基于多維協方差矩陣和PMU動態數據的網絡狀態估計算法

楊 召 徐姣新

1(商丘工學院 河南 商丘 476000) 2(商丘學院 河南 商丘 476000)

0 引 言

相量測量單元的應用能夠改善廣域測量系統的監測、保護和控制[1-2]。智能電網中PMU的覆蓋率逐年上升[3-4]，增強了電力系統狀態估計的規模、復雜性、不確定性[5-7]。采用同步相量技術來估計電力狀態，并開發可靠的操作程序，能夠更好地管理電網。狀態估計方法一般可分為兩類：基于模型的估計和數據驅動下的估計。基于模型的估計是傳統的估計方法，文獻[8]提出了基于冪函數雅可比逆矩陣最大奇異值的統計狀態估計指標?；诖?，文獻[9]確定了大規模電力系統中潮流控制的不可行性。文獻[10]給出電力系統狀態估計的等效節點分析，根據特征值、特征向量和功率流雅可比矩陣預測系統特性。然而，這些估計難以滿足對動態變化的電力系統監測的穩定、大規模、復雜性和不可預測行為的要求。

數據驅動技術可以在電網參數或拓撲未知的情況下進行狀態估計[11-14]。文獻[12]提出了一種基于SVD的PMU數據功率狀態估計方法，但由于計算量大，其方法難以在大型電力系統中實現實時估計。此外，高維PMU數據的線性特征值統計量(Linear Eigenvalue Statistic,LES)被用于電力系統的態勢感知和校正分析[14]。利用高維隨機矩陣的漸近性質，基于LES的方法利用單個窗口截斷的PMU數據提供了魯棒的功率狀態估計。本文利用PMU數據的高維統計特性來表示狀態估計。

同步PMU的大規模應用使狀態估計研究需要考慮如何以電力系統的連續學習方式表示海量PMU數據流、如何從海量PMU數據流中估計實時狀態、如何把PMU大數據轉換成小數據供實際使用、如何在不假設數據的參數分布的情況下進行狀態估計、是否存在維數大和樣本大小靈活的數據驅動狀態評價指標。文獻[15]基于似然比(Likelihood Radio，LR)檢驗提出了高維協方差矩陣檢驗。在樣本量大于數據維數的情況下，LR檢驗對正態分布數據有很好的效果。文獻[16]將LR檢驗擴展到非正態分布，文獻[17]考慮了數據維度范圍很廣的情況下LR檢驗的修正(Correction of the LR,CLR)。這些檢驗都基于樣本協方差矩陣可以直接代替總體協方差矩陣的假設，但由于基于樣本協方差矩陣的估計具有不必要的項，這些項在維數較高時大大減慢了收斂速度[18-20]。與直接估計種群協方差矩陣不同，文獻[20]提出了合理的距離來估計種群間的差異，但工作計算量大且集中在兩個子種群的差異上，不適合在海量PMU數據流中進行實時狀態估計。

本文考慮PMU數據流不同采樣周期協方差矩陣的變化，結合多維協方差矩陣檢驗，提出一種基于實時數據驅動的功率狀態估計算法。首先介紹了海量PMU數據流的數學表征方法，提出一種利用多維協方差矩陣檢驗的功率狀態估計方法。然后，通過主成分分析和冗余消除提高了計算效率。最后，通過算例研究，分析了所提狀態估計指標的性能。結果顯示本文方法可以聯合顯示系統事件的相對大小、持續時間(或所謂的清除時間)和位置；無須指定PMU數據的參數分布，應用范圍廣；實現了高維PMU數據的漸近性質，提高了測試統計量的魯棒性。

1 海量PMU數據流建模

大型電力系統的暫態特性可以用一組微分和代數方程來表示[21-22]：

(1)

0=g(x(t),u(t),h(t),w)

(2)

式中：x(t)∈Cm×p為功率狀態變量，如轉子轉速和動態負荷；u(t)為系統輸入參數；h(t)為代數變量，如母線電壓幅值；w為系統非時變參數；t∈R、m和p分別是采樣時間、系統變量數和節點數?；谀Ｐ偷臓顟B估計[9]著重于非線性方程的線性化：

(3)

數據驅動的狀態估計[11-14]可以在電網參數或拓撲未知情況下進行狀態估計。然而，這些估計都是基于對單個窗口截斷的PMU數據的分析，本文提出一種能夠從大量的PMU數據流中連續學習的方法。首先，將大的高維PMU數據流轉化為PMU數據段。圖1為大規模PMU數據流的示意圖，其中p表示整個電網中可用PMU的數量，每個PMU提供m個測量值。在第i次采樣時，采集了zi等k=p×m個測量值。對于每個PMU，測量可以包含電壓大小、功率流和頻率等m種類型的變量。假設每種類型的測量是獨立的，進行PMU數據分析。假設在第i次數據采集中，在每一輪分析中，采樣頻率kHz，給定T秒的q時間周期，設ng=T×K和n分別為窗口大小和采樣數。隨機矩陣序列為：

