從淺層思考到深度思維
——以“三角形的分類”教學(xué)為例

江蘇省宜興市周鐵小學(xué) 廖 燕

課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)思考。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的認(rèn)知是由零散逐步過渡到系統(tǒng)化的，學(xué)生的思維逐步深入，進(jìn)入一種深度思維的狀態(tài)。學(xué)生思維水平的高低是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平高低的一個重要體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，使學(xué)生擁有較強的數(shù)學(xué)思考能力是現(xiàn)代教育對數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力為核心，注重學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)與優(yōu)化，數(shù)學(xué)語言的內(nèi)化與精練，數(shù)學(xué)方法、策略的反思和總結(jié)，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“淺層思考”到“深度思維”，不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

一、注重認(rèn)識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)和優(yōu)化，夯實深度思維的根基

數(shù)學(xué)知識是人類對現(xiàn)實世界認(rèn)識的結(jié)晶，是對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)和優(yōu)化，幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生的認(rèn)知清晰、準(zhǔn)確。這樣，學(xué)生才能真正展開數(shù)學(xué)思考，觸摸數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，由表及里，去偽存真，真正理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，夯實深度思維的根基。

如 “三角形的分類”一課伊始，教師出示學(xué)過的銳角、直角和鈍角圖形（圖略）。

師：圖上分別是什么角？想一想銳角、直角和鈍角是根據(jù)什么來進(jìn)行分類的。（生答）

師：是呀，分類就是根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)將事物進(jìn)行劃分。今天這節(jié)課，我們一起來研究——三角形的分類。（板書課題）

師：關(guān)于三角形，你有哪些了解？你們會畫三角形嗎？任意畫一個三角形。（收集投影）

師：老師收集了幾個同學(xué)畫的三角形，大家一起來看一看。他們畫的是三角形嗎？這三個三角形形狀相同嗎？老師也畫了幾個不同形狀的三角形，如果要把這些三角形分分類，想一想，可以根據(jù)什么來進(jìn)行分類呢？（生答）

師：這節(jié)課，我們就根據(jù)角的特點來研究三角形的分類。（出示：角的特點）

師：如果要按角的特點給這些三角形分分類，你會嗎？請大家仔細(xì)觀察這6個三角形（出示操作要求），然后想一想哪些三角形的角有共同特點，可以分為一類；再從信封中取出三角形動手分一分；最后和同桌說一說你是怎么分的。

師：你們把這6個三角形分成了幾類？

生：三類。

師（小結(jié)）：剛才，大家按照角的特點把這6個不同形狀的三角形分成了三類。

師：之前大家都畫了一個三角形，你畫的屬于第幾類呢？會判斷嗎？

師：剛才你們畫的三角形都在這三類里，那有沒有不在這三類里的三角形呢？

（生討論交流：一個三角形中會有兩個直角嗎？最多有幾個直角？）

師（引導(dǎo)）：也就是說，一個三角形中至少有幾個銳角？（兩個）

師：通過剛才的交流，你覺得還會有不在這三類里的三角形嗎？

師（小結(jié)）：看來，三角形按角的特點只能分成這三類，而顯然沒有既屬于其中一類又屬于另一類的三角形。所以，這樣分類既不遺漏也不重復(fù)。（板：不遺漏 不重復(fù)）

在教學(xué)例題時，教師沒有急于求成，而是讓學(xué)生先仔細(xì)觀察圖形，再讓學(xué)生自己動手分一分，整個過程，教師都放手讓學(xué)生自主探索。分類的選擇、優(yōu)化，豐實了例題厚度。正所謂“實踐出真知”。學(xué)生只有親身經(jīng)歷分類全過程，才能感受分類的價值，才能在運用分類思想的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

二、注重數(shù)學(xué)語言的內(nèi)化和精練，培育深度思維的細(xì)胞

語言是思維的細(xì)胞，數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要指標(biāo)。學(xué)生數(shù)學(xué)思維質(zhì)量如何，往往體現(xiàn)在學(xué)生用來表述數(shù)學(xué)特征的數(shù)學(xué)語言上：學(xué)生是否能用規(guī)范、簡潔的數(shù)學(xué)語言來表述學(xué)習(xí)觀點。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表述，由此窺析學(xué)生的知識建構(gòu)進(jìn)程、對數(shù)學(xué)知識的理解程度，不斷精練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生學(xué)會有序思考，進(jìn)行有條理的表達(dá)，不斷促使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升。

例如，在教學(xué) “三角形的分類”時，教師引導(dǎo)學(xué)生在互動交流中實現(xiàn)思維碰撞，建構(gòu)銳角三角形、直角三角形以及鈍角三角形的概念。

師：剛才，我們順利給三角形分好了類，接下來該給它們起個名了。第一類三角形，我們稱為銳角三角形，那你知道第二類可以叫什么三角形嗎？第三類呢？（依次出示直角三角形、鈍角三角形）

