基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)新舊教材習(xí)題的比較研究
——以解三角形為例

沈小雪 宋玉軍

（佳木斯大學(xué)理學(xué)院 黑龍江佳木斯154000）

自2017版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)頒布以來，各省分批開始新一輪的課程改革。隨著課改的不斷深入，教材也隨之發(fā)生改變。現(xiàn)在，我國高中普遍使用的數(shù)學(xué)教材共有5版，分別為人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版，從而使我國形成一綱多版的局面。面對新課改提出的要求，人教A 版在解三角形部分進(jìn)行了很大改變。在高中的數(shù)學(xué)知識體系中，解三角形具有重要地位，并且它也是高考常見題型之一。而習(xí)題部分，課前作為預(yù)習(xí)，能夠了解本節(jié)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容；課上作為練習(xí)，能夠鞏固知識的學(xué)習(xí)；課后作為知識點(diǎn)的補(bǔ)充，能夠檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。因此，習(xí)題在一章當(dāng)中成為不可或缺的一部分。綜上，分析解三角形部分的習(xí)題是很有必要的。

1 基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的比較分析

對新舊教材的習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時，按照以下標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：教材中，以1、2、3……編號為大題，以（1）、（2）、（3）……編號為小題，凡是大題中有小題出現(xiàn)時，皆按小題數(shù)量計(jì)算。另外，統(tǒng)計(jì)的習(xí)題包含每節(jié)標(biāo)有“練習(xí)”“習(xí)題”和“復(fù)習(xí)參考題”字樣的部分。依據(jù)以上標(biāo)準(zhǔn)，按照各題目所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如表1和表2所示。

表1 新教材各題目所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)比較

表2 舊教材各題目所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)比較

1.1 數(shù)學(xué)抽象維度的比較分析

數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量之間的關(guān)系，或是空間形式上的變化的抽象，進(jìn)而得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)。新教材中體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的題目共有8 道，占總量的22.2%；舊教材中則有10道，占總量的14.9%。相較于舊教材來說，新教材在這方面的占比略高。由此可見，這次的教材編寫注重培養(yǎng)學(xué)生的這一素養(yǎng)。

例如，新教材中習(xí)題6.4 的“你能用三角形的邊和角的正弦表示三角形的面積嗎？”這一道題，在舊教材中，與它類似的題目是這樣描述的：“就三角形的面積計(jì)算問題作一探索，你現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些計(jì)算公式，還可發(fā)現(xiàn)和證明一些新的計(jì)算公式嗎？”

這兩道題的立意都是希望學(xué)生能夠通過對正弦定理的學(xué)習(xí)，自主探索總結(jié)出三角形的面積公式。新教材在題目中直接給出推導(dǎo)的思路，而舊教材沒有。相比之下，新教材題目的表達(dá)更加符合學(xué)生的發(fā)展認(rèn)知，更加有利于學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的某種規(guī)則，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，形成數(shù)學(xué)體系［1-3］。

1.2 邏輯推理維度的比較分析

邏輯推理是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)具備的基本能力之一，它是指根據(jù)已知判斷推出新判斷的一種能力。借助邏輯推理能力的培養(yǎng)，使學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，且能夠找到錯綜復(fù)雜的事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。新教材中，凸顯邏輯推理素養(yǎng)的題目基本是延續(xù)了舊教材，但是新教材的題數(shù)占總數(shù)的22.2%，而舊教材為17.9%，新教材高于舊教材4.3%。由此可見，在對學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)上，新教材比舊教材更加重視。

1.3 數(shù)學(xué)建模維度的比較分析

數(shù)學(xué)建模是指將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法對問題進(jìn)行設(shè)計(jì)和實(shí)施，從而建立數(shù)學(xué)模型解決問題的素養(yǎng)。在新教材中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的題目數(shù)量僅占總數(shù)的5.6%，而舊教材為7.5%，新教材比舊教材低了1.9%，可見數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)在新教材的體現(xiàn)度略低。數(shù)學(xué)建模是連接實(shí)際生活與數(shù)學(xué)知識的一道橋梁，是數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面最好的體現(xiàn)，也是以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)必備的數(shù)學(xué)思想。在高中階段學(xué)會數(shù)學(xué)模型，一方面，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)語言表示實(shí)際生活的感覺；另一方面，可以認(rèn)識數(shù)學(xué)模型在生活中的多種作用，提升學(xué)生的動手操作能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識。因此，新教材應(yīng)該適當(dāng)增加數(shù)學(xué)建模方面的習(xí)題［4-6］。

1.4 數(shù)學(xué)運(yùn)算維度的比較分析

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指明確計(jì)算目標(biāo)，根據(jù)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題。主要包括：定對象，懂法則，理思路，求結(jié)果。從表1和表2中可以看出，新教材對體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的這類題目進(jìn)行了刪減。對于這種純運(yùn)算直接應(yīng)用定理，只能機(jī)械強(qiáng)化學(xué)生思維的題目，與“全面發(fā)展”這一教育理念背道而馳，因此，新教材在修訂時特別注重多種素質(zhì)的共同培養(yǎng)。

1.5 直觀想象維度的比較分析

直觀想象是指通過借助幾何直觀和空間想象認(rèn)識事物的變化過程，利用圖形加深理解，從而解決數(shù)學(xué)問題。主要包括：通過空間形態(tài)認(rèn)識事物；利用圖形分析問題等。通過表1和表2發(fā)現(xiàn)，新教材習(xí)題體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的數(shù)量占總體38.9%，而舊教材為40.3%，二者相差不大，從占比來看，直觀想象這一核心素養(yǎng)均是新舊兩版教材中解三角形部分主要體現(xiàn)的核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中直接展現(xiàn)這一素養(yǎng)的典型思想就是數(shù)形結(jié)合。借助這類題目的練習(xí)，可以幫助學(xué)生在解題過程中建立數(shù)形結(jié)合的思想，提升空間想象的能力。

