考慮參數簡化的修正鄧肯-張模型

朱彥鵬,趙鈺

(1.蘭州理工大學土木工程學院，蘭州 730050；2.蘭州理工大學西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州 730050)

土體的本構模型[1]是反映土體的應力-應變-時間關系的數學模型，一般包括一系列的數學表達式。現階段常用的土體本構模型較多，其中鄧肯-張模型[2]得益于其計算公式形式簡潔，在土石壩、圍堰等有關工程的計算分析中得到廣泛應用。鄧肯-張雙曲線模型是非線性彈性模型的典型代表。Duncan等[2]根據Kondner[3]理論提出鄧肯-張雙曲線模型用以表示土體的應力-應變關系，研究結果表明雙曲線關系能夠準確地表示砂土在復雜的三軸加載條件下的力學行為。Roscoe等[4-5]根據土體剪切試驗并基于此提出了著名的劍橋模型，第一次將土體臨界狀態的概念引入了土的應力-應變計算中。王釗等[6]將鄧肯-張E-ν模型應用于三峽工程二期圍堰的混凝土心墻的變形和應力計算分析中，結果表明該模型具有一定的適用性，但由于該模型未能對土體的剪脹性給出相應表述，其計算結果受到一定影響。可以看出，鄧肯-張模型在實際工程應用中得到了廣泛應用，但同時也體現出該模型的局限性。因此，眾多學者開始針對鄧肯-張模型進行相應改進。黃文熙等[7]研究表明，采用不同的加工硬化規律將得到不同形式的屈服函數，當屈服軌跡與塑性勢函數重合時即可得到滿足正交定律的屈服函數，并基于此建立了包含屈服函數、塑性勢函數、加工硬化模量的彈塑性矩陣本構關系。沈珠江[8]考慮了土和石料的剪脹性，提出一個由切線單軸壓縮模量、楊氏模量和剪脹系數3個參數組成的增量型非線性應力應變模型，該模型采用二次拋物線形式描述應變關系，計算結果更加貼近土體的體變特征。殷宗澤等[9]以三軸試驗結果為依據提出了基于剪切屈服面和體積屈服面的新的應力-應變關系模型，該模型能模擬土的剪脹性。謝曉華等[10]考慮了第三主應力增量Δσ3的變化對于切線模量的影響，根據三軸試驗修正平面應變狀態下的內摩擦角φp對鄧肯-張模型進行修正。羅剛等[11]改進了鄧肯-張模型和沈珠江模型，提出可統一模擬低圍壓到高圍壓條件下土體剪脹特性的表達式。劉軍定等[12]在鄧肯-張非線性本構模型中引入聯合強度準則，對破壞比Rf進行修正，建立了基于聯合強度理論的鄧肯-張本構模型。曾凱鋒等[13]將相對破碎指標Br與應力-應變狀態聯系起來，最終得到考慮顆粒破碎因素的修正鄧肯-張E-B模型。前人對于鄧肯-張模型的修正主要集中于考慮土體本身的結構特性，引入相關參數對其進行修正[14-22]，而對于模型本身參數的簡化和修正的相關研究較少。

針對鄧肯-張模型參數較多以及對于土體的剪脹性描述不足的問題，以鄧肯-張E-B模型及鄧肯-張E-ν模型為基礎，建立應力-應變關系表達式，對原鄧肯-張模型應力-應變關系式進行簡化，以沈珠江模型為基礎建立體積比μt來表達體應變-軸向應變關系，可以更好反映土的剪脹性，并采用粗粒土[11]和黏性土[23]的試驗結果及計算結果對該模型的合理性進行了驗證。

1 鄧肯-張模型

1.1 鄧肯-張E-B模型

Duncan等[2]在Kondner[3]的研究基礎上提出了以雙曲線形式擬合三軸試驗的應力-應變關系曲線(圖1)，在常規三軸壓縮實驗中，應力應變關系可表示為

圖1 鄧肯-張模型應力-應變關系曲線Fig.1 Duncan-Chang model stress-strain relationship curve

(1)

初始切線模量與圍壓的關系可表示為[24]

(2)

式(2)中：pa為標準大氣壓力；K、n分別為無因次基數和無因次指數，其大小取決于土質的試驗常數，其值分別為lg(Ei/pa)與lg(σ3/pa)直線關系的截距和斜率。

偏應力極限值表達式為

(3)

式(3)中：Rf為破壞比；(σ1-σ3)f為土體的破壞強度，一般依據Mohr-Coulomb強度準則定義，有

(4)

式(4)中：c為黏聚力；φ為土的內摩擦角。

將式(2)、式(3)代入式(1)可得

(5)

由式(5)可得

(6)

鄧肯-張(E-B)模型中，定義切線模量為

(7)

將式(6)代入式(7)可得

(8)

體積變形模量表達式為

(9)

式(9)中：Kb為體積模量系數；m為體積模量指數，二者均為試驗材料常數。

1.2 鄧肯-張E-v模型

鄧肯-張E-v模型中假定常規三軸壓縮試驗中軸向應變εa與側向應變-ε3之間也存在雙曲線關系，可表示為

(10)

