二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及樣機(jī)試驗(yàn)

楊中山，楊銀香，王奚，夏顯秋，喬國鵬，邵慧，王建民

(北京和利時(shí)智能技術(shù)有限公司，北京100096)

0 前言

本文作者所研究的二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)是一種類并聯(lián)機(jī)構(gòu)，相對于常規(guī)的串聯(lián)式直角坐標(biāo)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)組件固定于機(jī)架，不跟隨前置機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，因此具備更低的運(yùn)動(dòng)慣量和更高的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，更適合于應(yīng)用在對工作節(jié)拍要求較高的抓取場景。

早期并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究主要集中在全自由度機(jī)構(gòu)上，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于具有結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低等優(yōu)點(diǎn)，逐漸受到重視。有關(guān)二自由度和三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究可參見文獻(xiàn)[3-12]。上述文獻(xiàn)所研究的機(jī)構(gòu)主要是由連桿、轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副連接構(gòu)成，文中所研究的二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)主要采用同步齒形帶連接傳動(dòng)，與常規(guī)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，該機(jī)構(gòu)具有良好的各向同性性能，無奇異位形。

1 二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)簡介

二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示。該機(jī)構(gòu)由靜輪1、導(dǎo)輪2、動(dòng)平臺(tái)3、同步齒形帶4、移動(dòng)副5和6、動(dòng)輪7、導(dǎo)向桿8、執(zhí)行末端9組成。其中兩個(gè)靜輪1為同步齒形帶輪，通過轉(zhuǎn)動(dòng)副與機(jī)架連接；4個(gè)導(dǎo)輪2固定在動(dòng)平臺(tái)3上，隨動(dòng)平臺(tái)3移動(dòng)；同步齒形帶4把所有帶輪連接起來，其末端A、B固定于導(dǎo)向桿8的下端；移動(dòng)副5固定于機(jī)架，用于動(dòng)平臺(tái)3的支撐導(dǎo)向；移動(dòng)副6固定于動(dòng)平臺(tái)3，用于對導(dǎo)向桿8的支持導(dǎo)向；動(dòng)輪7為同步齒形帶輪，與執(zhí)行末端9分別連接在導(dǎo)向桿8的上下兩端。兩個(gè)靜輪1的尺寸參數(shù)完全相同，4個(gè)動(dòng)輪2的尺寸參數(shù)完全相同。

該機(jī)構(gòu)具有兩個(gè)自由度，兩個(gè)靜輪1作為驅(qū)動(dòng)輪，驅(qū)動(dòng)動(dòng)平臺(tái)3沿移動(dòng)副5左右運(yùn)動(dòng)以及導(dǎo)向桿8沿移動(dòng)副6上下運(yùn)動(dòng)，從而控制執(zhí)行末端9在-坐標(biāo)系下的定位運(yùn)動(dòng)。由于驅(qū)動(dòng)輪以及與之連接的驅(qū)動(dòng)電機(jī)固定于機(jī)架上，不跟隨前置機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，因此該機(jī)構(gòu)具有較低的運(yùn)動(dòng)慣量，適用于節(jié)拍要求較高的抓取場景。兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的角位移坐標(biāo)在驅(qū)動(dòng)坐標(biāo)系-下描述；取執(zhí)行末端9上某定點(diǎn)代表執(zhí)行末端位置，其位置坐標(biāo)在工作坐標(biāo)系-下描述。取帶輪半徑為，設(shè)兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的角位移為、，規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎较颉?/p>

圖1 二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)簡圖

圖2 二自由度交錯(cuò)輪組運(yùn)動(dòng)學(xué)分析簡圖

2 二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

由于左右兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪在-坐標(biāo)空間中各自的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)疊加原理，機(jī)構(gòu)在-坐標(biāo)空間下的運(yùn)動(dòng)結(jié)果可以看做由左右兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪各自的運(yùn)動(dòng)經(jīng)過機(jī)構(gòu)變換后疊加而成。這樣，如果兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，所轉(zhuǎn)過角度分別為Δ、Δ，則執(zhí)行末端在-坐標(biāo)系下的位置變化量可分以下3步求解:

(1)右側(cè)帶輪不動(dòng)，左側(cè)帶輪轉(zhuǎn)過角度Δ

如圖2所示，把交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)分為上下左右4個(gè)臂，、、、、、、、分別為交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)每個(gè)臂在水平和豎直方向上的帶長，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)上的同步齒形帶的整體長度是固定不變的，變化的只是帶長在4個(gè)臂上的分配。每個(gè)臂兩側(cè)的帶長是相等的，即有：

(1)

且滿足：

(2)

當(dāng)左側(cè)帶輪轉(zhuǎn)過角度Δ，右側(cè)帶輪不動(dòng)時(shí)，交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)的上半部分+++帶長的變化量為

Δ(+++)=-Δ·

(3)

由于+=定值，可得+變化量為

Δ(+)=-Δ·

(4)

又因=，可知：

Δ=Δ=-Δ·2

(5)

又由+=+=定值，可得：

Δ=Δ=Δ·2

(6)