師：結(jié)合剛才分類的過程，你覺得什么樣的三角形是銳角三角形？什么樣的三角形是直角三角形？

生1：三個角都是銳角的三角形是銳角三角形。

生2：一個直角、兩個銳角的三角形是直角三角形。

師：想一想，“兩個銳角”在這里可以省略嗎？為什么？和同桌說說你的想法。

生：可以省略，因為我們已經(jīng)知道了一個三角形最多只能有一個直角，那剩下的兩個肯定是銳角，所以只要強調(diào)一個角是直角。

師：有道理！簡潔清晰，這可是數(shù)學(xué)語言的魅力呢！

師：知道了銳角三角形和直角三角形，那什么樣的三角形是鈍角三角形呢？

生：有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。

師（啟發(fā)）：比較一下這三句話，你有什么想法嗎？

師（小結(jié)）：不管什么三角形，至少有兩個銳角，有一個銳角的三角形可能是銳角三角形，也可能是直角三角形或鈍角三角形，這樣概括不嚴(yán)謹(jǐn)、不科學(xué)。數(shù)學(xué)語言不僅要簡潔，還要嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)。

在教學(xué)時，為了幫助學(xué)生完整、準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，教師可以多視角、多維度地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識客觀事物表象，經(jīng)過分析、綜合、概括等思維方式，逐步抽象知識表象，理解數(shù)學(xué)知識的意義。

三、注重數(shù)學(xué)方法、策略的反思和總結(jié)，培養(yǎng)深度思維的自覺

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師除了讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、開展數(shù)學(xué)交流，還要培養(yǎng)學(xué)生的反思意識，使學(xué)生能夠積極主動地進(jìn)行數(shù)學(xué)反思，反思學(xué)習(xí)過程中用到的數(shù)學(xué)方法、策略，自我發(fā)現(xiàn)、自我總結(jié)，真正用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題。

如 “三角形的分類”鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師設(shè)計了如下拓展練習(xí)：

練習(xí)一：

師：如果把三角形的一部分遮住，只讓你看到一個角，你們還能判斷它是什么三角形嗎？

出示（見圖1）：

圖1

師：①能確定嗎？②和③呢？

生1：①是直角三角形，因為那個角是直角。

生2：②是鈍角三角形，因為露在外面的是鈍角。

生3：③是銳角三角形。

生4：③不能確定是什么三角形。

師：③這道題，有人選“銳角三角形”，有人選“無法確定”，先請選銳角三角形的同學(xué)來說說自己的想法，再請選“無法確定”的同學(xué)說說是怎么想的。誰說的有道理？

（生自由答辯）

師（小結(jié)）：一個三角形至少有兩個銳角，僅憑看到的一個銳角無法判定這個三角形是什么三角形。

師（引導(dǎo)）：如果老師告訴你這是三角形中最大的一個角，你能確定是什么三角形嗎？為什么？

師（點評）：這道題有給你什么啟示嗎？

練習(xí)二：幾何畫板上出示圖2。

圖2

師：同學(xué)們，現(xiàn)在屏幕上沒有三角形，只有三個點，猜一猜，連接這三個點，會得到什么圖形？你們是根據(jù)哪個角判斷的？

師：如果將其中的一個頂點C沿這條直線移動（出示直線），想象一下，三角形的形狀會發(fā)生變化嗎？你覺得會出現(xiàn)什么三角形？ 除了這個直角三角形，你還能移動點C找到其他的直角三角形嗎？

師：雖然這三個三角形直角的位置不同，但其中最大的角都是直角，都是直角三角形。

師：銳角三角形呢？誰來試一試？想象一下，C點怎么移才能得到鈍角三角形呢？

師：同學(xué)們，剛才我們移動點C，得到了哪些三角形？還有其他三角形出現(xiàn)嗎？

師：剛才C點是沿著這條橫著的線移動的，你覺得C點還可以怎樣移動呢？（豎著、斜著）

這樣的數(shù)學(xué)課堂，充滿了觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等豐富多彩的數(shù)學(xué)活動，培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，并使學(xué)生在探究過程中獲得了豐富的情感體驗。深度思維的表現(xiàn)就在于讓學(xué)生經(jīng)歷嚴(yán)謹(jǐn)周密的數(shù)學(xué)分析，從復(fù)雜的外部表象中把握數(shù)學(xué)知識表象的核心本質(zhì)。教師準(zhǔn)確把握學(xué)生知識的生長點，讓學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵點，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深度發(fā)展。

總之，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)離不開培養(yǎng)學(xué)生的深度思維。培養(yǎng)學(xué)生的深度思維，并不是一蹴而就的，而是一個長期的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生自覺、主動地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，通過各種方式、多渠道地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過程，在學(xué)生感知、理解、體會應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知過程中，不斷建構(gòu)、完善、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)智慧生長的力量。