引入失效信息的無失效數(shù)據(jù)可靠性評估

李燕華，林文鵬，范富波，黎珍

（1.空調(diào)設(shè)備及系統(tǒng)運行節(jié)能國家重點實驗室，珠海 519000；2.廣東省制冷設(shè)備節(jié)能環(huán)保技術(shù)企業(yè)重點實驗室，珠海 519000；3.沈陽中科奧維科技股份有限公司，沈陽 710025；4.北方慶華機電有限公司，西安 710025）

引言

由于產(chǎn)品的可靠性越來越高且越來越受人關(guān)注，加上時間和成本的制約，在進行定時截尾的可靠性試驗過程中更易出現(xiàn)無失效數(shù)據(jù)情形。在無失效數(shù)據(jù)情況下如何進行可靠性參數(shù)估計，是一個迫切需要解決的問題[1-3]。國內(nèi)外許多學(xué)者對無失效數(shù)據(jù)可靠性評估問題進行了相關(guān)研究。最早提出了無失效數(shù)據(jù)這一問題的是Martz和Waller[4]，他們針對壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品提出了一種基于的Bayes無失效可靠性控制檢驗方法?，F(xiàn)在處理無失效數(shù)據(jù)的方法主要分為兩大類：經(jīng)典法和Bayes類方法。經(jīng)典方法有：Martz等人使用的“可靠性抽樣檢驗方法”[4]、陳家鼎等人提出的“最優(yōu)置信限法”[5]、茆詩松等人提出的“配分布曲線法”[6]、Chow等人提出的“退化失效模型的統(tǒng)計分析法”[7,8]、王玲玲等人提出的“修正似然函數(shù)法”[9]、張忠占等人提出的“極小χ2-法”和“等效失效法”[10,11]、殷弘等人提出的“改造CLASS-K法”[12]和王學(xué)仁等人提出的“廣義線性模型”[13]等。除了以上經(jīng)典方法另一類是貝葉斯方法，兩者區(qū)別在于是否利用先驗信息，近年來，Bayes理論因其能充分利用產(chǎn)品現(xiàn)所有信息提高估計的準(zhǔn)確度，在無失效數(shù)據(jù)處理上得到越來越多的認可。對于軟件可靠性評估，Miller[14]建立了一種黑盒子模型，使用黑盒隨機測試和Bayes方法估計失效概率，解決了在觀測故障數(shù)據(jù)為零的時候當(dāng)前版本軟件的可靠性評估問題。Bailey[15]在爆炸物測試領(lǐng)域進行二項分布的概率分布估計，估計值與Bayes后驗分布的中值一致。Fan等[16]對高質(zhì)量的電起爆裝置進行貝葉斯零故障可靠性演示測試，以設(shè)計正常的樣本大小、測試長度和指定的可靠性標(biāo)準(zhǔn)。韓明[17-19]提出了E-Bayes法和M-Bayes法，在不同先驗分布下，分別給出了無失效數(shù)據(jù)情形失效概率的估計，然后在引進失效信息后給出了失效概率的估計，并對無失效數(shù)據(jù)情形失效概率的估計和引進失效信息后失效概率的估計進行綜合處理基礎(chǔ)上給出了分布的參數(shù)和可靠度的加權(quán)綜合估計。Xu等[20]在無失效數(shù)據(jù)情況下，使用雙邊修正貝葉斯（M-Bayesian）置信限法研究了指數(shù)分布的故障率和可靠性的區(qū)間估計。Bremerman等[21]求解了Clopper-Pearson單側(cè)置信限方程，并推導(dǎo)出無失效數(shù)據(jù)下的失效概率的點估計值。Lei等[22]提出了一種在小樣本、零失效數(shù)據(jù)情況下，按威布爾分布進行產(chǎn)品可靠性評估的新方法，嘗試Bayes方法將目標(biāo)產(chǎn)品和相似產(chǎn)品的可靠性數(shù)據(jù)進行融合，以提高評價結(jié)果的準(zhǔn)確性。李海洋等[23]對無失效數(shù)據(jù)情況的滾動軸承采用E-Bayes法和參數(shù)Bootstrap法同時得到產(chǎn)品可靠度的點估計和區(qū)間估計。傅惠民等[24]建立一種綜合當(dāng)前試驗數(shù)據(jù)、仿真數(shù)據(jù)和以往歷史無失效數(shù)據(jù)的方法對服從兩參數(shù)威布爾分布和對數(shù)正態(tài)分布的機電產(chǎn)品進行壽命預(yù)測和可靠性評估。何婺暉等[25]基于Weibull分布采用配分布曲線法和E-Bayes法，得到分布參數(shù)的估計值并給出區(qū)間估計和可靠度置信下限。

