=1 m，b0=0.8 m，h=0.003 m。材料參數為：彈性模量E=7.0×1010 N/m2，密度ρ=2.7×103kg/m3，泊松比μ=0.3。研究平板表面周期布置80個局域振子時，在動力機械運轉產生的不平衡力激勵下平板的振動與聲輻射特性。

為實現附加小質量和低頻共振的要求，設計了改進型懸臂梁式局域振子，如圖2所示，其中支架為鋁合金，材料參數與平板材料參數一致。質量塊為結構鋼，其參數為：彈性模量E=2.09×1011N/m2，密度ρ=7.72×103kg/m3，泊松比μ=0.269。支架的結構尺寸為42.5 mm×10 mm×0.5 mm。由COMSOL有限元軟件仿真計算得到振子的前5階固有頻率，如表1所示，可知，振子的第一階固有頻率50.08 Hz遠低于其他階固有頻率，因此，在研究的頻率范圍內可認為該振子的固有頻率就是其第一階共振頻率。在保持支架參數不變的情形下，通過調整質量塊的尺寸可以改變振子的固有頻率，設計的三類振子的質量塊尺寸和固有頻率如表2所示。

圖2 改進型懸臂梁式局域振子Fig.2 Improved beam-like locally resonant resonator

表1 改進型懸臂梁式局域振子的固有頻率Tab.1 Natural frequencies of improvedbeam-like locally resonant resonator

表2 三類振子結構參數和固有頻率Tab.2 Structure parameters and natural frequenciesof three types of resonstor

3.1 局域共振單元對單振動線譜的控制作用

本節討論動力機械旋轉頻率f=50 Hz、75 Hz、100 Hz，且平板表面分別布置三類局域振子時耦合系統的橫向振動特性。研究局域共振單元中只包含一類振子時平板的振動與聲輻射特性。首先，研究在平板表面周期布置10×8陣列的局域共振單元，且每個局域共振單元中僅含有一種振子2，共80個振子時平板的振動和聲輻射特性。

圖3給出了動力機械旋轉頻率在10～150 Hz范圍內變化時，平板表面有無局域共振單元情形下的平均振速級和輻射聲功率級曲線。由圖3可知，在研究頻段內，附加局域共振單元后，平板表面平均振速級以及輻射聲功率級總體上均呈現出一定幅度的降低；當動力機械旋轉頻率f=75 Hz時，表面平均振速級由原來的125.1 dB降低為109.3 dB，降低了12.6%；輻射聲功率級由原來的162.6 dB降低為141.9 dB，降低了12.7%；若旋轉頻率稍偏離75 Hz，減振效果以及對平板的輻射噪聲的抑制效果就很弱，表明f=75 Hz處的振動與噪聲線譜得到了有效控制。

(a)表面平均振速級

(b)輻射聲功率級圖3 平板表面有無共振單元時的表面平均振速級和輻射聲功率級Fig.3 The average surface vibration speed level and theradiated sound power level of the plate with resonantunits and without resonant unit

圖4為旋轉頻率f=75 Hz時，局域共振板(振子2)和無振子平板的表面振幅分布云圖，由圖4可知，平板表面附加局域共振單元后振幅分布普遍降低了50%，對數據進一步進行處理可得到振幅最大衰減為78.4%。

圖4 激勵頻率為75 Hz時，無振子平板和局域共振板(振子2)的表面振幅云圖Fig.4 Displacement profiles of the plate withoutresonator and with resoantor 2 at 75 Hz

表3和表4給出了三種激勵頻率下三類局域共振板的表面平均振速級和輻射聲功率級。由表3和表4可知，對于局域共振板(振子1)，當激勵頻率為50 Hz時，表面平均振速級和輻射功率級分別為101.4 dB和119.0 dB，分別降低了24.9%和38.4%；對于局域共振板(振子2)，當激勵頻率為75 Hz時，表面平均振速級和輻射功率級分別為109.3 dB和141.9 dB，分別降低了12.6%和12.7%；對于局域共振板(振子3)，當激勵頻率為100 Hz時，表面平均振速級和輻射功率級分別為113.2 dB和153.5 dB，分別降低了12.9%和13.7%。表明當激勵頻率等于共振單元中振子的共振頻率時，平板的表面平均振速級和輻射功率級均可得到較好的控制，也即采用局域共振法可同時控制平板結構的振動與輻射聲功率。

表3 三種激勵頻率下三類局域共振板的表面平均振速級Tab.3 The surface average vibration velocity levelsof three types of locally resonance plates under threetypes of excitation frequencies

表4 三種激勵頻率下三類局域共振板的輻射聲功率級Tab.4 The radiated sound power levels of three types oflocally resonant plates at three types of excitation frequencies

下面分析表面平均振速級和聲功率級得到有效控制的原因。鋁合金板的質量為6.48 kg，對于局域共振板(振子1)，附加的振子質量為0.142 kg，附加質量僅為平板質量的2.19%；對于局域共振板(振子2)，附加的振子質量為0.076 kg，附加質量僅為平板質量的1.17%；對于局域共振板(振子3)，附加的振子質量為0.0528 kg，附加質量僅為平板質量的0.81%。因此，附加的質量僅能使平板表面平均振速級以及輻射聲功率級總體上得到一定的降低(圖3)，并不能使平板表面平均振速級在特定頻率處有顯著的降低。當激勵頻率等于局域共振單元中振子的固有頻率時，局域共振單元引起的反共振使得局域共振板的表面平均振速級和輻射聲功率級得到有效控制，因此，控制低頻振動線譜的主要原因是耦合系統中局域共振單元的反共振作用。

