生物軟組織力學測試及相關理論研究

康巍， 徐鵬， 卜偉平， 岳艷鮮， 王麗珍， 樊瑜波

1. 北京航空航天大學 生物與醫學工程學院， 北京 100083； 2. 北京航空航天大學 北京市生物醫學工程高精尖創新中心，北京 100083；3. 北京航空航天大學 生物力學與力生物學教育部重點實驗室， 北京 100083；4.中國人民解放軍空軍特色醫學中心， 北京 100142； 5.北京航空航天大學 醫學科學與工程學院, 北京 100083)

0 引言

根據人體不同組織、器官其彈性和黏性程度的差異可分為硬組織和軟組織，硬組織包括典型的骨骼系統，軟組織包括皮膚、肌肉、腦組織及各種器官等。隨著輕型、非致命性等武器的快速發展，針對其打擊毀傷以及單兵防護技術的研究也在同步進行。此類型武器主要作用于人體軟組織結構，而生物軟組織致傷機理和評估的方法包括人體志愿者實驗、實體實驗、動物實驗、假人實驗、數值仿真等。其中志愿者實驗由于高速撞擊實驗易引起不可逆損傷而不宜采用，尸體實驗存在供體數量不足及組織力學特征改變等問題，動物實驗存在由于其與人體解剖結構、重要器官構成等方面存在較大差異，以及動物科系和個體間差異較大、同時多樣本實驗涉及倫理學限制等問題。高仿真度假人靶標和數值仿真模型具有可重復性好、無倫理學限制等優勢，已成為研究高速撞擊對生物組織損傷效應評測最重要的方法。對生物軟組織在高應變率下的動態力學特性開展研究，構建高擬合度的本構模型及獲得精準的材料參數是假人靶標技術升級的瓶頸，也是實現有效的數值計算和仿真的基礎。

軟組織的力學性能表征通常通過黏彈性或超彈性模型對組織的應力- 應變響應進行理論表征，以預測軟組織在動態力學刺激下的力學響應。一般常規準靜態實驗中的應變率為10～10s量級，而輕型武器射速通常為300～1 000 m/s, 對于子彈等高速沖擊載荷條件下的可變形固體, 具有短暫時間尺度上發生載荷顯著變化的特點，這就意味著高加載率或高應變率下，涉及應力波傳播的動態沖擊實驗中的應變率可以達到10～10s，比靜態實驗中高多個量級，故其在高應變率(高速撞擊作用)下的力學響應測量及黏彈性、各向異性等力學性能分析也不能只依靠常規的準靜態測試方法。

先前工作者提出的本構參數大多是用單一加載模式的實驗數據進行校準的，但在實戰中子彈等高速物體往往不是單一沖擊模式，因此對于任意模態的力學沖擊情況不一定成立，并且在目前的研究中，鮮有從基礎理論進行探討。本文旨在從基本的變形開始到具體的本構理論研究描述樣品各加載方式下的變形張量及應力主面，得到生物軟組織及其對應仿生靶標的最大受力面及破壞程度等，為能制備真實反映實戰環境下的人體仿生靶標提供理論指導。

1 連續介質力學基本理論

1.1 變形梯度張量

根據笛卡爾直角坐標系下的有限變形理論，參考構型中點和當前構型中的點通過變形函數(,)相聯系，即

=(,)

(1)

在參考構型中，相鄰兩點可以取為和+d，則在當前構型中相鄰兩點為(,)和(+d,)。對(1)式進行泰勒展開并略去高階小量,有

d=(+d,)-(,)=d

(2)

式中：的幾何意義是變形函數的梯度，稱之為變形梯度張量，

(3)

式中：(=1,2,3)為當前構型的基矢量；(=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)為參考構型的基矢量。變形梯度的行列式是一個雅可比矩陣，定義當前構型和參考構型的體積比=det。

1.2 應變與應力度量

動態力學下發生大變形，引入右Cauchy-Green變形張量和左Cauchy-Green變形張量，

(4)

(5)

式中：為描述Seth應變度量的無量綱數；為基矢量方向的主伸長；為基矢量；為單位應變張量。保證2為整數時，若=1，則=12(-)= 12(-)表示為Green應變，若=12，則(12)=12(-)=12-，表示物質Biot應變，若=0，則=ln=12ln,表示物質Hencky應變，若=-1，則=-12(-)=-12(-),表示物質Piola應變。

