乘波體飛行器非脆弱預設性能控制*

卜祥偉，姜寶續

（空軍工程大學，a.防空反導學院；b.研究生院，陜西 西安 710051）

0 引言

乘波體飛行器（waverider vehicle，WV）具有高升力、低阻力和高升阻比的突出特點，非常有助于實現其高速飛行。WV 一直以來都是世界各航空航天大國爭奪空天權的優先發展方向。控制系統被認為是WV 的“神經中樞”，對于保障其安全飛行和順利完成任務使命至關重要。WV 特殊的動力學特性給其控制系統設計帶來了多重挑戰，WV 的飛行控制問題也一直都是控制領域的一個前沿熱點問題［1-2］。

近年來，國內外科技人員對WV 的飛行控制進行了系統研究，在模型建立、特性分析與控制仿真等方面取得了豐碩成果［3-5］。文獻［5-7］考慮系統受擾、執行器故障、存在約束等情形下WV 的強魯棒控制問題，雖能保證控制系統滿意的穩態精度，但對誤差收斂過程的瞬態性能無法進行定量或定性設計。鑒于WV 大機動飛行對其飛行控制系統的動態性能有著極高的要求，在保證控制系統穩態性能的基礎上，還必須確保其具有出色的動態性能［8］。預設性 能 控制［9］（prescribed performance control，PPC）已被證明是一種可以有效保證控制系統滿意動態性能的新方法，近年來在WV 的飛行控制中也有較多創新性研究。針對傳統PPC 依賴精確誤差初值的技術缺陷，文獻［10］通過設計一種新型性能函數，為WV 提出了一種新穎的神經網絡PPC 方法。仿真結果雖然證明了該算法的有效性，但是過大的性能函數初值有可能導致跟蹤誤差的超調量失控。為此，文獻［11］提出了一種可以保證跟蹤誤差小超調（甚至零超調）收斂的PPC 新方法，并將其應用于WV 的飛行控制，保證了速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差零超調收斂。進一步，文獻［12］針對傳統PPC［9-11］收斂時間不明確的缺點，構造了一種有限時間收斂的新型性能函數，可以保證跟蹤誤差在任意設定的時間內收斂到穩態，進一步提高了PPC 方法的工程實用性。

盡管現有WV 的PPC 研究也取得了一定的進展，但同時應當看到，現有研究還存在明顯不足。上述PPC［9-12］方法為了保證控制魯棒性，通常采用神經網絡或者模糊系統對WV 的未知模型進行在線逼近，并基于Lyapunov 理論為權值向量設計使閉環系統漸近穩定的在線學習律，這必然導致過大的在線學習量［13］，難以保證WV 機動飛行對其控制實時性的苛刻要求。此外，WV 在臨近空間飛行時遭受的外部突變擾動必然會引起跟蹤誤差的短時間波動，如果誤差波動幅度過大，就會造成誤差接近甚至越過PPC 的約束包絡，將直接導致控制奇異，此亦即所謂的現有PPC 的脆弱性缺陷［14］。

基于以上分析，本文為WV 提出一種無需任何在線學習參數的非脆弱PPC 新方法。通過設計一種新型性能函數，使得PPC 的約束包絡能夠自主“感知”誤差波動情況，并有針對性地調整約束包絡的形狀，從而避免傳統PPC 可能存在的控制奇異問題，并克服現有PPC 的脆弱性缺陷。基于Lyapunov理論證明了閉環控制系統的穩定性以及預設性能的可達性。最后，通過數值對比仿真驗證了所提方法的有效性和優越性。

1 WV 運動模型

美國學者Bolender［3］等將WV 機體橫向寬度單位化，建立了縱向運動的一體化解析式二維模型，為飛行控制設計提供了模型基礎。Parker［4］等進一步將該模型進行合理簡化，建立了如下被廣泛采用的參數擬合模型：

注釋1：WV 的幾何外形與受力情況如圖1 所示。WV 的縱向運動模型包含5 個剛體狀態、2 個彈性狀態和2 個控制輸入。參數與變量詳細定義見表1。由于彈性狀態η1與η2完全不可測，借鑒相關文獻［6，8，15］的通常做法，將利用控制系統的魯棒性對彈性振動進行被動抑制。