(4)

由于電壓幅值是電力系統中最常用的測量值之一，此基礎上已有大量的研究工作，且在電力系統拓撲結構未知的情況下，可以得到電壓幅值，因此，本文采用母線電壓幅值作為狀態數據。

2 電壓穩定性估計

2.1 多維協方差矩陣檢驗

采用隨機矩陣流{Z1，Z2，…，Zq}來表示一個采樣周期內的海量PMU數據流。本文對{Z1，Z2，…，Zq}的統計量進行綜合分析，而不是分析單個窗口截斷的PMU數據{Zg}g=1,2,…,q。以Σi作為第i次PMU測量的協方差矩陣，檢驗假設：

H0:Σ1=Σ2=…=Σq

H1:?j,ks.t.Σj≠Σk

(5)

假設式(5)是多元統計分析[15]中常用的檢驗假設，通過共享一些相同分布的樣本，使用每個種群中的一個樣本來檢驗假設。樣本總體的協方差矩陣相等。

2.2 所提檢驗統計

LR檢驗[15]和CLR檢驗[17]是式(5)最常用的檢驗統計量，可以通過用樣本協方差矩陣Yg替換總體協方差矩陣Σg理解。用Yg直接替換Σg，對正態分布數據具有不變性和良好的測試性能[15]。測試統計量V2可能不適用于高維數據[18]。此外，當PMU數據的維數較高時，估計量V3有不必要的項，大大減慢了收斂速度[19]。此時，跟蹤準則[19]更適合于檢驗。不直接估計總體協方差矩陣，而是利用數據流{Z1，Z2，…，Zq}之間的差異定義距離度量，即Σs和Σt之間基于軌跡的距離度量是：

(6)

式中：tr(·)是跟蹤算子。

(7)

(8)

測量Σs和Σt距離的檢驗統計量為：

Vst=As+At-Cst

(9)

所提檢驗統計量可表示為：

(10)

當p,ng→∞，式(9)的漸近正態性在定理1中給出。

1) 對于任意k和l∈{s,t}，tr(ΣkΣl)→∞和tr{(ΣiΣj)(ΣkΣl)}=O{tr(ΣiΣj)tr(ΣkΣl)}；

2) 對于i=1,2,…,ng，Z(i)是獨立同分布的p維向量，具有有限的8階矩。

在上述條件下：

對于任何q≥2，當p,ng→∞時，所提出的檢驗統計量V1滿足：

(11)

PFAR=P(R>α|H0)=

(12)

PDR=P(R≥Q(α)|Hi)

(13)

2.3 電力系統的連續學習

本節在式(10)的基礎上，提出一種連續表示狀態估計的方法。整個訓練周期表示為：

假定電力系統在Ttrn期間處于正常運行狀態。當i=1,2,…,n時，采集的PMU數據流為：

{Zi1,Zi2,…,Ziq}

連續學習步驟為：

1) 估計系統事件的相對大小和持續時間：使用式(10)，當系統事件指標滿足要求時，可以用幾個PMU數據樣本識別系統事件：

|V1-μ|≥γ

(14)

式中：μ、γ=3σ是系統相關參數，可從歷史PMU數據中學習。系統事件的相對大小等于檢驗統計量V1。假設系統事件發生在采樣周期Ttest中，對于j=1,2,…,c，檢驗數據流為{Zi1，Zi2，…，Ziq}，事件的持續時間為：

(15)

式中：

(16)

式中：參數N=q×ng，k=rlogp，r是Z(j)的秩。

對于l=1,2,…,p，可以構造兩個用于并行數據分析的展開矩陣：

(17)

將A1l和A2l數據替換為式(10)中的檢驗統計量，樣本時間T1內最敏感的PMU數據(loc表示)的位置可以表示為:

(18)

3 算例分析

所提狀態估計檢驗統計量由IEEE 30、118節點系統、波蘭2383節點系統[23]和實際34 PMU系統進行估計。合成數據、導納矩陣和潛在的電力系統狀態由MATPOWER生成。測量噪聲為不相關的高斯分布或伽馬分布，電壓的每個分量的標準偏差為0.05[22]。

3.1 測量噪聲對狀態估計的影響

在穩態條件下運行時，PMU提供高精度的測量(包括電壓、電流相量和頻率)。然而，在暫態條件時，測量中會出現明顯的誤差。假設電力系統在正常狀態下運行，首先，利用合成數據研究測量噪聲和窗口大小對狀態估計的影響。采用式(3)的線性化模型生成多維數據模型進行式(10)的檢驗。設z0為電力系統的初始狀態。數據波動和參數q分別設置為5%和10。對于i=1,2,…,ng，本文考慮隨機向量z(i)有兩種情況：

