基于應(yīng)變能理論的端齒彎曲剛度及其轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性影響研究

邱欣可，曾 武，高 慶，滿吉鑫

(1.中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所先進(jìn)燃?xì)廨啓C(jī)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190；2.中國(guó)科學(xué)院先進(jìn)能源動(dòng)力重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(工程熱物理研究所)，北京 100190；3.中國(guó)科學(xué)院輕型動(dòng)力創(chuàng)新研究院，北京 100190；4.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

重型燃?xì)廨啓C(jī)多采用拉桿式轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，即采用一根位于輪盤中心或多根位于輪盤周向的拉桿[1-3]，各級(jí)輪盤之間采用端齒定心傳扭，并在軸向預(yù)緊力的作用下將各級(jí)輪盤串聯(lián)拉緊。根據(jù)端齒的結(jié)構(gòu)不同，可以分為Hirth齒與圓弧端齒[4-5]，Hirth齒的齒面為平面，圓弧端齒的齒面為曲面。由于在端齒連接處存在大量的接觸面，由此帶來的結(jié)構(gòu)不連續(xù)性會(huì)導(dǎo)致不可忽略的彎曲剛度損失，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。因此，端齒彎曲剛度損失問題的研究對(duì)轉(zhuǎn)子的安全可靠運(yùn)行有著十分重要的意義。

端齒的剛度損失問題很早就被學(xué)者所關(guān)注，早期的研究以理論分析計(jì)算為主，即通過對(duì)端齒模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，得出端齒的連接剛度特性。上世紀(jì)90年代，尹澤勇等[6]提出了端齒梁元模型，即在不考慮摩擦的條件下，端齒與梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚲哂邢嗤男问剑⑼ㄟ^端齒梁元模型對(duì)某端齒連接轉(zhuǎn)子的固有頻率進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果與實(shí)測(cè)值符合較好。隨后，在文獻(xiàn)[7]中研究了端齒軸段彎曲剛度及軸向預(yù)緊力的變化對(duì)轉(zhuǎn)子的剛度與固有頻率的影響。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元計(jì)算研究方法已經(jīng)成為研究轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)問題的主要手段。Pisani等[8]對(duì)比了邊界元與有限元方法的計(jì)算結(jié)果，二者結(jié)果相似。而有限元方法相較于邊界元方法在網(wǎng)格劃分等方面具有更好的可操作性，因此后續(xù)研究通常采用有限元方法進(jìn)行計(jì)算研究。Richardson等[9]通過三維有限元方法計(jì)算得出了端齒的力學(xué)特性，并通過光彈試驗(yàn)驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的正確性。

通過三維有限元計(jì)算，文獻(xiàn)[10-11]研究了端齒彎曲剛度隨預(yù)緊力與彎矩的變化關(guān)系，得出了端齒彎曲剛度受到預(yù)緊力與彎矩產(chǎn)生的軸向脫開力的相對(duì)大小關(guān)系的直接影響的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上分析了彎曲剛度損失對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的影響。高進(jìn)等[12]通過實(shí)驗(yàn)分析了預(yù)緊力對(duì)端齒彎曲剛度特性的影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果吻合較好。葛慶等[13]針對(duì)齒數(shù)對(duì)端齒彎曲剛度的影響進(jìn)行了研究。

隨著研究的深入，通常需要面對(duì)多載荷強(qiáng)耦合的工況，端齒的變形通常難以準(zhǔn)確計(jì)算，而應(yīng)變能理論則可以精確地計(jì)算出相應(yīng)的剛度。因此，應(yīng)變能理論逐漸被學(xué)者所關(guān)注。李浦等[14]證實(shí)了應(yīng)變能理論在剛度計(jì)算上的可行性，并對(duì)某轉(zhuǎn)子的軸向與扭轉(zhuǎn)剛度進(jìn)行了計(jì)算研究。

