一種去除椒鹽噪聲的混合正則化模型

王佳佳，唐利明

（湖北民族大學，湖北 恩施 445000）

在圖像成像[1]、傳輸和儲存的過程中，圖像常常會受到外界的信息干擾，例如，在一些遙感圖像設備中，由于外界環境存在電磁干擾，往往會使得成像后的圖像含有一定程度的椒鹽噪聲，使得圖像質量下降，導致后續圖像處理更加困難（對圖像的分析和理解造成較大干擾）。因此對于含有椒鹽噪聲的圖像進行去噪處理是十分關鍵的。主要有以下幾種方法：基于濾波器、基于各向異性擴散（P-M）方程和基于變分正則化的方法。其中，基于變分正則化的方法能有效地利用圖像的先驗信息，具有很強的可解釋性。因此，在1992年，Rudin等[2-3]提出著名的全變分（Total Variation，TV）模型：該模型允許在超平面上重建不連續的圖像，且有較好的去除噪聲和保持邊緣的能力。缺點：①模型中正則項非光滑，不可導，導致模型求解困難；②重建的圖像有明顯的階梯效應；③在去噪過程中紋理等細節信息常常被當作噪聲過濾掉，導致圖像過模糊。為了克服上述問題，許多學者對TV正則項進行了改進，并提出了一些新的模型，例如：高階全變分模型、廣義全變分模型和分數階各向異性擴散模型等。

Chan等[4]在2000年提出高階全變分（High-Order Total Variation，HOTV）模型，該模型通過在TV模型的歐拉-拉格朗日方程中加入一個非線性四階擴散項，有效減少了塊偽影的數量，保持圖像的跳躍不連續性，但在去噪過程中會導致邊緣過模糊。隨后，You等[5]提出四階偏微分方程的去噪模型，該模型利用強度函數的拉普拉斯遞增函數構成的泛函導出四階偏微分方程，能夠避免塊狀效應，在去噪和保持邊緣之間取得較好的平衡。由于各向異性擴散算法容易產生多個假邊緣，存在散斑現象。Bredies等[6]在此基礎上提出廣義全變分（Total Generalized Variation，TGV）模型，該模型引入函數u的高階導數，減少塊狀效應，但在非平滑區域的邊緣附近存在假邊緣，即圖像過模糊現象。2007年，Bai等[7]提出分數階各向異性擴散（Fractional-Order Total Variation，FOTV）模型，該模型通過定義圖像強度函數的分數階導數絕對值的遞增函數為損失函數，再采用折疊算法來消除跨越邊界的跳躍不連續，能夠較好地處理圖像的紋理細節信息，但復原后的圖像邊緣部分信息保留不完整。

本文基于全變分模型保持圖像邊緣的優勢，以及分數階全變分模型能夠抑制階梯效應和保護圖像紋理細節信息的特點，將全變分正則化子和分數階正則化子相結合，提出了一種去除椒鹽噪聲的混合正則化模型（A Hybrid Regularization Model，AHRM）。該模型克服了傳統的全變分模型存在階梯效應和分數階模型在去噪的同時過多損失邊緣信息的弱點，在有效去除圖像中椒鹽噪聲的同時，很好地保持圖像的邊緣和紋理細節信息，減少階梯效應。本文所提出的AHRM模型是基于變分框架的，因此ADMM可以有效地求解該模型。大量的數值結果表明，AHRM模型在圖像去噪方面都優于其他經典模型，本文模型較好地復原圖像紋理信息，保留圖像的不連續性和抑制塊偽影。

1 相關背景

1.1 基于L1范數的全變分模型

2005年，Chan等[3]人提出了基于L1范數的全變分圖像去噪模型。該模型正則化過程中對圖像特征對比的依賴小于對圖像形狀的依賴，可以有效保留圖像的不連續性和結構，能夠較好地復原圖像的真實信息，其去除椒鹽噪聲的變分模型為