表1 參數定義Table 1 Definitions of parameters

圖1 WV 幾何外形與受力示意圖Fig.1 Geometry and force map of WVs

控制目標是：為Φ，δe設計合適的控制律，使得v→vr，h→hr，γ→γr，θ→θr，Q→Qr，并且所有跟蹤誤差均滿足期望的非脆弱預設性能。這里，vr∈?＞0，hr∈?＞0為給定的參考指令，γr∈?，θr∈?，Qr∈? 為待設計的虛擬控制律。

假設1［15］：vr∈?＞0，hr∈?＞0及其對時間的一階導數∈?＞0，∈?＞0均有界。

2 非脆弱PPC 設計

傳統PPC 在遭遇強干擾時，極易誘發控制奇異，表現出明顯的脆弱性缺陷。為此，將為WV 的速度子系統（即式（1））與高度子系統（即式（2）～（5））設計一種新型非脆弱PPC 策略。

2.1 速度控制律設計

設計目標是為Φ選取合適的控制律，使得跟蹤誤差=v-vr滿足如下非脆弱預設性能

考慮到不等式（8）不便于控制器設計，對其進行如下等價變換

式中：Tv(φv)=exp(φv)/(1+exp(φv))為轉換函數；φv∈? 為轉換誤差。由于Tv(φv) ∈(0，1)，則易知式（12）與式（8）等價。

對式（12）求逆，得到

將速度控制律Φ設計為

式中：ιv∈?＞0。

下面，對速度子系統的穩定性進行證明。

對式（13）求導并代入式（1），（12），可得

式中：κv∈(0，1)。

將式（16）代入式（15），可得

2.2 高度控制律設計

注釋3：與?v(t)具有類似功能，?i(t)，i=h，γ，θ，Q能夠根據誤差波動情況自主調整約束包絡（20），以確保跟蹤誤差始終位于約束包絡內，并克服傳統PPC 的脆弱性缺陷。

鑒于不等式（20）不便于控制器設計，對其進行如下等價變換

式中：Ti(φi)=exp(φi)/(1+exp(φi))為轉換函數，φi∈?為轉換誤差，i=h，γ，θ，Q。由 于Ti(φi) ∈(0，1)，i=h，γ，θ，Q，則易知式（20）與式（27）等價。

對式（27）求逆，得到

將虛擬控制律γr，θr，Qr以及高度控制律δe分別設計為

下面，對高度子系統的穩定性進行證明。

對式（28）求導并代入式（3）～（5），（27），可得

對式（36）求導并代入式（28）與式（35），可得

注釋3：傳統反演控制方法［15］需要精確獲知虛擬控制律的一階導數，存在所謂的“微分項膨脹”問題。本文所設計的控制律（14），（29）不僅構型簡單，而且不需要虛擬控制律的導數，避免了傳統反演的“微分項膨脹”難題。

注釋4：傳統PPC 方法［9-13］在遭受強突變干擾時極易造成控制奇異，表現出明顯的脆弱性缺陷。本文所設計的新型約束包絡（8），（20）飽和修正項?i(t)，i=v，h，γ，θ，Q，能夠自主“感知”誤差波動并自動調整約束包絡，從而彌補了現有PPC 方法［9-13］的脆弱性缺陷。

3 數值仿真驗證

為了驗證本文所設計控制律（14），（29）的有效性以及相對于現有方法［9］的優越性，以式（1）～（7）作為被控對象，采用Matlab/Simulink 軟件進行數值對比仿真。仿真采用四階龍格-庫塔法進行解算，仿真步長為0.01 s。控制增益參數取為：ιv=0.3，ιh=0.04，ιγ=0.05，ιθ=0.1，ιQ=0.5。速度跟蹤 誤差約束包絡的設計參數取為：μv0=5，μvf=0.9，av=2，bv，2=15，bv，1=0.5，Tf，v=3。高度跟蹤誤差約束包絡的設計參數取為：μh0=1.5，μhf=0.5，ah=2，bh，2=5，bh，1=2，Tf，h=3。航跡角跟蹤誤差約束包絡的設計參數取為：μγ0=0.1，μγf=0.02，aγ=2，bγ，2=5，bγ，1=5π/180，Tf，γ=3。俯仰角跟蹤誤差約束包絡的設計參數取為：μθ0=0.1，μθf=0.01，aθ=2，bθ，2=4，bθ，1=π/180，Tθ，h=3。航跡角速率跟蹤誤差約束包絡的設計參數取為：μQ0=0.2，μQf=0.03，aQ=2，bQ，2=5，bQ，1=π/180，TQ，h=3。