本文的研究主要基于指數(shù)分布采用配分布曲線法分析，構(gòu)造出多層先驗分布，進行失效概率的綜合E-Bayes估計，使用加權(quán)最小二乘法擬合得到指數(shù)分布參數(shù)和可靠度的點估計，為避免評估過于“冒進”，引入失效數(shù)據(jù)，得到分布參數(shù)和可靠度的綜合估計。在進行分布參數(shù)和可靠度的綜合估計時，定時截尾試驗時間tm+1和截尾試驗樣本量nm+1對估計結(jié)果有很大影響。提出一種新的確定tm+1的方法，使其結(jié)果更加合理。本文在文獻[26]和文獻[18]的基礎(chǔ)上對壽命服從指數(shù)分布的某型導(dǎo)彈液壓電機進行實例驗證。

1 模型假定

若產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布，則其分布函數(shù)為：

式中：

λ—失效率。

設(shè)產(chǎn)品壽命T服從的分布函數(shù)為F(t;λ)，λ∈Θ，Θ為參數(shù)空間，截尾時間分別為t1,t2,…,tk(0

1）產(chǎn)品壽命服從分布函數(shù)F(t;λ)；

2）產(chǎn) 品 在 時 刻 的 失 效 率 記 為pi=P(T≤ti)，0

3）t=0時，產(chǎn)品的失效概率為p0=P(T≤0 )=0；

4）記s i=ni+ni+1+… +nk表示在時刻ti有個si樣本還未失效，即有si個樣品的壽命大于ti。

本文通過定時截尾試驗中的無失效數(shù)據(jù)信息(t i,ni)對產(chǎn)品的分布參數(shù)和可靠度進行評估。

2 失效概率的E-Bayes估計

2.1 先驗分布類型確定

假設(shè)失效概率ip的先驗分布為共軛Beta分布，其概率密度表達式:

2.2 失效概率的E-Bayes估計的定義

假設(shè)失效概率先驗分布中的超參數(shù)均服從均勻分布，給出的E-Bayes估計的定義。

2.3 無失效數(shù)據(jù)失效概率的E-Bayes估計

對壽命服從指數(shù)分布函數(shù)產(chǎn)品進行m次定時截尾試驗，無失效數(shù)據(jù)為根據(jù)先驗密度函數(shù)（3），得到如下結(jié)論：

1）失效概率ip的Bayes估計為：

失效概率ip的E-Bayes估計為：

推導(dǎo)過程如下：在試驗過程中無失效數(shù)據(jù)，則失效概率pi的似然函數(shù)為L(0|pi)=(1?pi)si。

1）確定pi后驗分布。根據(jù)pi先驗密度分布和pi的似然函數(shù)可推出后驗密度分布如下：

2）ip的Bayes估計。在平方損傷下，ip的Bayes估計為：

3）pi的E-Bayes估計。超參數(shù)a和b分布服從（0，1）和（1，c）上的均勻分布，則pi的E-Bayes估計為：

2.4 引入失效情形下失效概率的E-Bayes估計

對壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品進行m+1次定時截尾試驗，前m次試驗均為無失效數(shù)據(jù)，記為(ni,t i)(i= 1,2,… ,m)。在第m+1次試驗中，定時截尾時間為tm+1，定時截尾樣本為nm+1，根據(jù)先驗密度函數(shù)（3），得到如下結(jié)論：

1）失效概率pm+1的Bayes估計為：

推導(dǎo)過程如下：在第m+1試驗過程中有r個失效數(shù)據(jù)，則失效概率pm+1的似然函數(shù)為

1）確定pm+1后驗分布。根據(jù)pm+1先驗密度分布和pm+1的似然函數(shù)可推出后驗密度分布如下：

2）pm+1的Bayes估計。在平方損傷下，pm+1的Bayes估計為：

3）pm+1的E-Bayes估計。超參數(shù)a和b分布服從（0，1）和（1，c）上的均勻分 布，則pi的E-Bayes估計為：

2.4 可靠度的點估計

在定時截尾試驗時間ti時，對應(yīng)的產(chǎn)品的失效概率為pi。則失效概率滿足等式pi=1 ?e?λti。等式兩邊取對數(shù)得：ln(1 ?pi)=?λti。令yi= ln(1 ?pi)，可得：

式中，iε是和之間的誤差，由于誤差數(shù)值較小，常將其省略。

3 引入失效數(shù)據(jù)可靠性綜合估計

2.3節(jié)和2.4節(jié)分布給出了失效概率pi在無失效數(shù)據(jù)情形下的貝葉斯估計期望-Bayes估計和引入失效數(shù)據(jù)時失效概率pm+1的Bayes估計p?m+1、E-Bayes估計本文將結(jié)合無失效數(shù)據(jù)和有失效數(shù)據(jù)對產(chǎn)品可靠性進行綜合評估。

