考慮內部缺陷的FRP 拉索力學行為仿真分析

朱德舉，沈琰，李晟，郭帥成

（1.湖南大學土木工程學院，湖南長沙 410082；2.綠色先進土木工程材料及應用技術湖南省重點實驗室（湖南大學），湖南長沙 410082）

傳統鋼拉索材料存在自重大、耐疲勞和耐腐蝕性能較差等缺點，采用輕質、高強且耐腐蝕性能好的纖維增強樹脂基復合材料（FRP）代替鋼材制備大跨徑斜拉橋的拉索組件可以有效彌補上述缺陷.眾多學者［1-5］通過試驗對各類FRP 材料的力學性能進行了充分測試，包括微觀尺度纖維絲性能、宏觀尺度單筋、拉索力學性能以及FRP-混凝土結構性能方面的表征.目前對于FRP 材料的研究通常是從宏觀角度進行，忽略了材料內部復雜的原始缺陷構造，因而難以從本質上揭示材料變形與破壞的機制.為了獲得大拉力FRP 拉索的力學性能評價和提升方法，需要采用多尺度力學理論，并利用仿真模擬結合試驗測試的方法來綜合分析.

FRP 拉索微觀尺度上的缺陷主要是纖維絲內部孔洞缺陷.Eshelby 等效夾雜理論［6］、自洽理論、Mori-Tanaka方法［7］等力學模型結合有限元計算可以高效、高精度地預測含孔洞纖維絲的等效彈性模量.Sun 等［8］采用代表性體積元（Representative Volume Elements，RVE）預測單向纖維復合材料力學性能.常巖軍等［9］通過掃描電子顯微鏡（SEM）對2.5D-C/SiC 復合材料微觀結構進行觀測，并利用M-K 方法計算了含不同孔洞形狀和體積的復合材料的彈性模量，結果表明孔洞含量對彈性模量有顯著影響.汪海濱等［10］通過SEM觀察到的氣相滲透工藝制備下的C/C-SiC 微觀孔隙和微裂紋幾何信息，建立了含有4 種缺陷的有限元模型，并計算了其等效彈性模量.任明法等［11］在纖維-基體尺度和復合材料單層板尺度上進行等效處理，分析了孔洞含量和孔洞形狀對單向纖維增強復合材料單層板的等效彈性模量的影響.汪海濱等［12］分別建立了纖維絲、纖維束和宏觀構件尺度有限元模型，并結合能量法研究了不同尺度下的關聯參數對C/C-SiC 復合材料宏觀力學性能的影響.

FRP 拉索宏觀尺度的力學性能也是當前復合材料領域研究的熱點.彭哲琦等［13］建立了以纖維浸膠紗為基本組成單元的單筋和FRP 拉索多尺度模型，并進行單筋和整索的強度分布規律預測.汪昕等［14］基于功能原理推導了FRP 錨固體系的錨固力計算公式，并基于參數分析發現，變剛度荷載傳遞介質的錨固體系可以有效避免大噸位FRP 拉索中的應力集中問題.Peng 等［15］進一步基于剪滯理論，以纖維浸膠紗和樹脂基體為基本單元建立了FRP 拉索的隨機有限元模型，模擬分析結果表明，其在強度預測和破壞形態分析方面的預測精度高于傳統以纖維單絲為基本單元的FRP拉索有限元模型.

本文通過掃描電子顯微鏡（SEM）觀測FRP 在微觀尺度上的原始缺陷形態，對含原始缺陷的FRP 拉索進行了多尺度隨機破壞有限元模擬.利用Python-ABAQUS 二次開發功能，針對含孔洞缺陷的纖維絲（微觀）建立了代表性體積元有限元模型，基于多尺度（微觀-細觀-宏觀）同一本構模型與漸進損傷理論，通過自定義子程序建立了宏觀尺度FRP 單筋和拉索的有限元模型.

