人行橋調諧質量阻尼器設計

魯 月

(中建鐵路投資建設集團有限公司，北京 100000)

0 引言

隨著橋梁跨度、橋下凈空和美觀等要求的提高，人行橋越來越多地采用高強輕質材料，橋型也向輕巧和纖細方向發展[1]。人行橋的一階豎向頻率為1.9 Hz～2.5 Hz，人行走時活動頻率為1.5 Hz～2.5 Hz[2]，當人流較大且其人行荷載頻率等于或接近建筑結構的固有頻率時，橋梁將會發生共振現象[3-4]。在人行橋中增加諧調質量阻尼器(TMD)等裝置，進行消能減振處理[5]，是一種有效的減振方式。TMD是由彈簧、阻尼器和質量塊三者組成的減振裝置[6]。本文以某人行橋為研究對象，計算了其人致振動響應最大加速度，進而針對結構第1階模態進行TMD減振設計，通過對同樣人行荷載作用下的人行橋，安裝TMD裝置前后的振動響應進行分析，驗證了TMD減振系統在人行橋結構上良好的減振作用。在此基礎上，進行了被控結構-STMD系統魯棒性分析。

1 工程概況

選取空間曲梁單邊懸索橋作為人行橋結構，其包含內、外側主梁及空間主纜、吊索、背索和索塔。同時內、外側主梁構成橋面系，兩端與橋臺固結，豎直向彈性支撐則由跨中懸掛于主纜上的柔性吊索負責提供，橋面設置3 m寬的人行道和7 m寬的自行車道，橋梁的總體布置如圖1所示。

在對人行橋進行模態分析時，結合豎向人行荷載頻率范圍，察覺豎彎振型的頻率2 Hz是處于其范圍內。這表明共振現象可能會發生在人行荷載作用下的人行橋，相應構件會產生較大反應。進一步的計算表明這座橋梁在人群荷載作用下，加速度響應大于限值0.5 m/s2，可能引起行人不適。在人群荷載作用下的橋梁豎向最大加速度降低至限值0.5 m/s2以內則是希望取得的效果，將通過利用布設調諧質量阻尼器(TMD)來達到這一目的。

2 人致振動響應分析

2.1 動力特性分析

參考資料中給出動力特性計算結果，包括橋梁前5階模態頻率及振型，見表1，圖2。

表1 橋梁前5階模態頻率及振型

2.2 人行荷載確定

參考資料中給出計算過程，均可用傅立葉級數形式表示。

豎向人行荷載：

步頻為fp的單位面積有效人群荷載可表示為：

Fs(t)=NeαGΨsin(2πfpt)/S。

其中，0.444人/m2時:

1.5人/m2時:

2.3 最大加速度求解

依據結構動力特性分析所獲得的結論可以得出，當試驗假設的人行橋頻率與人行激勵頻率范圍內的頻率相近的振型是完全能夠遵循單自由度振動系統進行簡化分析的。振型坐標下單自由度運動方程表示為：

參考資料中給出歸一化后的廣義質量M=1.0 kg，廣義剛度K=160.272 kN/m。借助一階豎向振型與人行荷載相乘，求得廣義力=19.6sin(12.58t)，阻尼比取0.1。

振型幅值為Y=DP/K=50×19.6/160.272=6.114。

橋梁跨中加速度穩態響應為加速度與該點豎向振型向量乘積：

980.022×0.002 88=2.822 m/s2。

3 TMD減振設計

3.1 問題簡化

豎向人行荷載的頻率范圍為1.3 Hz～2.3 Hz，有可能引起橋梁第1階模態的共振。由上一節分析可知，共振時加速度響應大于0.5 m/s2，故需要針對橋梁第1階模態進行TMD減振設計。

TMD工作原理見圖3，是通過改變質量塊的質量或彈簧的剛度以使阻尼器的自振頻率與主體結構待控振型的頻率接近，從而使主體結構產生的激勵振動傳導到TMD時，相應的TMD裝置則自行產生與激勵振動反方向的慣性力，利用該慣性力去逐次衰減主體機構的振動響應。同時想利用TMD中的阻尼器去消耗振動能量，就必須在相應的主體構件上加裝TMD裝置。由上述不難看出，其本身的動力特性在其布設完成后基本難以改變、更無法自由的進行調節，因此TMD實際上是一種被動的用來控制減振的裝置，也就是說只有在一定的頻率范圍內TMD的減振作用才會對相應的外部激勵有良好的效果。

3.2 參數設計

式中：

根據減振設計要求，要將在人行荷載作用下的豎向最大加速度響應降低至限值0.5 m/s2以內。

其中，參考文獻，動力放大系數:

其中，μ=md/m為TMD與主結構的質量比；β=ω/ωn為激勵頻率與主結構頻率之比；γ=ωd/ωn為TMD頻率與主結構頻率之比；ξd=cd/2mdωd為TMD的阻尼比。

當Pt為諧波荷載時，TMD的阻尼比及頻率比的計算優化值，可依據主結構最小加速度優化準則推理得到，如下(Ikeda和Ioi)：

其中，γopt為TMD優化頻率比；ξopt為TMD優化阻尼比。

由此可見，橋梁的最大豎向加速度是與TMD與主結構的質量比u,激勵頻率與主結構頻率比β,TMD頻率與主結構頻率比r，TMD的阻尼比ξd相關的函數。而由于優化頻率比阻尼比可通過參考公式表達為與u,β相關的參數，所以最大加速度可表達為與u,β相關的函數，即：