Cauchy應力張量定義為當前構型上的2階對稱應力，作用在單位參考構型面積上的力為第一類Piola-Kirchhoff應力，稱為名義應力，根據參考構型與當前構型轉化關系可得，

=J

(6)

作用在參考構型上且具有對稱作用的第二類Piola-Kirchhoff應力，與和關系為

==J

(7)

(8)

的5個應變不變量為

(9)

表示橫觀各向同性軸的單位矢量。

2 率型本構模型

生物軟組織以及仿生靶標等軟材料具有非常明顯的應變率效應，在動態沖擊下不僅具有明顯的超彈性性質，還表現出黏彈性特性。為了完整描述軟組織從準靜態到高應變率條件下的力學性能，并聯兩部分組裝成新本構模型，即

(10)

2.1 準靜態模型

生物軟組織一般認為是體積近似不可壓縮、泊松比在049左右的超彈性材料，超彈性定義為一個物體典型點在任意時刻的內能密度完全由該時刻點的應變狀態確定。常見的超彈性本構模型主要包括基于連續介質力學的唯象型、基于材料微結構以及唯象結合基于微結構的雜交模型。下面每種各舉一個典型本構模型，并在下文中推導至通過實驗數據確定材料參數的擬合公式。

唯象型本構模型中分為兩類，在各向同性、等容性等假設下，基于應變不變量，Mooney得到了適用于橡膠材料的應變能函數，表達式如下：

=(-3)+(-3)

(11)

式中：和為材料常數；和分別為應變的第一和第二不變量。基于主伸長率，Ogden得到了適用于不可壓縮橡膠類材料大變形情形下的本構關系，

(12)

式中：為材料常數(剪切模量)；為無量綱的待定系數(應變硬化指數)；(=1,2,3)為3個主方向上的主伸長比；為正整數。Treloar基于材料微結構從橡膠類材料中無定形結構中的分子鏈網狀結構的統計力學出發，得到

(13)

Gent結合唯象和基于微結構通過考慮分子鏈的極限伸長率，將應變能函數表示成第一應變不變量的對數函數形式，

(14)

式中：為剪切模量；是一個常數為-3的最大值。

綜上應變能密度函數都表達了各向同性基質的應變能，對于肌肉等橫觀各向同性軟組織基于Spencer的理論，

=(,)+()+(,,)

(15)

式中：表達了各向同性基質的應變能；表達了纖維或者軸突自身的應變能；表達了纖維與基質之間的相互作用。Weiss等認為引起的應變能可由、、表示。對于部分，主要表現為纖維的拉伸或壓縮引起基質內部產生應力。這種相互作用類似于剪力偶的形式，通過實驗獲取相關數據較為困難。

Criscione等提出兩個新的不變量，、如下：

(16)

Ito等引用、得到

(,,)=
[(,)]+[(,,)]

(17)

式中：、分別為沿著纖維方向和垂直于纖維方向的剪切模量；為纖維和基質組織相互剪切作用產生的應變能，肌肉中的肌纖維在壓縮時會發生屈曲、不予考慮，但是白質中的軸突需要考慮應變能，選用公式如下：

(18)

式中：、為材料參數。對于腦組織中的灰質以及肝臟、腎臟、皮膚等采用各向同性本構模型(11)式～(14)式，對于肌肉以及白質采用橫觀各向同性本構模型(15)式～(18)式，其考慮了各向同性基質的應變能，以及白質的軸突與肌肉的肌纖維壓縮應變能且與各向同性基質間的相互作用。

2.2 動態模型

生物軟組織在高應變率條件下表現出黏彈性，其力學行為與之前的變形歷史有關。本文主要討論兩種，一是用兩個Maxwell單元(分別表示動態應變下的高低應變率)構建的黏彈性模型直接通過應變和應變率表示應力，

(19)

另一種是通過變形張量進行描述，黏彈性部分在連續介質力學中，基于各向同性且不可壓縮假設得到PK2應力張量為

(20)

式中：為一個描述應變歷史對應力影響的張量泛函；為時間項;()為時刻右Cauch-Green變形張量。由可得三維形式的非線性黏彈性模型表達式：

(21)