1 含內部缺陷FRP拉索有限元模型

由于纖維絲強度的隨機差異性以及加工誤差，FRP 的微觀結構表現出隨機性，其中包括：1）不同纖維絲的幾何尺寸和缺陷數目存在差異，力學性能不完全相同；2）不同區域纖維絲的分布和間距具有隨機性；3）不同區域纖維絲與界面的粘結性能存在差異.本文采用場發射掃描電子顯微鏡（SEM）對玄武巖纖維增強復合材料（BFRP）的橫截面進行了表征（如圖1 所示）.可以發現BFRP 微觀尺度上的內部缺陷主要有兩種形式：1）纖維絲內部的微孔洞缺陷；2）纖維絲與基體之間的界面缺陷.通過大量試樣的電鏡觀察和統計分析可發現FRP 在內部不同區域孔洞等缺陷的體積分數不超過15%（通常2%左右，取決于樣品的制備品質），而不同位置的纖維絲與基體之間界面裂隙缺陷面積差異較大.本研究中主要研究孔洞缺陷對于纖維彈性模量的影響規律.

圖1 玄武巖纖維增強樹脂基復合材料（BFRP）微觀結構Fig.1 Micro-structure of basalt fiber reinforced polymer（BFRP）composites

1.1 含孔洞缺陷的纖維絲微觀有限元模型

針對BFRP筋材（如圖2（a）所示），本文選取含孔洞缺陷的纖維絲的代表性體積元（Representative Volume Element，RVE）建立微觀有限元模型.通過模擬BFRP筋材的單軸拉伸力學行為，探討其內部孔洞長徑比、尺寸以及空間分布位置對纖維絲等效彈性模量的影響.

FRP 筋模型中內含孔洞缺陷的纖維絲滿足以下假設［10］：1）纖維絲均具備相同圓形截面，周期性排列并且互相平行（如圖2（b）所示）；2）FRP 單筋為橫觀各向同性，且泊松比為零；3）纖維絲內孔洞均為單方向排列.

基于ABAQUS 軟件通過Python 語言進行二次開發建立上述幾何和單元模型（如圖2（c）和（d）所示），定義孔洞長徑比為α=c/a，c為橢球的長軸，a為橢球的短軸.本研究選取了3 種代表性孔洞形狀：1）球狀孔，α=1；2）扁橢球狀孔，α＜1；3）長橢球狀孔，α＞1.BFRP 筋的直徑為4.45 mm，密度為2.11 g/cm3；玄武巖纖維絲截面為圓形，直徑約為13 μm.BFRP 筋的纖維體積分數約為60 %，纖維絲間距約為16.6 μm.Li［16］的研究表明，相對于矩形和棱形的RVE，截面為六邊形的RVE模型更能代表大多數復合材料的統計特征，尤其是具有橫觀各向同性特點的材料.基于上述研究成果，本研究中選用了六邊形RVE 模型進行進一步分析，模型基本尺寸參數如表1 所示，模型單元類型為C3D8R，采用六面體單元對網格進行劃分，單根纖維絲含有9 600 個單元，基體劃分為50 786 個單元.其中玄武巖纖維單絲和樹脂基體的基本力學參數依據歐云福［17］的試驗結果確定，如表2所示.單軸拉伸加載時，將RVE 模型一端固定，另一端沿長度方向進行位移加載（0.02 mm），共設置20個加載步.

圖2 含孔洞缺陷BFRP筋的微觀尺度有限元模型圖Fig.2 Micro-scale finite element model of BFRP tendon with hole defects

表1 BFRP筋的RVE模型基本尺寸參數Tab.1 Basic dimensions parameters of the RVE model for BFRP tendon

表2 玄武巖纖維單絲和樹脂基體的基本力學參數表Tab.2 Basic mechanical parameters of the basalt fiber and epoxy resin

1.2 多尺度漸進損傷統一本構模型

通過給微觀RVE 模型施加位移荷載，得到單絲的應力-應變關系，通過均質化模型計算得到細觀纖維束模型的平均應力、應變和彈性模量；細觀模型同理可以將信息傳遞到宏觀模型，為預測單筋和拉索的力學性能提供參數支持.

通過微觀RVE模型和邊界條件可以計算出同時含孔洞缺陷的微觀應力和微觀應變的分布［18］，將纖維束的細觀應力與細觀應變定義為［19］：

細觀本構關系可以定義為：

對RVE 模型施加位移載荷，即可得到微觀尺度上的應力和應變，再通過式（1）可以得到纖維束模型的細觀應變和細觀應力，其中式（1）的計算采用數值積分的方式進行：

式中：e表示RVE 單元號；Ne表示RVE 單元總數；和是RVE 單元e的平均應力和平均應變；Ve表示RVE單元e的體積.

