基于傳遞矩陣法的電主軸建模與實驗分析

王小東，王會良，2，蘇建新，2

(1.河南科技大學機電工程學院，河南洛陽 471003；2.機械裝備先進制造河南省協同創新中心，河南洛陽 471003)

0 前言

隨著“中國制造2025”計劃的順利展開，國家對機械制造行業提出了更高的要求，相應的零件加工設備水平也隨之提高。電主軸是一種新型的機床加工傳動設備，它摒棄了皮帶、齒輪等傳統的傳動方式，直接將電動機與傳動主軸通過結構改進耦合在一起，大大縮短了傳動鏈，將電動機的動能直接傳遞給主軸，提高了傳動精度。

但在實際加工過程中，由于電主軸系統整體處于高速旋轉中，受到不可避免因素如：主軸自身不平衡量、軸承的摩擦以及加工磨削力的影響，轉動體會在各方向產生微小的振動位移偏量。這對齒輪類零件的磨削修齒質量影響非常大，在工件的被加工表面上會以條痕或布紋痕顯現出來，最終影響整體零件的裝配質量。因此，研究磨齒機電主軸的振動特性很有必要。

目前針對數控加工用電主軸的振動問題研究方向主要有主軸的振動幅度、固有頻率、臨界轉速等。國內外學者在這些方面開展了深入的研究并取得了可觀的研究成果。在整體運動方面，劉志松等在立式加工中心的基礎上對電主軸動態誤差進行了測試；崔方圓等建立了電主軸靜態的運動誤差動力學模型。零部件方面，高峰等人建立了電主軸轉子偏心模型,通過推理得到了轉子偏心振動方程；白向娟等針對振動切削過程中電主軸軸端的振動問題，研究了軸承彈性支撐單元的傳遞矩陣。以上對電主軸動態特性的研究大多數是基于轉動主軸的仿真分析和零部件結構仿真優化兩方面，而對于主軸-轉子、軸承系統整體數學模型的分析尚不夠深入。

為此，本文作者針對YK7350B型擺線輪成型磨齒機展開研究，利用實際參數對磨削電主軸系統進行數學建模和有限元分析，得到理論固有頻率和振型，最后通過實驗測量實際加工狀態下的振動數據。這在實際生產中具有很重要的應用需求，也為后續的振動原理分析、電主軸結構優化提供了參考。

1 電主軸系統的整體建模

1.1 電主軸結構分析

磨削電主軸的結構如圖1所示，主軸直接安裝在電動機內部，與轉子耦合在一起，定子固定在電主軸外殼內部。主軸前端伸出長度用來配合不同作用的砂輪以及安裝配重環。4個滾動軸承起支撐作用以及減小轉動摩擦力；冷卻水套負責控制溫度，減小轉動產生的熱能。

圖1 磨削電主軸三維截面圖

由于電主軸系統內部結構較為復雜，因此需對其結構進行簡化，選取其中對數學模型參數有影響的結構進行分析。針對此問題，作者將系統簡化為主軸-轉子、滾珠軸承3個部件作為理論建模的基礎。

1.2 傳遞矩陣法電主軸建模

傳遞矩陣法目前是計算轉動體結構的振動特性較為通用的方法。它能將復雜的多自由度系統分解為單自由度系統或基本的質量和彈性元件。在各子系統的端面兩兩相互連接，通過單元傳遞矩陣從系統的起點推送至終點位置，利用邊界條件求解矩陣方程。

主軸-轉子系統是固定在一起的質量均勻的實體，按傳遞矩陣理論可將系統簡化為個無體積的等厚剛性圓盤和-1個等質量的彈性軸段，每兩個圓盤用彈性軸段隔開并分別與軸段的兩個端面進行連接，由于軸段也是無體積的理想狀態，所以將軸段的質量平均分配在兩端的截面上使其固定，軸段的抗彎剛度的值為截面處的平均值。

軸承在系統中起到固定作用，在實際的磨削加工中，受轉速變化的影響，其剛度呈非線性變化，應作為彈性支承進行分析。所以在此作者將軸承簡化為一個受力彈簧，其徑向剛度為，角剛度為，如圖2所示。

圖2 電主軸結構簡化模型

將離散得到的電主軸模型簡化為總質量集成模型，取帶彈性支承的第(=1,2,…,-1)個圓盤和第個軸段進行分析。由經典動力學可知，典型單元的傳遞矩陣為

=

(1)

其中軸段的單元傳遞矩陣為

(2)

剛性圓盤的單元傳遞矩陣為

(3)

其中：為單元軸段長度，mm；為材料彈性模量，N/mm；為截面慣性力矩，mm；為進動角速度，r/min；為節點處質量，kg；為自轉速度，r/min；為直徑轉動慣量，為極轉動慣量， kg/mm；與剪切彈性模量和截面形狀有關，查閱相關資料后經過推算，取0.886；在此模型中圓盤沒有支承，和都為0。

對于中間的轉子和主軸耦合軸段，將轉子自身所受的重力轉化為內部軸段所受的力，并使軸段中的各個圓盤都受到同樣大小的力以達到受力平衡，設力的大小為′。取轉子軸段中任意典型單元進行動力學分析，則轉子軸段中剛性圓盤的傳遞矩陣為

(4)

其對應的軸段的單元傳遞矩陣為

(5)

其總的傳遞矩陣方程為

(6)

其整個軸系的頻率方程為

(7)