3.1 失效率的綜合 E-Bayes 估計

在無失效數(shù)據(jù)為(ni,t i)(i= 1,2,… ,m)時，pm+1的加權(quán)綜合估計[27]為：

3.2 可靠度的綜合E-Bayes估計

在無失效數(shù)據(jù)為(ni,t i)(i= 1,2,… ,m)時，引入失效信息，與2.4方法相同，則得到引入失效信息后的λ的估計值如下：

可以得到引入失效信息后產(chǎn)品可靠度的點估計為：

3.3 截尾時間的確定

在引入失效數(shù)據(jù)時，在第m+1次定時截尾試驗中，截尾時間為tm+1，相應(yīng)的試驗樣本量為nm+1，結(jié)果有r個樣品失效，而第m+1次試驗還未進行。文獻[13]給出了方法一確定nm+1、tm+1的值，文獻[19]給出了方法二確定tm+1的值，本文通過數(shù)據(jù)擬合的方法給出方法3確定tm+1的值。

式中：[]為取整符號。方法一中確定的，只用到了1t和mt這個2個數(shù)據(jù)，沒有充分使用其他無失效情形下的定時截尾時間，方法二使用了全部的無失效定時截尾時間，本文提出使用將全部無失效的定時截尾時間進行數(shù)據(jù)擬合來確定第m+1的截尾時間 1mt+。根據(jù)方法一、二和三可對失效概率ip和可靠度R進行E-Bayes估計。

4 某型導(dǎo)彈液壓電機的案例分析

某型導(dǎo)彈液壓電機壽命服從指數(shù)分布，其無失效數(shù)據(jù)[26]如表1所示。

表1 液壓電機無失效數(shù)據(jù)

引入失效數(shù)據(jù)后，根據(jù)公式（24）計算出n7=3，根據(jù)方法一計算出t7= 1447，根據(jù)方法二計算出t7=11343，根據(jù)本文提出的方法三對定時截尾時間進行擬合如圖1所示。

圖1 定時截尾時間擬合圖

根據(jù)擬合所得的表達式為：

式中：[]為取整符號。由式（28）計算得到方法三的第m+1的定時截尾試驗時間為7 1t=1265。當(dāng)c取不同值時，引入失效數(shù)據(jù)，失效概率的E-Bayes估計值

從表2中可以得出：

表2 引入不同失效個數(shù)時失效概率的估計值

1）當(dāng)c取同一值，引入的失效樣本數(shù)越大，失效概率估計值越大；

表3 效率的估計值

1）當(dāng)c值不同值時，不含失效數(shù)據(jù)計算的失效率較方法一、方法二與方法三明顯偏??；

2）引入失效數(shù)據(jù)后，方法一、方法二和方法三中的失效率值均隨著c值的增加而減少；當(dāng)c取同一值時，方法三的失效率比方法一與方法二的失效率較小。

從表4中可以得出：

表4 四種類型的可靠度估計值

1）在不使用失效數(shù)據(jù)時，在同一時刻下，取同一c值時，得到可靠度的點估計明顯高于引入失效數(shù)據(jù)的其他三種計算方法，說明不使用失效數(shù)據(jù)，可靠度估計值是“冒進”的；

2）在同一時刻下，隨著c值的增加，四種方法計算的可靠度均增加；

3）在同一時刻下，取同一c值時，方法三比方法一、方法二的可靠度綜合估計值更高，說明方法三與不使用失效數(shù)據(jù)計算的可靠度綜合評估值相比不“冒進”，方法三與方法一和方法二的可靠度綜合評估值相比不“保守”。

5 結(jié)論

1）推導(dǎo)了共軛先驗分布為Beta分布，其中超參數(shù)a和b均為均勻分布、時，在無失效數(shù)據(jù)情形下失效概率的期望-Bayes估計及引入失效信息下失效概率的E-Bayes估計

2）將配分布曲線法與E-Bayes估計法結(jié)合，使用加權(quán)最小二乘法，可進行指數(shù)分布參數(shù)估計并得到可靠度的點估計；

3）超參數(shù)b上限值c的取值對無失效信息與引入失效信息時失效概率的E-Bayes估計和綜合估計、失效率及可靠度的點估計均有影響 ；

4）提出將定時截尾時間進行數(shù)據(jù)擬合的方法得到擬合方程從而確定第m+1次定時截尾時間。使用此方法計算的可靠度與無失效數(shù)據(jù)的可靠度相比不“冒進”，與其他的計算方法相比不“保守”，說明此方法的合理性。