式中：表示黏彈性材料的靜水壓力。關于張量泛函的表達式，應用最多的就是BKZ模型，采用單積分形式的張量泛函。

第1種黏彈性本構模型的優勢在于應力- 應變關系通過高低應變率兩種分別表述，具有很強的針對性，但是局限于一維加載；第2種黏彈性本構模型從連續介質力學的基本原理進行推導，構建得到完整的應力張量，適合寬應變率范圍生物軟組織的率型本構模型，并且適應多方向的加載。

可以摒棄分別求解再由疊加原理組裝的本構方程(10)式，根據超彈性模型的應變能函數決定材料黏彈性的應力響應，運用卷積積分引入生物軟組織的黏性特性方法來替換(20)式，除了21節中的準靜態模型，還包括考慮無條件穩定性、只有一個材料常數的Neo-Hookean模型，以指數形式表達的Fung-Demiray應變- 能量函數，Gent提出的表征快速應變硬化的本構模型，與常剪切模量不同能描述隨變形而變化表征典型S形的應力- 應變關系的Yeoh模型(3階)。合理的本構模型就是能用擬合出來的生物軟組織參數解釋在各種實驗狀態下的應力- 應變數據，針對各種加載情況下得到的穩定結果，能夠描述軟組織較大的變形范圍。

3 力學測試的實驗方法與數據分析

從生物軟組織中取樣時盡量避開大的脈管、取均質體部分，使用打磨鋒利的方形鉆具獲得的標本形狀為立方體，設定樣本邊長為，主伸長用(=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ)表示，生物軟組織試樣獲取與制備的核心是保證其活性，針對幾種典型的生物軟組織皮膚、肌肉、腦組織及各種器官等，皮膚與臟器可以近似假設為各向同性，但是肌肉因為肌肉纖維的存在以及腦組織中白質由束狀髓鞘化的神經細胞突起(或軸突)組成，具有高度方向性，在提取表現出顯著各項異性軟組織時要保證沿著肌纖維或軸突取樣。

3.1 靜動態實驗方法

生物軟組織的準靜態實驗依托三軸測試裝置，如圖1(a)所示，在單軸壓縮實驗過程中與樣本接觸的兩個金屬加載圓盤表面均勻涂抹少量潤滑劑以便于自由伸展，上部平臺沿3軸向下移動；雙軸壓縮實驗相當于純剪，在不限制樣品3軸位移下沿著1軸、2軸壓縮；簡單剪切實驗中需要使用少量膠粘劑將樣品底面粘在應力測試裝置(,)面，稱為下部平臺，(,)面整體相對于固定的上部平臺移動，(,)面施加的簡單剪切需要將測角儀與三軸應力測試裝置下部的平臺置于同一平面；混合加載需要簡單剪切實驗疊加壓縮載荷實驗，恒定壓縮下剪切需要在樣品底面添加少量膠粘劑以保證底面與下部平臺整體移動，恒定剪切下壓縮需要使用磷酸鹽緩沖溶液濕潤樣本以確保無粘連、便于自由伸展，三軸傳感器同時記錄3個方向上的數據并由電腦終端顯示。

生物軟組織高應變狀態下的動態壓縮實驗在SHPB上進行，整個實驗裝置如圖1(b)所示，整個實驗裝置系統由氣槍、撞擊桿、入射桿、透射桿、吸收裝置、數據采集系統等組成，入射桿和透射桿中間放置生物軟組織樣本，兩端涂抹潤滑劑以減少摩擦。實驗時，撞擊桿在氣槍中高壓氮氣的作用下沿著槍筒加速，與入射桿碰撞，從而產生一個壓力脈沖，即入射波。然后入射波通過入射桿到達與試樣的交界面，對試樣產生一個矩形壓力脈沖，使得生物軟組織樣本產生高速變形。另外在入射桿中會產生反射波，而試樣中的應力波最終到達透射桿，在透射桿中同樣會產生一個壓力脈沖，被稱之為透射波。入射波和反射波可以通過粘貼在入射桿上的箔式電阻應變片測得，同樣，透射波可以通過粘貼在透射桿上的半導體應變片測得。兩個應變片接到超動態應變儀，信號經過超動態應變儀放大輸送，最終由計算機系統計算并顯示結果。