端齒剛度對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響也是一大研究熱點(diǎn)。對(duì)于端齒連接的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，現(xiàn)有的計(jì)算條件無法對(duì)帶有真實(shí)端齒模型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算，尤其是對(duì)于多級(jí)端齒的轉(zhuǎn)子，計(jì)算成本更高，因此目前主要采用文獻(xiàn)[15-16]提出的薄層單元理論，建立端齒的等效彈性模量或等效剛度直徑模型，以分析端齒連接轉(zhuǎn)子的剛度與模態(tài)特性。楊鄭烈等[17]通過建立等軸向剛度的薄層單元研究了不同預(yù)緊力對(duì)端齒連接轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的影響。然而對(duì)于多級(jí)端齒連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，不同級(jí)端齒的影響也各不相同，目前尚未有文獻(xiàn)針對(duì)不同級(jí)端齒對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響展開研究。

綜上，目前對(duì)于端齒彎曲剛度的相關(guān)研究已經(jīng)具有一定的基礎(chǔ)，但基于應(yīng)變能理論的彎曲剛度計(jì)算應(yīng)用較少，端齒的彎曲剛度損失對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響研究還不夠完善，尤其是對(duì)于多級(jí)端齒連接的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性研究較為缺乏。基于上述研究現(xiàn)狀，本文通過應(yīng)變能理論對(duì)某H級(jí)重型燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子端齒剛度及轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究。

1 端齒的結(jié)構(gòu)與參數(shù)化建模

如圖1所示，該型燃?xì)廨啓C(jī)各級(jí)壓氣機(jī)盤、渦輪盤和前后轉(zhuǎn)接盤之間以端齒連接，共有24級(jí)端齒，端齒種類為Hirth齒。其中部分級(jí)端齒結(jié)構(gòu)參數(shù)不同，故首先對(duì)端齒進(jìn)行參數(shù)化建模，以方便獲得具有不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的端齒模型并建立相應(yīng)的轉(zhuǎn)子模型。

根據(jù)端齒的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其齒面為三角形。圖2為端齒不同方向視圖。

圖2中，α為齒頂角，R為齒底倒圓半徑，H為三角形高，L1為齒高，L2為齒根高，c為齒頂間隙，a1與a2分別為端齒內(nèi)徑與外徑處齒寬，W為齒頂斜角，R1、R2分別為端齒內(nèi)半徑與外半徑。圖2(a)中虛線為端齒節(jié)線，圖2(c)中虛線為端齒軸線，齒數(shù)Z未在圖中標(biāo)出。

(a) 帶有端齒的轉(zhuǎn)子模型

(a) 齒面圖

根據(jù)端齒結(jié)構(gòu)參數(shù)間的相互關(guān)系，部分參數(shù)之間可以相互確定，如：

(1)

(2)

(3)

c=R

(4)

通過端齒結(jié)構(gòu)參數(shù)間的幾何關(guān)系，編寫基于UG的宏文件，實(shí)現(xiàn)了端齒的參數(shù)化建模，即可以任意地輸入端齒關(guān)鍵參數(shù)并快速得到相應(yīng)的端齒幾何模型。圖3是齒數(shù)為120、齒頂角為60 °、齒底倒圓半徑為5 mm的端齒幾何模型。

圖3 端齒三維幾何模型

2 端齒彎曲剛度研究

2.1 應(yīng)變能理論

由于端齒的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，在端齒發(fā)生彎曲變形時(shí)，無法得到其彎曲剛度的理論解，而應(yīng)變能與剛度的關(guān)系較為簡(jiǎn)單，且應(yīng)變能是一個(gè)標(biāo)量，不同載荷所產(chǎn)生的應(yīng)變能可以簡(jiǎn)單相加，因此在復(fù)雜結(jié)構(gòu)或受到多載荷的情況下能夠有效地簡(jiǎn)化計(jì)算。

當(dāng)物體在受到壓縮、彎曲、扭轉(zhuǎn)等載荷作用時(shí)，物體會(huì)發(fā)生形變，從而產(chǎn)生應(yīng)變能。而由于不同物體的剛度不同，因此產(chǎn)生的應(yīng)變不同，從而導(dǎo)致應(yīng)變能的大小也不同。根據(jù)應(yīng)變能的定義，應(yīng)變能U為應(yīng)力σ在應(yīng)變微元dε下的體積分：