基于上述假設，含孔洞纖維絲在橫截面上各向力學性能相同，纖維絲看作是橫觀各向同性材料，同時纖維平行排布不考慮互捻，因此宏觀的FRP 單筋和拉索同樣為橫觀各向同性.式（2）中的本構模型為：

本構模型共有6 個獨立的彈性常數，泊松比為0，纖維絲受力的方向為1 方向，纖維單絲橫截面上相互垂直的兩個方向為2和3方向.

構成FRP 單筋和拉索的纖維束的抗拉強度均服從Weibull 分布，即當單筋或拉索受到拉伸荷載作用時，抗拉強度較低的纖維束首先發生斷裂破壞并喪失承載能力，所有荷載由余下纖維束繼續承擔，直至所有纖維束均達到自身抗拉強度破壞后，單筋和拉索不再承擔荷載作用.

根據二參數Weibull 分布確定的纖維束強度分布如下：

通過ANSYS 自定義USERMAT 建立式（2）所示的本構模型，其中相關材料參數通過實驗測得.微觀尺度的孔洞分布會影響細觀尺度RVE 和宏觀尺度FRP 拉索的力學性能，進而影響Weibull 參數的取值.首先，將尺度參數（σ0）和形狀參數（m）代入式（5）得到滿足Weibull 分布的材料屬性并賦給纖維束；然后在USERMAT 中實現剛度折減.具體作法為：通過TB.USER命令讀入主程序中的單元類型、當前應力σ、當前應變ε以及根據指定位移和荷載步換算得到的應變增量Δε等基本參數，計算纖維束當前應變下的應力增量Δσ=D×Δε，并且更新應力σ=σ+Δσ；當纖維束的當前應力達到基于Weibull 分布賦予的抗拉強度后，其彈性模量折減為原數值的萬分之一，纖維束失效破壞［20］.用戶子程序和主程序之間的數據傳遞和運算流程如圖3所示［21］.

圖3 漸進損傷計算流程圖Fig 3 Flow chart for the calculation of the progressive damage

1.3 傳統M-T基本理論[22]

在M-T 方法中，將纖維絲定義為“0”相，孔洞定義為“1”相.現設纖維絲D域內有許多孔洞，c0為纖維絲的體積分數，孔洞的體積分數為c1，彈性模量為E1，受均勻應力σ作用，同時引入一個形狀相同的均質無孔洞纖維絲作為對比，其彈性模量為E0，即無孔洞纖維絲的彈性模量為E0.基于M-T 基本理論和Eshelby 變換，可以得到帶缺陷纖維絲與均值無孔洞纖維絲彈性模量之間的關系：

1.4 基于隨機破壞的含缺陷單筋和拉索的宏觀有限元模型

FRP 拉索由37 根FRP 單筋組合而成，FRP 單筋由若干FRP 纖維束構成，FRP 纖維束可以看作是由六邊形RVE 按一定周期排列組合而成.RVE 有纖維絲、基體、界面相和內部孔洞.利用八節點實體單元Solid185 建立圓柱體模型來模擬BFRP 單筋（如圖4所示）.單筋模型的長度為100 mm，玄武巖纖維單絲的直徑為13 μm，橫截面積為132.67 μm2；而BFRP單筋的有效橫截面積為15.55 mm2，大約含有70 680 根纖維絲.為了提高計算效率，將單筋劃分為48 根纖維束，其等效半徑和等效橫截面積分別為0.32 mm和0.32 mm2，每根纖維束內含有2 454 根纖維絲.纖維束的彈性模量由隨機缺陷RVE 模型計算得到.單筋模型的加載過程為一端固定，另一端施加軸向拉伸位移荷載（0.02 mm），設定100個加載步.

圖4 纖維束尺度的BFRP單筋有限元模型Fig.4 FE model of the single BFRP tendon at the scale of single yarn

2 結果與討論

2.1 孔洞缺陷對纖維絲等效彈性模量的影響

由于纖維絲在受到拉伸作用時，故纖維絲等效橫截面積的大小決定了該纖維絲強度的大小.定義受力方向上的孔隙率η為：

式中：Ah為垂直于受力方向截面的孔洞面積之和；Af為纖維絲橫截面積.