D=fD(β,μ,γ,ξd)=fD(β,μ,fγ(μ),fξ(μ))=D(β,μ)。

對上述公式進行整理，即得amax=0.056 4Dβ2，其中：

結構的振動控制實際上就是對動力放大系數的控制，即要求在給定的TMD質量比下，對于任意的激勵頻率比，結構最大加速度小于某一值。根據這個條件即可確定最小的TMD質量比，依據于此在諧波荷載作用下，利用主結構加速度最小優化準則，來計算并得到TMD的頻率比及阻尼比，即可確定TMD的全部參數。

分別繪制最大加速度和μ,β相關的曲線，如圖4，圖5所示。

當質量比為0.018時，結構最大加速度降為0.5 m/s2，相應荷載頻率比為0.95。計算結果滿足加速度的限制要求。

最大加速度值隨著質量比增大而單調遞減，同時其變化率也是隨著質量比增大而單調遞減。其中，最大加速度值大小反映了TMD的減振效果，變化率(斜率)大小反映了TMD的減振效率。從減振效果的角度看，質量比越大越好；從減振效率的角度看，質量比越小越好，從圖形上可以看出質量比小于0.02的時候能夠高效的減振，此時調節TMD的質量能夠得到顯著的控制效果。另外高質量比將顯著增加結構恒載內力，所以高質量比很可能是不經濟的。

概括地說，隨著質量比的增大，結構振動響應衰減的速率逐漸減小，TMD質量取值過大是低效和不經濟的。在實際應用中，應綜合考慮經濟性和控制效果。此處擬取TMD和結構的質量比0.018，進而算得TMD的優化頻率比和阻尼比分別為0.986 4和0.108 9。

由于一階陣型起控制作用，跨中響應最大，故阻尼器安裝位置為跨中。

4 被控結構-STMD系統魯棒性分析

TMD的控制效果主要取決于參數：質量比、頻率比和阻尼比，而在實際情況中，阻尼器的參數往往會因為機械制造的誤差而存在參數上的差異，這將導致阻尼器的實際控制效果與理論結果之間存在偏差。下面分析TMD的魯棒性，即當TMD的參數發生變化時，TMD的控制效果隨之變化的幅度(穩定性)。

從以下兩個方面考慮TMD的魯棒性：

1)對不同的質量比，分析結構加速度響應隨頻率比的變化關系(此時，阻尼比根據優化公式代入求得)，結果見圖6。

2)選定質量比為0.018，對于不同的頻率比，分析結構加速度響應隨阻尼比的變化關系，結果見圖7。

顯然，如果質量比取值很大的話，魯棒性肯定很強，能夠保證較大偏差的情況下仍能有效減振，但是正如上述所示：以大質量比為代價來追求強魯棒性是不經濟的。所以，魯棒性應該在考慮有限偏差的范圍內進行討論。

因為可能產生偏差的情況很多——如質量變化剛度不變、質量不變剛度變化、質量與剛度恒比變化、質量變大剛度變小以及質量變小剛度變大等。而對于結構和荷載的偏差，就本次設計而言可以忽略。因為上述分析是建立于結構在荷載作用下發生共振的基礎上，所以一旦結構與荷載發生偏差反而會使結構的加速度響應值減小(已經通過計算驗證)，所以可以不予考慮。

由圖6可知，對于不同的質量比，加速度響應隨著頻率比的增大呈先增大后減小的規律，當頻率比接近1時，減振效果最好；隨著質量比的增大，當某一頻率比出現波動時，加速度響應變化程度降低，即質量比越大，魯棒性越好。

對于不同的頻率比，加速度-阻尼比曲線比較平緩，即當阻尼比出現波動時，加速度響應變化幅度較小。所以，結構加速度對阻尼比敏感度不高。

考慮設計、施工和建造誤差導致的魯棒性波動，設計時應當在臨界質量比的基礎上略微提高一些。

5 結語

本文以某人行橋為研究對象，計算了其人致振動響應最大加速度，進而針對結構第1階模態進行TMD減振設計，通過對是否安裝TMD系統前提下的、受到同種人行荷載作用的人行橋的振動響應結果進行分析，得出了TMD減震系統的確對于在人行荷載作用下的人行橋結構具有優良的減振效果。

此外，人行橋結構的動力反應是采取第1階模態控制的方式，加之頻率相近或相同頻率發生可能極小，利用STMD就能夠得到優異的減振效果。值得注意的是，因為人行橋主體結構本身的阻尼比較小，進行TMD設計后反饋的減振效果將十分明顯。研究中針對結構第1階模態進行TMD減振設計，首先參考文獻推導最大加速度響應方程，獲得目標加速度時的最優質量比(0.018)和相應的荷載頻率比(0.95)。進而參考文獻優化公式算得TMD的優化頻率比和阻尼比分別為0.986 4和0.108 9。

在此基礎上，進行被控結構-STMD系統魯棒性分析。結果顯示，質量比越大，魯棒性越好，但一味增大質量比將降低效率和經濟性；結構加速度對阻尼比不是很敏感。考慮設計、施工和建造誤差導致的魯棒性波動，設計時應當在臨界質量比的基礎上略微提高一些。