1.6 數(shù)據(jù)分析維度的比較分析

數(shù)據(jù)分析主要指具備對數(shù)據(jù)處理、分析的敏感度，能夠真實(shí)且有用地獲取數(shù)據(jù)信息，并且對于數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行合理、科學(xué)的統(tǒng)計(jì)，從而在數(shù)據(jù)分析的過程當(dāng)中獲得有價值的信息內(nèi)容，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對于數(shù)據(jù)的利用。通過在高中階段的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠提高獲取信息、處理信息和應(yīng)用信息的能力及意識，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的能力，以此讓學(xué)生逐漸具備用數(shù)據(jù)印證事實(shí)的思維。從表1 和表2 中可以看出，在這部分習(xí)題中，體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的題目和體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的題目是直接掛鉤的。因此，新教材在這個素養(yǎng)上是低于舊教材的，但是差距并不是十分明顯，教師在對這類題目進(jìn)行講解時應(yīng)融入其他與之類似的題目。

2 習(xí)題難度的比較研究

2.1 習(xí)題數(shù)量比較

依據(jù)以上標(biāo)準(zhǔn)，對新舊教材解三角形部分習(xí)題的統(tǒng)計(jì)數(shù)量，如表3和表4所示。

表3 新教材習(xí)題數(shù)量分布表

表4 舊教材習(xí)題數(shù)量分布表

從數(shù)據(jù)結(jié)果看，新教材的習(xí)題總數(shù)為36 道，舊教材的習(xí)題總數(shù)為67道，新教材的數(shù)量比舊教材少了近一半。造成這一現(xiàn)象的主要原因是編排方式的改變，在舊教材中解三角形獨(dú)成一章，共有三小節(jié)，由于第三節(jié)是實(shí)習(xí)作業(yè)，所以沒有對應(yīng)的習(xí)題，前兩節(jié)都有練習(xí)和習(xí)題部分，在章節(jié)的最后還有復(fù)習(xí)參考題。而在新教材中，解三角形僅僅是作為平面向量的應(yīng)用出現(xiàn)，只占了一節(jié)中的一部分，除了有單獨(dú)的練習(xí)外，并沒有與之配套的習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題。

在這部分中，還有一個最顯著的變化，新教材中題目所給出的三角形元素突出“特殊角”的作用。與舊教材相比，新教材題目中所給出條件不會過于復(fù)雜，說明它更加注重定理的應(yīng)用。在應(yīng)用舉例部分，新教材數(shù)量明顯比舊教材少很多，但并不是說新教材不重視定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。這樣設(shè)計(jì)的原因有二：一是在前面提到編排方式上的改變；二是舊教材中此部分的習(xí)題數(shù)量對于學(xué)生而言過于繁重，由于學(xué)生剛剛學(xué)完解三角形的知識，認(rèn)知正在處于建構(gòu)階段，而應(yīng)用舉例的習(xí)題通常題干過長，難以理解，若這部分題目過多，易使學(xué)生在錯誤中感到沮喪，進(jìn)而失去解題的興趣。

2.2 習(xí)題綜合難度分析

根據(jù)鮑建生的綜合難度模型，選取新教材的36個題目和舊教材的67 個題目為研究對象，從習(xí)題的背景、探究、運(yùn)算、推理、知識5個因素進(jìn)行分析。下面結(jié)合解三角形這部分習(xí)題的特點(diǎn)對5個因素的每個水平進(jìn)行闡述，如表5所示。

表5 習(xí)題難度各因素水平描述

根據(jù)以上界定，通過對兩本教材解三角形部分的習(xí)題的比較，它們的難度統(tǒng)計(jì)如表6所示。

表6 新舊教材解三角形部分習(xí)題難度比較

通過觀察圖1分析，不管是新教材還是舊教材，習(xí)題的運(yùn)算部分都是要比其他部分的難度略大一些，分別為2.58 和2.46，可見新舊教材在解三角形部分更加注重對定理的理解以及定理在數(shù)學(xué)運(yùn)算上的應(yīng)用。另外，兩本教材的主要不同之處呈現(xiàn)在背景和知識兩個方面。從背景方面來看，新教材的難度值小于舊教材，造成這一結(jié)果的主要原因是新教材在章節(jié)分布上的變化。在新教材中，解三角形被安排在了平面向量這一章，作為平面向量的應(yīng)用出現(xiàn)，其中，這節(jié)還有平面向量在物理中的應(yīng)用，這部分的增加使得解三角形中帶有背景的題目減少。從知識方面看，新教材的難度值高于舊教材，說明這本教材在編寫上對知識內(nèi)容做出了新的要求。高考數(shù)學(xué)通常是將解三角形的知識與其他知識交匯考察，為適應(yīng)高考，新教材在進(jìn)行編寫時應(yīng)注重多種知識的融會貫通。

圖1 習(xí)題難度雷達(dá)圖

3 結(jié)語

通過對新舊教材解三角形部分的習(xí)題的難度和基于核心素養(yǎng)分析習(xí)題兩個維度進(jìn)行研究，新教材的習(xí)題更加注重學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的能力。此次改編充分考慮到學(xué)生的知識建構(gòu)能力，重視各核心素養(yǎng)在學(xué)生身上的結(jié)合作用，在學(xué)生穩(wěn)步前進(jìn)的同時，更加關(guān)注他們的全面發(fā)展，落實(shí)了“立德樹人”的根本任務(wù)。