1.3 傳遞矩陣的驗證

通過前面傳遞矩陣公式可以看出當為定值時，可求得整個系統的多階頻率和振型分布。在此設定=1，此時可求得軸系方程的固有頻率，進而算出臨界轉速。通過查閱電主軸相關型號以及測量相關數據，得出電主軸系統部分參數如表1所示。

表1 電主軸系統參數

利用MATLAB有限元軟件進行矩陣計算和分析，輸入結構參數和頻率范圍，約定邊界條件。將電主軸系統離散為14個節點，轉子受約束產生的載荷和變形作用在中間分段，節點5和節點9兩端作用力分別為′2，如圖3所示。

圖3 電主軸離散有限元模型

將離散模型的左端面作為計算開始的初始截面。按規定順序連乘，計算整體的傳遞矩陣。

(8)

則整體計算為

(9)

為計算方便將初始截面設置為主軸的左端面，從標號1開始(見圖2)，利用MATLAB軟件進行整體的矩陣運算，選擇合適的頻率范圍以及邊界約束條件，將電主軸參數代入最終方程可計算出電主軸的固有頻率約為180.6 Hz。通過轉換公式：

=60

(10)

算出此電主軸的臨界轉速為10 836 r/min。后續會對此結果進行進一步的研究和驗證。

2 電主軸系統的有限元分析

利用三維繪圖和ANSYS軟件，首先將電主軸模型導入ANSYS進行布爾和運算，目的是對模型進行簡化。通過添加約束將轉子和主軸固定在一起，對主軸、轉子以及軸承分別施加接觸關系、約束以及對應的材料屬性，最后對整個電主軸系統進行四面體單元網格處理，確定單元數4 243個、節點數8 628個。有限元模型如圖4所示。

圖4 電主軸簡化結構有限元模型

選用迭代算法分析該模型的模態振型，截取前5階振動的振型圖及對應的振動頻率圖(見圖5)進行分析。

從圖5—圖6可以看出：1～3階電主軸左端面的變形量都很小，較為穩定，滿足了動靜剛度的設計需求。模態一階振動頻率188.64 Hz與第1節數學計算固有頻率結果180.6 Hz大致相同，驗證了傳遞矩陣理論建模結果的正確性。存在誤差的原因在于有限元分析時的約束和接觸分析與實際情況還是有所偏差。1、2階模態頻率值相同，振型表現為正交，視為一對重根。4階及以上由于頻率過高，變形量較大，電主軸結構實際已損壞。同時此臨界轉速=60×188.64=11 318 r/min相對于磨齒機正常工作下的轉速(小于5 000 r/min)來說差距較大，說明實際加工中能夠避開固有頻率振動區，保證了加工過程中的安全。

圖5 電主軸5階模態振型

圖6 電主軸前5階振動頻率

3 實驗驗證及結果分析

3.1 實驗平臺搭建

以YK7350型數控擺線輪磨齒機為實驗平臺，測試其電主軸在正常加工環境下的振動情況。其他硬件設施包含：M+P振動測儀一臺、數據采集卡以及若干帶線路的振動加速度傳感器。實驗測點的位置分布如圖7所示。

圖7 實際磨削實驗現場圖片

作者分別對磨齒機整機在、方向的振動特性進行分析，方向有電主軸專用固定架，在實際加工中軸向竄動可以忽略不計。對兩個方向采集到的不同時域振動信號和頻域信號進行分析。

3.2 數據采集處理及分析

利用MATLAB7.1軟件編寫傅里葉函數變換程序，對采集到的電主軸振動頻率的成分進行處理，得到、方向上的頻譜圖。分別進行了兩種工況下的測量以提高實驗結果的準確性，工況一設定電主軸轉速為2 500 r/min，工況二設為3 000 r/min，加工磨削深度都為0.003 mm，如圖8所示。

圖8 工況一下機床振動頻譜

圖9 工況二下機床振動頻譜

從圖8(a)(b)對比可以看出：在頻率為189 Hz時，振動加速度都出現了最大峰值。該頻率與前兩章計算出的固有頻率接近，同時在頻率40 Hz處也出現了峰值，與實驗工作頻率(=2 500/60=42 Hz)十分接近，說明該處的峰值與電主軸的工作頻率有一定的關聯，方向的整體振動與方向相比較大。

工況二中同樣是在189 Hz處產生最大峰值，可以判斷189 Hz可能已接近電主軸的固有頻率值。同時在51 Hz處也產生與工況一類似的情況(=3 000/60=50 Hz)，數值較工況一有所增加，對方向的振動影響也較為明顯。其后高階頻率的振動加速度峰值可能與電主軸固定倍頻有關。

4 結論

(1)通過對電主軸數學建模、有限元分析以及實際實驗，完成了該款電主軸的一系列校核，得出其固有頻率接近189 Hz。在實際加工中要使運行轉速對應的頻率盡量遠離固有頻率，保證加工的安全性。

(2)通過兩次實驗對比，得出電主軸的振動加速度與實際工作頻率有較大的聯系，原因是在該頻率處砂輪與工件接觸，受到不斷變化的磨削力的影響，振幅也會隨著工作頻率的增加而不斷增加。

(3)通過對頻譜圖進行分析，得到固有頻率處的振動加速度值最大，最大為0.004 92。同一條件下方向的整體振動要比方向大，原因是受到較大慣性轉動力矩及砂輪配重環重力的影響，為后續電主軸精度的提高提供了理論支撐。