U=?σdε

(5)

對(duì)于端齒結(jié)構(gòu)，其截面為圓環(huán)，若忽略端齒的不連續(xù)面將其視為剛性一體化連接模型，則可以得出該圓環(huán)模型受到軸向預(yù)緊力與彎矩載荷時(shí)的應(yīng)變能。根據(jù)式(5)，在線彈性范圍內(nèi)，當(dāng)模型受到軸向力時(shí)，應(yīng)變能U1可以寫為：

(6)

式中：F為圓環(huán)模型受到的軸向力；L為圓環(huán)模型的軸向長(zhǎng)度；E為材料的彈性模量；A為圓環(huán)模型側(cè)面圓環(huán)的面積。

當(dāng)模型受到彎矩載荷作用時(shí)，應(yīng)變能U2可以寫為：

(7)

式中：M為圓環(huán)模型受到的彎矩載荷；Id為繞某一直徑的慣性矩；L、E與式(6)中相同。

由式(7)可以看出，彎矩產(chǎn)生的應(yīng)變能與其彎曲剛度成反比，即應(yīng)變能越大，彎曲剛度越小。若考慮實(shí)際端齒模型，當(dāng)其受到軸向預(yù)緊力與彎矩同時(shí)作用時(shí)，可采用三維有限元計(jì)算的方法求得應(yīng)變能。若端齒模型在軸向預(yù)緊力與彎矩作用下產(chǎn)生的總應(yīng)變能為Ut，預(yù)緊力所產(chǎn)生的應(yīng)變能為Upre，彎矩產(chǎn)生的應(yīng)變能為UM，則有：

Ut=Upre+UM

(8)

根據(jù)應(yīng)變能與剛度的關(guān)系，結(jié)合有限元計(jì)算所得出的端齒應(yīng)變能，即可得出對(duì)應(yīng)的彎曲剛度。對(duì)于剛性一體化模型，若其彎曲剛度為K0，當(dāng)受到彎矩載荷時(shí)，其應(yīng)變能U0可以通過式(7)直接計(jì)算得出。對(duì)于實(shí)際端齒，則可通過有限元計(jì)算結(jié)果與式(8)得出由彎矩產(chǎn)生的應(yīng)變能UM。由此，可以通過剛性一體化模型和端齒實(shí)際模型的應(yīng)變能之比來定義彎曲剛度系數(shù)β：

(9)

式中：K為端齒實(shí)際彎曲剛度。

通過彎曲剛度系數(shù)β來表征實(shí)際狀態(tài)下彎曲剛度的損失情況。

端齒在受到軸向預(yù)緊力與彎矩載荷作用時(shí)，軸向預(yù)緊力Fa在端齒端面產(chǎn)生的名義壓應(yīng)力：

(10)

式中：Ac為端齒側(cè)面面積。

(11)

端齒受到彎矩載荷M而產(chǎn)生的軸向脫開應(yīng)力：

(12)

式中：R2為端齒的外半徑；Id為端齒繞某一直徑的慣性矩。

定義無量綱載荷因子γ：

(13)