當(dāng)左側(cè)帶輪轉(zhuǎn)過角度Δ，右側(cè)帶輪不動(dòng)時(shí)，交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)的+的變化量為

Δ(+)=Δ·

(7)

又因Δ=Δ=Δ·2，=，可知：

Δ=Δ=Δ·2

(8)

又由+=+=定值，可得：

Δ=Δ=-Δ·2

(9)

綜上，可得各方向的帶長變化量為

(10)

因此，執(zhí)行末端在-坐標(biāo)系下的位置變化量為

(11)

(2)左側(cè)帶輪不動(dòng)，右側(cè)帶輪轉(zhuǎn)過角度Δ

同(1)中分析計(jì)算過程，可得執(zhí)行末端在-坐標(biāo)系下的位置變化量為

(12)

(3)執(zhí)行末端實(shí)際位置變化量

執(zhí)行末端在-坐標(biāo)系下的實(shí)際位置變化量為前兩步中位置變化量的疊加

(13)

在選取了輸出坐標(biāo)系-的坐標(biāo)原點(diǎn)后，上式便可寫成如下形式：

(14)

上式即為該機(jī)構(gòu)的位置正解結(jié)果。

由位置正解可推得位置逆解結(jié)果為

(15)

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)性能評價(jià)

對式(14)求導(dǎo)可得機(jī)構(gòu)速度映射模型：

(16)

故機(jī)構(gòu)的速度Jacobian 矩陣為

(17)

以Jacobian 矩陣的條件數(shù)作為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)，求得該矩陣在二范數(shù)下的條件數(shù)為

(18)

Jacobian矩陣的條件數(shù)越接近于1，機(jī)構(gòu)各向同性、靈活性及力學(xué)性能也越好。由于二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)Jacobian 矩陣的條件數(shù)恒等于1，因此，該機(jī)構(gòu)沒有奇異位形，且在工作空間的各個(gè)位形均具有良好的各向同性、靈活性和力學(xué)性能。

4 樣機(jī)試驗(yàn)

4.1 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

以和利時(shí)MC系列運(yùn)動(dòng)控制器為基礎(chǔ)控制平臺(tái)，開發(fā)二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)的控制系統(tǒng)。MC系列運(yùn)動(dòng)控制器是和利時(shí)自主研發(fā)的一款通用型運(yùn)動(dòng)控制器，可完成單軸定位運(yùn)動(dòng)、多軸同步運(yùn)動(dòng)、多軸軌跡插補(bǔ)、運(yùn)動(dòng)前瞻、全閉環(huán)控制等常見運(yùn)動(dòng)控制功能，并具備脈沖、模擬量、EtherCAT總線等多種接口類型。控制器組態(tài)編程環(huán)境遵循IEC61131-3標(biāo)準(zhǔn)，支持多任務(wù)編程，運(yùn)動(dòng)控制功能以庫指令的方式呈現(xiàn)，用戶可在工程程序中調(diào)用相關(guān)指令，控制器后臺(tái)的運(yùn)動(dòng)控制算法實(shí)時(shí)內(nèi)核處理并執(zhí)行相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)控制功能。

將文中的二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解模型添加至MC系列運(yùn)動(dòng)控制器的運(yùn)動(dòng)控制內(nèi)核中，以專用運(yùn)動(dòng)控制指令的方式提供給用戶使用，該指令調(diào)用成功后，用戶便可在直角坐標(biāo)系中使用運(yùn)動(dòng)控制器的通用運(yùn)動(dòng)控制指令(如直線、圓弧插補(bǔ)等)直接控制二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)學(xué)模型變換部分由控制器底層運(yùn)動(dòng)控制算法內(nèi)核自動(dòng)完成。

控制系統(tǒng)運(yùn)行機(jī)制如圖3所示。

圖3 二自由度交錯(cuò)輪組控制系統(tǒng)運(yùn)行機(jī)制

4.2 試驗(yàn)結(jié)果

為便于檢驗(yàn)控制效果，在二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)樣機(jī)末端設(shè)計(jì)夾筆機(jī)構(gòu)，可直接繪制出軸插補(bǔ)軌跡，以觀察、測量執(zhí)行結(jié)果的正確性。在此基礎(chǔ)上，控制樣機(jī)進(jìn)行點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)、直線/圓弧插補(bǔ)幾何作圖、寫字繪畫試驗(yàn)，繪圖軌跡如圖4所示。試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了文中所建立的二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

圖4 二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)樣機(jī)繪圖試驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié)論

本文作者對二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析建模，并對其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)性能評價(jià)。開發(fā)了二自由度交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)求解模塊，添加至和利時(shí)MC系列運(yùn)動(dòng)控制器底層運(yùn)動(dòng)控制算法內(nèi)核中，用戶便可在直角坐標(biāo)系中對該交錯(cuò)輪組機(jī)構(gòu)進(jìn)行控制，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型變換由控制器底層運(yùn)動(dòng)控制算法內(nèi)核自動(dòng)完成。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了樣機(jī)插補(bǔ)繪圖試驗(yàn)驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果證明了所建立模型的正確性。