3.2 局域共振單元對多振動線譜的控制作用

實際運行中的艦船有多個動力機械同時工作，可能產生多個低頻激勵力，因此，下面研究局域共振單元對多個低頻振動線譜的控制作用。當每個局域共振單元中含有2個振子1和2個振子2時，平板表面在有無局域共振單元情形下，旋轉頻率在10～150 Hz范圍內變化的平均振速級和輻射聲功率級曲線如圖5所示。由圖5可知，局域共振板(振子1和振子2)表面平均振速級和輻射聲功率級中均出現兩個極小值點，在圖5a中，極小值點分別為106.0 dB和113.1 dB，對應的頻率分別為50 Hz和75 Hz，這兩個極小值點對應的頻率處平均振動幅度分別降低21.5%和9.6%；在圖5b中，極小值點分別為130.5 dB和150.6 dB，對應的頻率分別為50 Hz和75 Hz，這兩個極小值點對應的頻率處平均振動幅度分別降低32.5%和7.4%。

(a)表面平均振速級

(b)輻射聲功率級圖5 平板表面有無雙振子共振單元時的表面平均振速級和輻射聲功率級Fig.5 The average surface vibration speed level and theradiated sound power level of the plate with dual redonstorresonance units and without resonance unit

表5和表6分別給出了局域共振單元中含有兩個振子時特定頻率點處平板表面平均振速級和輻射聲功率級，由表5與表6可知，采用兩個振子組成的局域共振單元可以控制兩條振動線譜。與圖3比較可知，采用雙振子共振單元時，平板表面平均振速級中多出了一個極小值點，該極小值點對應的頻率為振子2的固有頻率；比較表3可知，采用雙振子共振單元時，振子固有頻率處平板表面平均振速級分別降低21.5%、9.6%、10.2%，振子固有頻率處平板表面輻射聲功率級分別降低32.5%、7.4%、9.7%，可見，采用雙振子共振單元的振動控制效果較單振子共振單元差。采用單振子共振單元時，對單個振子來說可以組成80個單元；而采用雙振子共振單元時，對單個振子來說組成的是40個單元，平板表面布置的單個振子數量的減少可能是振動線譜控制效果降低的主要原因。

表5 局域共振單元中含多個振子時平板表面平均振速級Tab.5 The average vibration speed level of the plate withresonant units containing multiple types of resonaotrs

表6 局域共振單元中含多個振子時平板輻射聲功率級Tab.6 The average vibration speed level of the plate withresonant units containing multiple types of resonators

上述分析表明，在平板結構表面布置局域共振單元可以控制其低頻振動線譜，但在艦船動力機械的實際運行過程中，動力機械的轉動速度往往在一個小頻率范圍內波動，因此，為使局域共振單元有效發揮其對低頻振動的控制作用，需進一步研制具有較寬低頻共振頻帶的小質量振子。

3.3 有限元分析

本文設計了一種小尺寸輕質懸臂梁式低頻振子，由表2可知，振子3的一階固有頻率為100 Hz，利用有限元軟件COMSOL對其進行模態分析，模擬局域振子與平板的安裝環境，得到振子3的第一階振型如圖6所示。

圖6 振子3的第一階振型Fig.6 The first mode of resonator 3

理論分析過程中只考慮振子的一階固有頻率，由圖6可得，振子3的一階模態為彎曲振動。為分析振子發生反共振作用時應力是否能夠滿足材料的強度要求，可將其視為彈性體，并要求結構上任一點的應力滿足如下表達式：σmax≤[σ]，其中σmax代表振子的最大彎曲應力，[σ]代表振子中支架的抗彎強度極限，振子支架的使用材料為鋁合金，其抗彎強度極限為265 MPa。假設在平板表面布置8×10陣列的振子3，旋轉機械設備的激勵頻率ω=100 Hz的慣性力幅值由merω2計算得到，為157.9 N，設備安裝在平板中心位置，平板和設備的參數與3.1節保持一致。由COMSOL進行應力分析可得局域共振平板以及具有最大應力的振子應力分布，如圖7所示。

(a)局域共振板(振子3)的應力分布

(b)振子3的最大應力分布圖7 應力分布圖Fig.7 Stress distribution diagram

由圖7可得，局域振子在發生共振時的最大應力σmax=65.2 MPa，小于[σ]=265 MPa，滿足應力條件要求。對局域振子進行應力分析保證其滿足強度要求后，為進一步驗證理論分析結果的正確性，以未附加振子的簡支平板以及附加振子2(表2)的局域共振板為例，平板的參數與3.1節保持一致，分別利用解析法和有限元法計算出10～150 Hz范圍內平板表面平均振速級和輻射聲功率級,如圖8所示。由圖8可得，解析法和有限元法計算結果具有較高的吻合度，進一步證明了耦合方程推導及求解的正確性。

(a)平板不含局域共振單元

(b)局域共振板(振子2)圖8 解析結果與有限元結果對比Fig.8 Comparison of analytical results and finiteelement results

4 結論

(1)在平板結構表面布置一定數量的局域共振單元可同時控制平板的振動與輻射聲功率，其控制效果與局域共振單元數和振子參數相關。

(2)局域共振單元主要通過反共振控制結構的振動線譜，共振單元中振子的固有頻率與其控制的振動頻率完全對應；多振子共振單元可以控制多個振動線譜，但振動抑制效果將減弱。

(3)設計了小尺寸輕質懸臂梁式低頻振子，實現了在附加質量小于平板質量3%的前提下，將平板結構表面平均振速級和輻射聲功率級降低10%以上。