可寫為

(11)

E-v中切線泊松比的計算公式為

(12)

式(12)中：Δε3為側向應變增量；Δεa為軸向應變增量。

(13)

式(13)中：G、F為試驗常數，其中G為σ3=pa時初始泊松比的值，F為初始泊松比f與lg(σ3/pa)直線關系的斜率。

將式(6)、式(13)代入式(12)可得

(14)

鄧肯-張非線性彈性模型是基于廣義胡克定律及三軸壓縮試驗的結果而提出的，包括E-B模型和E-v模型。其中E-B模型和E-v模型均假定偏應力(σ1-σ3)與軸向應變εa之間的關系呈雙曲線型，故E-B模型和E-v模型中切線彈性模量Et的表達式[式(7)]中模型參數均相同。針對體應變εv的表達兩個模型則有所差異：在E-B模型中假定體應變εv與軸向應變εa為雙曲線關系，從而得到體積模量的表達式；而E-v模型中假定軸向應變εa與側向應變-ε3之間也為雙曲線關系，從而得到切線泊松比的計算公式[式(13)]。鄧肯-張模型中對于體積應變與軸向應變之間關系的描述應用單調增加的雙曲線關系來描述，只能反應土的剪縮性，而不能更好反應土的剪脹性；Et計算公式[式(7)]與νt計算公式[式(13)]共包含c、φ、K、n、Rf、D、F、G8個模型參數，確定應力應變關系中計算參數較多且面臨參數確定的復雜過程。針對上述問題，在鄧肯-張模型基礎上提出了改進模型。

2 改進模型建立

2.1 應力-應變關系

(15)

可寫為

(16)

經整理可得

(17)

由式(16)可得

(18)

改進模型同鄧肯-張E-B模型，定義切線彈性模量為

(19)

將式(18)代入式(19)可得

(20)

初始切線模量可表示為

(21)

該模型的參數為a′、b′，相較于鄧肯-張(E-B)模型，偏應力-應變關系的參數相對減少。

2.2 體應變-軸應變關系

鄧肯-張E-ν模型對于體應變-軸向應變的關系表達中可在一定程度上反應土體的剪脹性，但剪應變過大時，體應變與試驗結果實際值偏離較大。基于沈珠江[8]模型，考慮隨剪應變增大土體剪脹性質逐漸明顯，采用二次拋物線形式對體應變εv與軸向應變εa之間的關系進行擬合。

體應變與軸向應變的關系如圖2[8]所示，其表達式為

(22)

式(22)中：εvm為最大剪縮體應變；εam為體應變極值對應的軸向應變。

(23)

(24)

式中：cd為沈珠江[8]模型參數，其確定方法為：將不同圍壓下的最大剪縮體應變εvm和(σ3/pa)的值描繪在雙對數紙上，所形成的線性關系的截距是cd；K1和m為經驗系數；g為修正系數，取0.1。

函數的取值為：當x>0時，函數取x的值；當x≤εam時，函數取x=0。εam為體應變達到極值εvm時土體開始剪脹時的軸向應變(圖2)，其大小與圍壓σ3有關，采用冪函數形式表達為

圖2 沈珠江模型應力-應變曲線[8]Fig.2 Shen Zhujiang model stress-strain curve[8]

(25)

體應變與軸向應變之間的關系采用體積比來表述，體積比μt可表示為

(26)

式(26)中：n2為沈珠江[8]模型參數，其確定方法為：將不同圍壓下的最大剪縮體應變εvm和(σ3/pa)的值描繪在雙對數紙上，所形成的線性關系的斜率是n2；a″為模型引入參數，其確定方法是：將不同圍壓下的開始發生剪脹時的軸向應變εam與(σ3/pa)的值描繪在雙對數紙上，所形成的直線關系的截距為a″；ξ為模型引入系數。

該模型的參數為c、φ、K、n、Rf、cd、a″、n1、n2、K1、m和g，共12個。其中對于粗粒土，黏聚力c=0時，內摩擦角φ=φ0-Δφlg(σ3/pa)，其中φ0為自然休止角，Δφ為內摩擦角隨σ3增加而降低的幅度。模型中所有參數的確定方法如圖3所示。

圖3 體應變-軸向應變關系式中模型參數確定方法流程圖Fig.3 Flow chart of the method for determining the model parameters in the volume strain-axial strain relationship

圖3中，c、φ、K、n、Rf為鄧肯-張模型中的參數，K、n分別為lg(Ei/pa)與lg(σ3/pa)直線關系的截距和斜率。參數cd、n2為沈珠江[8]模型參數，其確定方法為：將不同圍壓下的最大剪縮體應變εvm和(σ3/pa)的值描繪在雙對數紙上，所形成的線性關系的截距和斜率分別是cd和n2。參數a″和n1的確定方法是：將不同圍壓下的開始發生剪脹時的軸向應變εam與(σ3/pa)的值描繪在雙對數紙上，所形成的直線關系的截距和斜率分別為a″和n1，如圖4所示。