式中：σ為彎矩產(chǎn)生的軸向脫開應(yīng)力；P為軸向預(yù)緊力產(chǎn)生的名義壓應(yīng)力。

顯然，端齒接觸面狀態(tài)受到無量綱載荷因子γ的影響，因此將針對(duì)γ與彎曲剛度的關(guān)系展開研究分析。

2.2 有限元計(jì)算分析

基于上述應(yīng)變能理論分析，可以計(jì)算出端齒變形時(shí)的應(yīng)變能，進(jìn)而得出端齒的彎曲剛度特性。

選取某一級(jí)端齒為研究對(duì)象，材料彈性模量E=208 GPa，外直徑D2=1 556 mm，內(nèi)直徑D1=1 416 mm。對(duì)端齒采用掃掠劃分的方法進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元類型為20節(jié)點(diǎn)六面體單元solid186。端齒嚙合面采用frictional接觸方式。有限元網(wǎng)格模型如圖4(a)所示，載荷邊界條件如圖4(b)所示。端齒兩側(cè)端面采用多點(diǎn)約束MPC方式與中心節(jié)點(diǎn)綁定在一起，并在其中一側(cè)中心節(jié)點(diǎn)上分載荷施加軸向預(yù)緊力Fa(圖4(b)中A位置)與彎矩載荷M(圖4(b)中B位置)，固定彎矩大小M=1×106N·m，另一側(cè)施加固定約束(圖4(b)中C位置)。在不同預(yù)緊力條件下計(jì)算端齒在對(duì)應(yīng)載荷條件下彎矩產(chǎn)生的應(yīng)變能UM。同時(shí)，通過式(7)求得剛性一體化整體軸段模型在相同彎矩下所產(chǎn)生的應(yīng)變能U0。根據(jù)式(9)，將U0與UM相比，得出端齒的彎曲剛度系數(shù)β，并進(jìn)一步得出端齒的實(shí)際彎曲剛度值，為后續(xù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算做好鋪墊。

圖4 端齒有限元模型

2.3 計(jì)算結(jié)果分析

根據(jù)2.1節(jié)所述應(yīng)變能理論分析與2.2節(jié)所建立的端齒有限元模型，得出相應(yīng)的應(yīng)變能與彎曲剛度系數(shù)。計(jì)算結(jié)果如表1與圖5所示。

表1 不同無量綱載荷因子γ下彎矩產(chǎn)生的應(yīng)變能

圖5 端齒彎曲剛度系數(shù)隨量綱載荷因子γ變化曲線

由表1，當(dāng)無量綱載荷因子γ<1時(shí)，端齒由彎矩所產(chǎn)生的應(yīng)變能幾乎不發(fā)生變化；而當(dāng)γ>1時(shí)，應(yīng)變能迅速增大，即如圖5所示的變化曲線。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[10-12]中所反映出的規(guī)律十分吻合，均呈現(xiàn)出當(dāng)預(yù)緊力大于彎矩產(chǎn)生的軸向脫開力時(shí)(完全預(yù)緊時(shí)，γ<1)，彎曲剛度基本保持穩(wěn)定；而當(dāng)預(yù)緊力小于彎矩產(chǎn)生的脫開力時(shí)(γ>1)，彎曲剛度迅速下降。

通過上述計(jì)算，可以反映出應(yīng)變能理論在彎曲剛度的計(jì)算上有著方便簡(jiǎn)潔的優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于多載荷的情況，可以利用應(yīng)變能的標(biāo)量性來簡(jiǎn)化計(jì)算與分析。而對(duì)于復(fù)雜的非連續(xù)結(jié)構(gòu)也可以通過應(yīng)變能來體現(xiàn)其彎曲剛度損失情況，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

3 端齒彎曲剛度損失對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

3.1 端齒簡(jiǎn)化模型

以研究的燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子為例，該轉(zhuǎn)子共有24級(jí)端齒，且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，現(xiàn)有的條件已無法計(jì)算，故需要對(duì)端齒進(jìn)行簡(jiǎn)化。

根據(jù)文獻(xiàn)[15-16]提出的薄層單元理論，可以將端齒簡(jiǎn)化為圓環(huán)結(jié)構(gòu)(如圖6所示)，簡(jiǎn)化過程遵循等質(zhì)量、等彎曲剛度的原則。圓環(huán)結(jié)構(gòu)的內(nèi)外徑、密度、軸段長(zhǎng)度均與實(shí)際端齒相同，以保證等質(zhì)量原則；通過調(diào)節(jié)圓環(huán)的彈性模量以保證等彎曲剛度原則。需要說明的是，在不考慮陀螺力矩與阻尼的前提下，轉(zhuǎn)子的剛度與模態(tài)特性完全由系統(tǒng)的剛度矩陣與質(zhì)量矩陣決定，因此此種簡(jiǎn)化方式可以保證剛度與模態(tài)特性的可靠性。