圖1 動靜態實驗裝置示意圖Fig.1 Diagram of dynamic and static experimental devices

力學加載實驗可以得到受測樣本所受的載荷力以及位移，通過對數據處理得到應力=和應變=。生物軟組織靜動態實驗的區別在于加載率的不同，靜態實驗下樣本的加載依靠低速運動的移動軸，因此也被稱為準靜態；動態實驗下樣本的加載依靠被撞擊桿碰撞而高速運動的入射桿。受SHPB裝置的場地等方面限制，未能開展多軸加載實驗，而準靜態實驗三軸測試較為成熟，全面表征軟組織力學性能需要靜態與動態實驗結合。隨著應變率的提高，試樣的強度也明顯提高，呈現出很明顯的應變率效應，實驗僅記錄達到屈服極限前的應力- 應變關系，即當位移足夠大時，生物軟組織已經被破壞，用表征力學性能的靶標制備來反映武器效能是無意義的。

3.2 單軸壓縮

在單軸壓縮實驗中，如圖2(a)所示，樣本壓縮應變為，則=1-。設軟組織樣本立方體在無側限壓縮下均勻變形，因此變形梯度和右Cauch-Green變形張量的矩陣形式為

圖2 軟組織樣本單方向變形示意圖Fig.2 Diagram of soft tissue specimen deformation in a single direction

(22)

3.3 簡單剪切

為量化生物軟組織的剪切響應，計算了樣本在1軸方向剪切量為，如圖2(b)所示，簡單剪切變形梯度和右Cauch-Green變形張量為

(23)

此時主伸長為

(24)

如果在(,)平面施加簡單剪切，剪切方向與1軸呈角(見圖1(c))，則建立新坐標系(1′,2′,3′)，進行坐標變化，則新舊坐標系之間的關系為

=cos+sin
=
=-sin+cos

(25)

代表坐標軸，下角標表示軸向。則和為

(26)

3個主伸長為

(27)

3.4 雙軸壓縮

在雙軸壓縮實驗中，如圖3(a)所示，樣本在1軸、3軸的壓縮應變為和，=1-，=1-，雙軸壓縮相當于純剪，并未發生旋轉，因此變形梯度和右Cauch-Green變形張量的矩陣形式與(22)式一致。

圖3 軟組織樣本多方向變形示意圖Fig.3 Diagram of multi-directional deformation of soft tissue specimen

3.5 混合加載

在壓縮剪切組合實驗中，將簡單剪切與軸向壓縮疊加(見圖2(b))。分為在恒定壓縮下變化剪切量，或恒定剪切情況下變化壓縮應變，觀察1軸方向和2軸方向上的位移。混合加載實驗中，恒定壓縮下變化剪切量，則和為

(28)

式中：3個方向主伸長為

(29)

(30)

恒定剪切情況下變化壓縮應變，則和為

(31)

則3個主伸長為

(32)

除獲取不同加載模式下的主伸長量，本構模型以及參數標定方法對于理論與實驗相結合是至關重要的，以應變能密度表達式(11)式進行推導為例，Mooney-Rivlin超彈性材料體內處某點處的PK2表示如下：

(33)

式中：為靜水壓力。結合正文中應變不變量公式(9)式，得到

=(2+2)-2-p

(34)

結合(7)式推導PK1和PK2以及Cauchy應力的關系，得

(35)

根據Cayley-Hamilton定理，可以將Cauchy應力進一步表示如下：

=2-2-(-2)

(36)

=2((1+)-(1+))(+(1+))

(37)

將測試數據代入(37)式，便可以擬合實驗曲線得到材料參數和。

4 結論

為全面了解軟組織在高速壓縮載荷下的力學行為，本文從物體受力的形變出發，歸納總結了基于不同模型建立的超彈性及黏彈性本構模型，有以下貢獻：

1) 區別于單純通過已有公式擬合應力- 應變數據，本文基于連續介質力學基本理論詳盡的推導并建立了各種加載方式下的變形模型；

2) 當前大多數生物軟組織的力學實驗僅為單軸加載，不足以全面表征軟組織力學性能，本文從單軸加載拓展到多軸乃至混合加載進行了闡述；

3) 本文推導出了各種加載方式下的3個主伸長量，使得剪切加載方式下能找到生物軟組織的應力主面，便于確定人造仿生靶標的最大損傷面。

本文工作為探索能夠準確表征人體軟組織力學性能的仿生人體靶標構成材料提供了理論與方法支撐。受限于當前條件，目前只是進行了理論推導，下一步將開展具體實驗，探索基于人體軟組織力學準確表征的仿生靶標材料。