1)z(i)是p維正態隨機向量，具有均值z0和方差0.05z0。

p∈{30，118，2 383}，樣本窗口大小ng∈{30，100，300，1 000，2 500}。結果表明，所提出的檢驗統計量對數據維數與樣本大小沒有任何限制?；? 000個獨立的蒙特卡羅模擬，所獲結果如表1、表2所示。可以看出，檢測率DR隨維數和樣本量的增大而增大，在高斯分布噪聲(GSN)和Gama分布噪聲(GMN)兩種情況下，檢驗統計量的DR都接近于1。此外，所提方法FAR很快收斂到標稱5%，GSN的FAR收斂到標稱水平的速度比GMN慢。另一方面，LR檢驗不適用于p≥ng，CLR檢驗的收斂速度慢于所提出的檢驗，該檢驗統計量在很寬的維數和分布范圍內具有更高的準確度和魯棒性，而LR檢驗和CLR檢驗易受數據維數和噪聲分布變化的影響，即所提出的檢驗是漸進的和非參數的。

表1 GSN下檢驗統計量的DR和FAR

表2 GMN下檢驗統計量的DR和FAR

3.2 參數q對狀態估計的影響

考慮GSN、GMN兩種測量噪聲，圖2中Guess-30和Gama-30表示所采用的測量噪聲分別為GSN和GMN，PMU數目p=30，類似定義了Gauss-118、Gama-118、Gauss-2383和Gama-2383。將數據大小q×ng設為600，得到圖2(a)，可見DR隨q的增加而減小。將窗口大小ng設為100，得到圖2(b)，可見DR隨q的增加而增加。在其余的算例中，將參數q設為5。

圖2 參數q對狀態估計的影響

3.3 基于綜合數據的電力系統在線狀態估計

利用IEEE 30節點、IEEE 118節點和波蘭2383節點系統的仿真數據，對基于該檢驗統計量的電力系統狀態估計性能進行了估計。系統的具體細節參見Matpower 5.1軟件包中的case30.m、case118.m和case2383.m?？紤]了影響系統工作狀態的三種信號，如表3、表4、表5所示。其中ρ表示測試系統中的PV節點數量，是隨機選擇的。為簡化描述，主要對IEEE 118節點系統地進行說明。

表3 信號類型I：電壓驟降

表4 信號類型II：電壓驟升

表5 信號類型III：電壓驟降和驟升

(a) 基于GSN的參數學習

(b) 基于GME的參數學習圖3 IEEE 118節點系統的參數學習

狀態估計從第301 s開始。采集60 s的數據。63節點負荷從320 s到340 s分別發生三種系統事件。根據圖3和式(14)和式(15)的結果，可知事件發生在第301 s，信號的實際持續時間可以計算為tdur=1 000/(q×ng)×10=20 s?；诖耍ㄟ^式(18)確定最敏感節點的位置，結果如圖4所示。可以看出，當測量噪聲設置為GSN或GMN時，在所有三種系統事件存在的情況下，第63節點是最敏感的節點。

(a) GSN下的I型信號 (b) GMN下的I型信號

(c) GSN下的II型信號 (d) GNN下的II型信號

(e) GSN下的III型信號 (f) GMN下的III型信號圖4 確定IEEE118節點系統最敏感節點

3.4 實際數據分析

本節將估計本文方法對實際電力系統狀態估計的有效性?；?013年某地區電網發生的鏈式反應故障，PMU數、采樣率和總采樣時間分別為p=34、K=50 Hz和284 s。鏈式反應故障發生在t=65.4 s到t=73.3 s之間。圖5和圖6分別給出了穩定狀態和故障狀態下的功率。可以看出，在穩定狀態下，電流變化平穩，而在故障狀態下，電流變化不規律。設q=5，ng=50，得到λ的概率密度函數，如圖7所示。圖7表明，λ的均值和方差與理論值吻合得很好。由此，事件的發生時間和實際持續時間可以分別確定為t0=65 s和tdur≈8 s。采用式(18)確定最敏感節點的位置，結果如圖8所示。結果表明，節點17、節點18上的PMU最敏感，這與實際事故情況相符。

圖5 34 PMU系統在正常狀態下潮流

圖6 34 PMU在故障條件下潮流

圖7 34 PMU系統的參數學習

圖8 確定34PMU系統中最敏感節點

4 結 語

針對大規模智能電網對大數據分析的迫切需求，基于實時數據驅動，提出一種基于多維協方差矩陣和PMU動態數據的智能電網狀態估計算法。首先，將PMU數據表示為隨機矩陣序列，將海量PMU數據流轉換成小的數據以供實際使用。突破原始的PMU數據或窗口截斷數據進行狀態估計的傳統方法，提出一種多維檢驗法綜合分析電力系統PMU數據流。算例研究表明，該檢驗統計量能夠準確地得出系統事件的相對大小、持續時間和位置。本文的工作為海量PMU數據流的數據分析打下基礎，為了更好地了解電力系統的狀態，后續將把電力系統情景分析和數據驅動方法結合起來進行進一步的研究。