圖6 端齒簡(jiǎn)化模型

為了保證端齒簡(jiǎn)化模型與實(shí)際端齒模型具有相同的彎曲剛度，在密度、內(nèi)外徑與軸段長(zhǎng)度均與實(shí)際端齒模型相等的情況下，圓環(huán)結(jié)構(gòu)的等效彈性模量可以由式(14)得出：

(14)

式中：Eeq為等效彈性模量；K為端齒實(shí)際彎曲剛度。

根據(jù)轉(zhuǎn)子端齒齒形參數(shù)，齒數(shù)Z=120，齒頂角α=60 °，齒底倒圓半徑R=5 mm。結(jié)合第2章計(jì)算分析，得出端齒在完全預(yù)緊狀態(tài)下的彎曲剛度，進(jìn)而求得端齒簡(jiǎn)化模型的等效彈性模量Eeq。各級(jí)端齒結(jié)構(gòu)參數(shù)與對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化模型的等效彈性模量如表2所示。

表2 不同級(jí)端齒的結(jié)構(gòu)參數(shù)與對(duì)應(yīng)的等效彈性模量

3.2 端齒剛度損失對(duì)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響

借助3.1所建立的端齒簡(jiǎn)化模型，對(duì)端齒連接轉(zhuǎn)子的模態(tài)特性進(jìn)行研究。

對(duì)于如圖7所示的多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)原理[19]，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為Ω時(shí)，將輪盤盤心O′向xoz與yoz平面投影，并建立坐標(biāo)系。第j個(gè)圓盤慣性力主向量Rj與慣性力主矩向量Lj在ox與oy軸上的分量為Rjx、Rjy、Ljx與Ljy：

圖7 輪盤-轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)理論模型

(15)

式中：e為偏心距；Φ為偏心角；Jd為繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jp為繞圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為輪盤的質(zhì)量；u與θ分別為線位移與角位移。下標(biāo)變量中：j表示第j個(gè)輪盤的參數(shù)；x、y分別表示該物理量在x或y方向的分量。變量的一階與二階導(dǎo)數(shù)均指的是對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)D’Alembert原理，x、y方向的線位移uxi、uyi與角位移θxi、θyi為：

(16)

(17)

式中：{M}為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；{J}為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；{K}為剛度矩陣；{u}為位移矩陣；{P(t)}為離心力載荷矩陣。

當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不同時(shí)，式(17)的解也不同，而當(dāng)轉(zhuǎn)子處于某一特定轉(zhuǎn)速Ω時(shí)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)變形處于極大值，故此時(shí)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速Ω為轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。根據(jù)式(17)解的性質(zhì)，最大振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速只與剛度、質(zhì)量與阻尼特性有關(guān)，而與外載荷{P(t)}無關(guān)。因此在求解轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速時(shí)不需要施加不平衡載荷，且在不考慮質(zhì)量與阻尼變化的前提下，不同端齒結(jié)構(gòu)參數(shù)與預(yù)緊工況的改變對(duì)端齒彎曲剛度的影響也完全能通過等效模型的彈性模量體現(xiàn)。

根據(jù)轉(zhuǎn)子的約束行為，建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型。轉(zhuǎn)子采用1-0-1支承方案，前軸頸處采用可傾瓦推力軸承約束軸向、周向和徑向自由度，后軸頸處約束徑向和周向自由度。各級(jí)端齒簡(jiǎn)化模型與輪盤采用綁定約束。定義彎曲剛度損失系數(shù)λ：

λ=1-β

(18)

通過調(diào)節(jié)端齒等效模型的彈性模量可模擬端齒的不同彎曲剛度損失系數(shù)。圖8為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元網(wǎng)格模型。在此基礎(chǔ)上計(jì)算轉(zhuǎn)子的前兩階彎曲臨界轉(zhuǎn)速與振型(其他階次模態(tài)受彎曲剛度影響較小，故已省去)，臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果如表3所示，振型云圖如圖9所示。