式中：u為待求圖像；f為噪聲圖像；?u為u的梯度算子；δ為權重參數。

基于L1范數的全變分模型在圖像去噪過程中能有效復原圖像的原有信息和保留圖像邊緣，更好分離圖像的高頻成分，如噪聲和紋理。缺點：①由于梯度算子僅能刻畫圖像水平和豎直方向的信息，使得該模型處理圖像局部結構特征時缺乏自適應性；②該模型將圖像正則為分段常值函數，從而導致“階梯”現象。

1.2 分數階全變分模型

由于TV模型在圖像復原過程中會存在階梯效應，基于此，Bai等[7-10]在2007年提出分數階各向異性擴散的圖像去噪模型。

分數階導數的定義為

則離散的分數階全變分定義為

離散分數階梯度和散度滿足如下關系式

分數階去除椒鹽噪聲的變分模型為

分數階各向異性擴散模型有效保留圖像的重要紋理細節信息，分數階導數不僅非線性地保留了圖像光滑區域的輪廓特征，還保留了邊緣、紋理等高頻成分。缺點：①圖像的邊緣部分的信息不能很好地復原；②分數階梯度算子需要大量的實驗來確定最優階數。

2 本文模型與算法

2.1 本文模型

本文基于FOTV正則化子和TV正則化子提出一種去除椒鹽噪聲的混合正則化模型為

2.2 模型求解

利用ADMM[11]算法對式（1）進行求解，即利用該模型的可分結構對該模型進行分離變量求解，通過引入輔助變量ν，p，q，并將其轉化為下述約束優化問題。

然后構造增廣拉格朗日函數，可將式（2）的最小化轉化為下面的鞍點問題。即

式中：λ1，λ2，λ3為拉格朗日乘子；μ1，μ2，μ3為懲罰參數；<·，·>定義為內積。進一步得到

下面求解各個子問題。

（1）求解u-子問題，即求解下面方程

該問題為光滑凸優化問題，對式（5）關于u求偏導可得

式中：F和F-1分別表示傅里葉變換及其逆變換，此處的矩陣除法、平方和絕對值都是按分量運算的。

（2）求解ν-子問題，利用收縮算子給出ν-子問題的閉形解，即求解下面這個極小值問題

滿足收縮算法的條件，可得

（3）求解P-子問題，類似求解子問題ν。即求解下述極小值問題

滿足收縮算法的條件，有

（4）求解q-子問題，跟上式算法相同。即求解下述極小值問題

滿足收縮算法的條件，可得

對提出模型求解過程如下。

初始化階段：輸入初始圖像u0=f，設置參數的初始值為k=0；φ=0.6；α=1.6；β=0.7；μ1=0.4；μ2=0.3；μ3=0.4，最大迭代次數maxiter=800，迭代精度ε=10-6。

迭代循環過程如下。

Step1：初始化k=1，ε=10-6；

Step2：通過式（7）更新子問題中的uk；

Step3：通過式（9）更新子問題中的νk；

Step4：通過式（11）更新子問題中的pk；

Step5：通過式（13）更新子問題中的qk；

Step7：k=k+1。

終止：若迭代精度ε小于10-6或者迭代次數到達800則該算法終止，否則繼續上述迭代循環過程。

3 實驗及分析

實驗在LAPTOP-RETV7IRD Aspire A515-516Intel（R）Core（TM）i5-7200U CPU?2.50 GHz 2.71 GHz RAM 4.0 G matlab2014a環境下進行。使用matlab內置函數“Imnoise”對圖像分別添加10%、30%、50%的椒鹽噪聲，再分別利用FOTV、HOTV、TV和本文模型（AHRM）4種模型對其去噪。本文利用圖像的峰值信噪比（Peak Singal to Noise Ratio，PSNR）和結構相似性（Structual Similarity，SSIM）2個評價標準來評價去噪后的圖像，二者值越大則說明去噪效果更好。本文選取的測試圖像結構特征明顯、紋理信息豐富，如圖1所示，其中圖1（a）和圖1（b）為遙感圖像[12]。