圖4 參數a″和n1的確定Fig.4 Determination of parameters a″ and n1

3 模型驗證

引用粗粒土[11]的大型三軸排水試驗結果以及黏性土[23]的平面應變排水試驗結果，驗證改進模型的正確性。鄧肯-張模型以及改進模型所涉及的各參數值如表1所示。數值計算與試驗結果的對比如圖5～圖7所示。

表1 模型參數Table 1 Model parameters

圖5(a)為大柳樹堆石料的大型三軸壓縮試驗的應力-應變試驗值及模型計算曲線，試驗中圍壓分別為0.2、0.7、1.0 MPa，當圍壓等于0.7 MPa時鄧肯-張模型的計算曲線值大于新模型的計算值；當圍壓等于1.0 MPa時鄧肯-張模型計算曲線值小于新模型計算值，相較而言σ3=1.0 MPa時新模型的計算曲線更接近試驗值，圍壓值相對比較大時新模型的應力計算值較鄧肯-張模型更貼近試驗實測值。

圖5(b)為大柳樹堆石料的三軸試驗體應變-軸向應變關系曲線。從圖5(b)中可以看出鄧肯-張模型的體應變-軸向應變計算曲線呈單調遞增形式，隨著軸向應變增大體應變逐漸增大至一定值時趨于平緩；真實試驗值顯示，體應變一開始隨軸向應變的增大而增大，當體應變達到峰值后呈現隨軸向應變增大而減小的趨勢，這是由于粗粒土在壓縮開始時土體擠密粒間孔隙縮小呈現剪縮性，當土體達到一定變形后粒間孔隙再無縮小空間，此時土體呈現出剪脹性；鄧肯-張模型中體應變-軸向應變為雙曲線關系，無法體現土體的剪脹性，故后半段計算值與試驗值偏離較大；新模型中采用二次拋物線形式表述體應變-軸向應變關系，模型[式(26)]引入系數ξ，對于體應變給出合理模擬，與粗粒土的剪脹性質更加符合。

圖5 大柳樹堆石料關系曲線Fig.5 Relation curve of Daliushu rockfill

圖6(a)為糯扎渡堆石料的大型三軸壓縮試驗的應力-應變試驗值及模型計算曲線，計算方法采用鄧肯-張E-B模型及應力-應變關系改進模型。在圍壓分別在0.1、0.5、2.5 MPa的試驗條件下，當圍壓為0.1 MPa和0.5 MPa時鄧肯-張模型的計算曲線均大于新模型的計算值，當圍壓為2.5 MPa時新模型的偏應力計算值較鄧肯模型計算值更貼合試驗值。通過對比發現圍壓為2.5 MPa時新模型的計算值與試驗點最為吻合，圍壓為0.5 MPa時新模型計算值與試驗點吻合程度次之，圍壓為0.1 MPa時新模型計算值小于實測值，3種圍壓下新模型的計算值均符合試驗值的應力-應變變化趨勢，但當圍壓較低時新模型式的偏應力計算值普遍小于試驗值。

圖6(b)為糯扎渡堆石料的三軸試驗體應變-軸向應變關系曲線。散點為試驗值，實線為鄧肯-張模型計算曲線，虛線為新模型[式(26)]計算曲線。鄧肯-張模型中體應變與軸向應變為雙曲線關系，如圖6(b)所示，隨著軸向應變增大，曲線呈增長趨勢；新模型考慮土體的剪脹性采用二次拋物線描述體應變-軸應變關系，與試驗值更加貼近。

圖6 糯扎渡堆石料關系曲線Fig.6 Relation curve of Nuozhadu rockfill

圖7(a)為黃河前葦園黏性土的平面應變試驗的應力-應變關系曲線及模型計算曲線，與糯扎渡堆石料應力應變計算方法一致，圍壓分別為0.1、0.2、0.4 MPa的試驗條件下，新模型的計算曲線與鄧肯-張模型的計算曲線均與試驗點變化趨勢一致且數值較為吻合，相較于鄧肯-張模型應力應變關系的計算，新模型對于應力應變關系的計算參數更為簡單且與試驗點吻合良好。

圖7(b)為黃河前葦園黏性土的平面應變試驗體應變-軸向應變關系曲線。圍壓為0.1 MPa和0.2 MPa時，當軸向應變大于5.0%時體應變隨軸向應變的增大而減小，土體呈現出剪脹性，鄧肯-張曲線在軸向應變大于5.0%的后半段曲線中與試驗值偏差較大，新模型考慮了土體剪脹性其計算曲線更符合試驗值。

圖7 黃河前葦園黏性土關系曲線Fig.7 Relation curve of Yellow River Qianweiyuan clay

4 結論

針對土的體變特征以及應用本構模型對土體應力-應變關系進行描述。在鄧肯-張模型以及沈珠江模型的基礎上，提出了應力-應變關系和體應變-軸向應變關系的改進模型，并運用土體三軸試驗結果對模型進行了驗證，得出如下結論。

(1)改進的模型公式較以往模型參數較少，公式更加簡化。在不同圍壓下計算值與試驗值吻合程度較好，計算曲線均符合試驗值的變化趨勢。

(2)經土體三軸試驗結果驗證，此改進模型較原鄧肯-張模型可以更為合理的描述土的體變特征。