圖8 轉(zhuǎn)子有限元網(wǎng)格模型

(a) 一階彎曲模態(tài)振型

表3 端齒不同彎曲剛度損失系數(shù)下轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速

表3給出了端齒在不同彎曲剛度損失系數(shù)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一、二階彎曲臨界轉(zhuǎn)速，振型如圖9所示。當(dāng)彎曲剛度損失達(dá)到50%時(shí)，一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速降低了8.2%，二階彎曲臨界轉(zhuǎn)速下降了8.8%，且表現(xiàn)為隨著端齒彎曲剛度損失系數(shù)增大，前兩階彎曲臨界轉(zhuǎn)速呈加速下降趨勢(shì)。而端齒的彎曲剛度損失對(duì)轉(zhuǎn)子的振型幾乎沒有影響。需要注意的是，該燃?xì)廨啓C(jī)工作轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，二階彎曲臨界轉(zhuǎn)速已經(jīng)遠(yuǎn)超過其工作轉(zhuǎn)速，故后續(xù)僅分析一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速。

3.3 不同級(jí)端齒剛度損失對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度與模態(tài)特性的影響

對(duì)于多級(jí)端齒連接的拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，每一級(jí)端齒的位置、尺寸大小不同，對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的影響也不相同，故需要針對(duì)不同級(jí)端齒對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響展開研究。

首先采用簡(jiǎn)支梁模型進(jìn)行理論推導(dǎo)，定性地確定不同級(jí)端齒對(duì)轉(zhuǎn)子剛度特性影響分布，在此基礎(chǔ)上通過有限元計(jì)算分析轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的變化。采用圖10所示的簡(jiǎn)支梁來近似模擬轉(zhuǎn)子，前支點(diǎn)為固定約束，后支點(diǎn)為徑向、周向約束，均布載荷F0=ql0代表轉(zhuǎn)子所受的重力。

圖10 轉(zhuǎn)子對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)支梁模型

圖中，q為載荷集度，l0為梁的軸向長(zhǎng)度，Mr為固定約束處的支反彎矩，F(xiàn)1、F2分別為前、后支點(diǎn)處支反力。根據(jù)材料力學(xué)理論可推導(dǎo)出梁在支座處的支反力，進(jìn)而得出梁的彎矩方程M(d)為：

(19)

式中：d為所研究的點(diǎn)距離梁左端點(diǎn)(前支點(diǎn))的距離。

梁上任意一小微元的應(yīng)變能u(d)為：

(20)

式中：E為彈性模量；I為截面慣性矩。

將式(19)代入式(20)，得到不同位置處的應(yīng)變能分布函數(shù)：

(21)

顯然，當(dāng)梁的約束行為不同時(shí)，支反力、彎矩方程均會(huì)不同，從而引起應(yīng)變能函數(shù)不同，進(jìn)而對(duì)該分析的結(jié)果產(chǎn)生影響。

在上述理論分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行對(duì)應(yīng)的有限元計(jì)算分析。圖11給出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在重力載荷作用下各級(jí)端齒的應(yīng)變能情況。

圖11 不同級(jí)端齒在重力作用下的彎曲應(yīng)變能

由圖11中可以看出，在重力載荷作用下，1級(jí)端齒的應(yīng)變能最大，4級(jí)端齒應(yīng)變能最小，14級(jí)端齒處應(yīng)變能取得了極大值。有限元計(jì)算結(jié)果與上述理論分析較為吻合。因此，著重研究1級(jí)、4級(jí)和14級(jí)端齒對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度與動(dòng)力學(xué)特性的影響。分別計(jì)算了當(dāng)1級(jí)、4級(jí)、14級(jí)端齒的彎曲剛度系數(shù)β達(dá)到0.5而其他級(jí)端齒不發(fā)生彎曲剛度損失時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度與模態(tài)特性變化。計(jì)算結(jié)果如表4、表5所示。