仿真過程中，考慮系統同時存在參數攝動和外部擾動。假定系統參數隨時間攝動±35%（變化規律為sin(0.1πt)）。并考慮如下外部擾動：

仿真1：采用本文所提出的非脆弱PPC 方法進行仿真。仿真結果如圖2～10 所示。

由圖2，4 可見，當系統存在參數攝動與外部擾動時，本文所提方法仍能實現速度與高度對各自參考指令的穩定跟蹤。由圖3，5～8 可見，所有跟蹤誤差均被限定在預設的約束包絡內，從而滿足期望的動態性能與穩態精度。尤其是圖3 表明，當速度跟蹤誤差因為外部擾動而增加并逐漸靠近約束包絡時，本文所提方法的約束包絡能夠自動“感知”誤差的這種變換趨勢，并自主調整約束包絡（增大上包絡，減小下包絡），從而避免了傳統PPC 可能存在的控制奇異問題。圖9，10 表明，速度控制輸入與高度控制輸入能夠動態地響應系統參數攝動和外部擾動，保證了控制魯棒性。

圖2 所提方法的速度跟蹤效果Fig.2 Velocity tracking performance of the proposed method

圖3 所提方法的速度跟蹤誤差Fig.3 Velocity tracking error of the proposed method

圖4 所提方法的高度跟蹤效果Fig.4 Altitude tracking performance of the proposed method

圖5 所提方法的高度跟蹤誤差Fig.5 Altitude tracking error of the proposed method

圖6 所提方法的航跡角跟蹤誤差Fig.6 Flight-path angle tracking error of the proposed method

圖7 所提方法的俯仰角跟蹤誤差Fig.7 Pitch angle tracking error of the proposed method

圖8 所提方法的俯仰角速率跟蹤誤差Fig.8 Pitch rate tracking error of the proposed method

圖9 所提方法的速度控制輸入Fig.9 Velocity control input of the proposed method

仿真2：在與仿真1 同等條件下，采用文獻［9］的傳統PPC 方法。仿真結果如圖11～15 所示。

圖12～15 表明，當采用文獻［9］的傳統PPC 方法時，雖然也能將高度跟蹤誤差、航跡角跟蹤誤差、俯仰角跟蹤誤差以及俯仰角速率跟蹤誤差限定在約束包絡內，但是由圖11 可見，當外部擾動導致速度跟蹤誤差增加時，文獻［9］的傳統PPC 方法不具備約束包絡的再調整能力，導致速度跟蹤誤差越過了約束包絡，將直接造成控制奇異。綜上所述，數值仿真結果充分驗證了所提方法的有效性以及相對于現有方法的優勢。

圖10 所提方法的高度控制輸入Fig.10 Altitude control input of the proposed method

圖11 文獻［9］方法的速度跟蹤誤差Fig.11 Velocity tracking error of the method in［9］

圖12 文獻［9］方法的高度跟蹤誤差Fig.12 Altitude tracking error of the method in［9］

圖13 文獻［9］方法的航跡角跟蹤誤差Fig.13 Flight-path angle tracking error of the method in［9］

圖14 文獻［9］方法的俯仰角跟蹤誤差Fig.14 Pitch angle tracking error of the method in［9］

圖15 文獻［9］方法的俯仰角速率跟蹤誤差Fig.15 Pitch rate tracking error of the method in［9］

4 結束語

本文針對WV 受擾條件下的跟蹤控制問題，提出了非脆弱PPC 新方法。為了克服傳統PPC 的脆弱性缺陷，設計了1 種新型性能函數。所構造的約束包絡能夠根據由誤差引起的誤差波動情況，自適應地調整包絡形狀，從而避免了控制奇異問題。穩定性分析表明，當存在外部擾動時，仍能保證所有跟蹤誤差期望的預設性能。不同于傳統基于神經/模糊逼近的PPC 方法，本文所提方法無需任何在線學習參數，且能避免傳統PPC 的脆弱性缺點。對比仿真結果證明了所提方法相對于現有方法的優越性。