圖1 測試圖像

4 AHRM模型在椒鹽噪聲為10%、30%、50%下的去噪效果

4.1 AHRM模型在椒鹽噪聲為10%下的去噪效果

為了驗證所提模型的去噪能力，選取含有強度為10%椒鹽噪聲的圖像作為實驗對象，實驗結果如圖2所示。

圖2 不同圖像在強度為10%的椒鹽噪聲下去噪效果對比

在強度為10%的椒鹽噪聲下，TV對紋理信息的損失嚴重，窗戶、墻體及陽臺的信息存在一定程度的模糊，FOTV復原后的圖片邊緣信息損失嚴重，經過HOTV復原后的圖片窗沿部分存在失真現象。而AHRM模型不存在邊緣過模糊，且能較好地復原圖像的紋理信息，窗戶、墻體及中間的樓輪廓更為清晰。由表1可知，FOTV復原后的圖像的PSNR值和SSIM值較低，AHRM復原后的圖像的PSNR值和SSIM值最高，其PSNR值和SSIM值分別高于TV 0.75 dB和0.04，進一步驗證了本文模型的有效性。

表1 不同模型在強度為10%的椒鹽噪聲下去噪結果的PSNR和SSIM對比

4.2 AHRM模型在椒鹽噪聲為30%下的去噪效果

為了驗證所提模型的去噪能力，選取含有強度為30%的椒鹽噪聲的圖像作為實驗對象，實驗結果如圖3所示。

由圖3可知，與其他模型相比，AHRM的模型可以很好地保持圖像的結構和邊緣，并產生令人滿意的去噪結果。FOTV及HOTV復原后的圖片，船體、船桿及湖面部分的失真較大，且邊緣部分存在一定的模糊，TV重建后圖像可以看到明顯的“階梯現象”。而AHRM對船體和船桿的復原效果最好，由表2可知，本文模型去噪后的PSNR值和SSIM值優于其他模型，PSNR值和SSIM值分別高于FOTV 0.59 dB和0.04，由客觀指標可以看出，AHRM有效抑制階梯效應，保留圖像邊緣及較好地復原圖像紋理細節信息。

表2 不同模型在強度為30%的椒鹽噪聲下去噪結果的PSNR和SSIM對比

圖3 不同圖像在強度為30%的椒鹽噪聲下去噪效果對比

4.3 AHRM模型在椒鹽噪聲為50%下的去噪效果

為了驗證所提模型的去噪能力，選取含有強度為50%的椒鹽噪聲的圖像作為實驗對象，實驗結果如圖4所示。

由圖4對比可知，在強度為50%的椒鹽噪聲下，椒鹽噪聲對圖像的結構破壞較為嚴重，如塔圖的塔頂及塔的輪廓邊緣部分信息被重建后依舊被破壞較為嚴重，且其整體視覺效果略差于強度為10%和30%的圖像。經FOTV處理后塔的邊緣輪廓不清晰，經HOTV復原的圖像可看出每層樓之間的分界部分不清晰且樓體邊緣過模糊，TV復原的圖像失真較大。AHRM可以更好地復原圖像紋理信息，分界部分更加清晰，邊界輪廓也復原得更好，同時由表3數據進一步說明本文提出的AHRM模型具有更好的圖像復原性能。

表3 不同模型在強度為50%的椒鹽噪聲下去噪結果的PSNR和SSIM對比

圖4 不同圖像在強度為50%的椒鹽噪聲下去噪效果對比

4.4 AHRM模型在數據庫Set5和Set14下的去噪效果

由圖5、表4可知，本文模型對應的平均PSNR值和SSIM值高于其他對比模型，說明了本文模型的去噪效果和去噪后的圖像結構細節保留普遍優于其他對比模型，驗證了本文模型具有更好的圖像復原性能。

表4 不同數據庫在含不同強度的椒鹽噪聲下去噪結果的平均PSNR值和SSIM值對比

圖5 對含不同強度的椒鹽噪聲圖像的4種去噪方法的PSNR比較

5 結論

本文提出了一種去除椒鹽噪聲的混合正則化模型，該模型能夠沿特征方向對圖像進行擴散，同時較好地保留了圖像的紋理細節、不連續性和結構，平滑區域與TV模型不同，AHRM模型不存在邊緣附近的假邊緣，且抑制階梯效應，有效保留圖像的結構和紋理信息。