表4 不同級(jí)端齒彎曲剛度損失時(shí)轉(zhuǎn)子彎曲剛度

表5 不同級(jí)端齒彎曲剛度損失時(shí)轉(zhuǎn)子一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速

由表4可以看出，當(dāng)僅有某一級(jí)端齒的彎曲剛度降為整體軸段剛度的50%時(shí)，1級(jí)端齒對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度影響最大，而4級(jí)端齒影響最小。對(duì)比表5與表3中剛性一體化轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果可以看出，1級(jí)端齒彎曲剛度發(fā)生損失時(shí)，臨界轉(zhuǎn)速降低幅度最大，14級(jí)端齒次之，4級(jí)端齒變化幅度最小。計(jì)算結(jié)果與上述理論分析結(jié)果吻合較好，即1級(jí)端齒的彎曲應(yīng)變能較大，彎曲剛度較小，且當(dāng)其彎曲剛度發(fā)生變化時(shí)，其應(yīng)變能變化量相較于其他級(jí)端齒更大，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度的影響也越大。4級(jí)端齒則相反。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1級(jí)端齒處，由于靠近軸承約束處，該處的彎曲變形相對(duì)較大，因此彎曲剛度較小，而在14級(jí)端齒處，由于靠近轉(zhuǎn)子中部，因彎曲產(chǎn)生的橫向撓度較大，也會(huì)使得彎曲剛度較低。因此，對(duì)于該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，應(yīng)著重注意1級(jí)與14級(jí)端齒的接觸與剛度情況，保證良好的接觸與足夠的彎曲剛度。

4 結(jié)論

本文針對(duì)某型號(hào)燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子端齒結(jié)構(gòu)的彎曲剛度展開研究，得出以下結(jié)論：

(1) 通過應(yīng)變能理論計(jì)算所得到的彎曲剛度結(jié)果與文獻(xiàn)[10-11]中研究結(jié)果所反映出的規(guī)律吻合較好。在完全預(yù)緊狀態(tài)，應(yīng)變能保持穩(wěn)定。而當(dāng)預(yù)緊力不足以抵抗彎矩產(chǎn)生的軸向脫開力時(shí)，應(yīng)變能急劇上升。應(yīng)變能越大表明剛度越低，可以直觀地反映端齒的彎曲剛度水平。在實(shí)際工程中對(duì)于多載荷條件與復(fù)雜結(jié)構(gòu)的彎曲剛度計(jì)算上能夠起到一定的簡(jiǎn)化作用。

(2) 通過建立端齒等效模型，研究了端齒不同彎曲剛度損失比例對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)特性的影響，即隨著剛度損失增大，轉(zhuǎn)子的彎曲模態(tài)對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速呈加速下降趨勢(shì)。對(duì)于該轉(zhuǎn)子而言，端齒彎曲剛度修正比例達(dá)到50%時(shí)，相較于剛性一體化轉(zhuǎn)子中其一階臨界轉(zhuǎn)速會(huì)下降8.2%。

(3) 通過簡(jiǎn)支梁模型與應(yīng)變能理論定性地分析了轉(zhuǎn)子不同級(jí)端齒對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度與模態(tài)特性的影響，并通過三維有限元計(jì)算方法得出了與理論分析相吻合的結(jié)論。對(duì)于所研究轉(zhuǎn)子，1級(jí)端齒對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性影響最大，4級(jí)端齒影響最小。因此在工程設(shè)計(jì)中應(yīng)對(duì)相應(yīng)級(jí)端齒進(jìn)行特別處理以提高其彎曲剛度。且端齒彎曲剛度損失對(duì)轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的影響主要體現(xiàn)在一階彎曲模態(tài)上，一階臨界轉(zhuǎn)速的降低比例也更大。后續(xù)研究應(yīng)當(dāng)著重關(guān)注在一階臨界轉(zhuǎn)速處轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)情況。

(4) 對(duì)于不同約束或支承方案的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，由于支承不同，約束處支反力也不同，因此導(dǎo)致應(yīng)變能函數(shù)不同，進(jìn)而使得不同級(jí)端齒對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性影響也不同。