圖5 為孔洞尺寸與空間分布位置對纖維絲等效橫截面積的影響.當孔隙率一定時，模擬結果的離散性隨著孔洞半徑的增大而增大，尤其是對含扁橢球狀孔洞的纖維絲而言，當缺陷在任一橫截面上分布得越離散，η越大，纖維絲等效彈性模量越小.如表3所示，控制孔隙率分別為1%、5%、10%、15%時，纖維絲的內部孔洞形狀分別為三種尺寸的橢球狀、三種直徑的圓球狀和四種尺寸的扁橢球狀.其中在橢球中，a和b均為赤道半徑，c為極半徑.為了減小孔洞位置分布隨機性造成的影響，取兩次模擬結果的平均值，并與M-T 理論分析的結果進行比較（如圖6 所示）.可以發現，隨著孔隙率的增大，纖維絲的等效彈性模量降低，下降趨勢與M-T 理論計算結果相同.由于理論計算的方法沒有考慮孔洞在受力方向投影位置上重疊的可能性，因此數值模擬結果偏高.

圖5 含不同孔洞尺寸纖維絲的等效彈性模量（孔隙率=10%）Fig.5 Equivalent elastic modulus of fibers containing internal holes with different sizes at 10% porosity

孔洞的橫截面積是影響纖維絲等效彈性模量最直接且最重要的因素，圖7 對比了在同一孔隙率下，分別改變孔洞橫截面積和孔洞體積時，纖維絲等效彈性模量的變化趨勢.如圖7（a）所示，當孔洞體積不變時，橫截面積越小的孔洞，等效彈性模量值越大；隨著孔隙率的增加，孔洞橫截面積大小對纖維絲等效彈性模量的影響越顯著.如圖7（b）所示，孔洞橫截面積相同的條件下，當孔隙率低于10%時，孔洞體積的大小對等效彈性模量幾乎無影響；當孔隙率高于10%時，由于孔洞的體積越大，孔洞個數會相對越少，纖維絲的等效彈性模量越大.

圖7 孔洞橫截面積與體積對纖維絲等效彈性模量的影響Fig.7 Effects of cross-sectional area and volume of holes on equivalent modulus of elasticity of the single fiber

由M-T 理論可知，長徑比的大小會影響彈性模量隨孔隙率增大而降低的變化程度.本文選取了5組不同的長徑比（0.25、0.5、1、2、4）進行模擬分析，并將模擬結果與M-T 理論計算結果進行比較（如圖8所示）.隨著長徑比的增大，孔洞形狀越趨向于“裂縫”形，等效彈性模量下降速度趨緩并接近于直線.長徑比越小，孔洞形狀越趨向于“裂片”形，在孔隙率較低時，等效彈性模量下降速率很快.隨著孔隙率的增加，下降速度趨于緩和.因此，扁橢球狀孔洞缺陷的存在對纖維絲的強度影響更為顯著.

圖8 孔洞長徑比和孔隙率對纖維絲彈性模量的影響Fig.8 Effects of slenderness ratio of holes and porosity on the elastic modulus of the single fiber

2.2 含孔洞缺陷纖維絲的應力分布

在相同孔隙率（5%）時，含5 種不同長徑比孔洞的纖維絲在受拉過程中von Mises 應力云圖如圖9（a）所示.可以看出，含孔洞纖維絲在拉伸過程中，孔洞周邊區域出現了顯著的應力集中，距離孔洞較遠處應力分布趨于均勻，應力最小值在孔洞沿受力方向上的兩個端點處.當孔洞集中在纖維絲的某一縱向截面時，在此截面處孔洞同時斷裂的可能性提高，材料的脆性相應增大.在孔隙率分別為1%，5%，10%和15%時，含半徑為0.794 μm 圓球狀孔洞的纖維絲拉伸過程中的von Mises 應力云圖如圖9（b）所示.隨著孔隙率的升高，同尺寸的孔洞數量雖然增多，但應力分布反而更均勻；在孔隙率較高時，纖維絲沿著孔洞集中區域斷裂的可能性較高.

圖9 含不同長徑比孔洞以及不同孔隙率的纖維絲的應力云圖Fig.9 The von mises stress contours of fibers containing holes with different slenderness ratios and porosities

2.3 不同纖維束Weibull 參數與彈性模量下的宏觀尺度單筋、拉索模擬

由于纖維束的彈性模量受缺陷數量和形式的影響，同時纖維束尺度Weibull 參數的選取也會影響單筋受拉時纖維束斷裂的隨機性.因此，為了得到符合試驗結果的單筋本構模型，表4 列舉了單筋模型在不同纖維束Weibull 參數與彈性模量下的模擬結果和Peng 等［15］的試驗結果.將不同參數單筋模型拉伸的應力-應變曲線與文獻［15］試驗結果進行對比（圖10 和表4），可以看出，當纖維束彈性模量Ef=55 GPa、Weibull 形狀參數mf=40、尺度參數σf=1 500 MPa 時，單筋有限元模擬結果（FEM2）與試驗結果吻合最好.單筋模型預測的彈性模量和抗拉強度與試驗結果相比，誤差分別為5%和2%.

圖10 模型預測BFRP單筋應力-應變曲線與試驗結果對比Fig.10 Comparison of the model predicted BFRP tendon stress-strain curves with the test results

表4 不同纖維束Weibull參數與彈性模量下的單筋模型模擬結果Tab.4 Simulation results of BFRP tendon model with different fiber bundle Weibull parameters and elastic modulus

以FEM2的纖維束模型為例進行漸進損傷分析，其應力-應變變化過程如圖11 所示.剛開始加載時所有纖維束共同承擔外部荷載作用，呈現線性應力應變關系；當應變達到0.022 mm/mm 時，出現第一根纖維束斷裂，斷裂的纖維束不再承擔荷載退出工作，單筋整體應力為1 220 MPa，單筋損傷率約為1%，全部荷載由剩下47 根纖維束繼續承擔；隨著應變的進一步增加，纖維束開始漸進破壞，應變為0.027 mm/mm 時，單筋達到抗拉強度極限值1 432 MPa，此時有4根纖維束發生斷裂，單筋的損傷率約為7.4%；當應變達到0.030 mm/mm時，斷裂纖維束達到45根，單筋的損傷率為93%.

圖11 拉索試驗結果與模型預測應力-應變曲線Fig.11 Stress-strain curve of FEM results and test results for BFRP cable

FRP 拉索由37 根直徑為4 mm 和長度為100 mm的單筋組成，單筋相互平行.拉索模型的單元類型與單元劃分、邊界條件等與單筋模型相同.拉索模型預測的應力-應變曲線與Wang等［23］的試驗結果對比如圖10 和表5 所示.可以看出，當纖維束彈性模量Ef=55 MPa、Weibull 形狀參數mf=20、尺度參數σf=1 500 MPa 的拉索有限元模擬結果（FEM1）與試驗結果吻合良好.拉索模型預測的彈性模量和抗拉強度與試驗結果（平均值）相比，誤差分別為3.8%與8%.

表5 不同纖維束Weibull參數與彈性模量下的拉索模型模擬結果Tab.5 Simulation results of BFRP cable model with different Weibull parameters and elastic modulus of fiber bundle

以FEM7組拉索模型為例進行漸進損傷分析，其破壞過程為：當應變為0.01 mm/mm 時，拉索內所有纖維束的應力均為595 MPa，所有纖維束共同承擔拉伸荷載；當應變達到0.019 mm/mm 時，出現纖維束斷裂，此時拉索的應力為1 000 MPa；當應變為0.024 mm/mm 時，拉索的抗拉強度達到1 281 MPa，此時拉索內部損傷率為6.9 %.隨著應變進一步增加，纖維束繼續發生漸進破壞，在應變為0.026 mm/mm 時，50 %的纖維束斷裂；當應變為0.027 mm/mm 時，1 527 束纖維束發生斷裂，損傷率達到86%，未斷裂的纖維束應力接近1 639 MPa.

3 結論

1）孔隙率、孔洞形狀、孔洞尺寸和孔洞位置均會影響纖維絲的力學性能.在相同孔隙率下，孔洞分布對含扁橢球狀孔洞的纖維絲的影響最顯著，纖維絲的等效彈性模量值隨孔洞橫截面積減小而增大.隨著孔隙率的增加，孔洞的橫截面積大小對纖維絲等效彈性模量的影響越顯著.

2）孔洞的長徑比影響含缺陷纖維絲的等效彈性模量下降的速率.當長徑比α≥1時，隨著孔隙率的增大，等效彈性模量下降緩慢且均勻；當長徑比α＜1時，等效彈性模量值降低程度增加，而且影響程度隨著孔隙率的增大而逐漸降低.

3）通過考慮不同Weibull 參數與含微觀缺陷的纖維束（細觀）力學參數，有限元模擬結果與試驗結果吻合良好.采用本文建立的模型可以較準確地模擬FRP宏觀尺度拉索和單筋的拉伸力學行為.