一元二次方程錯解例析

文／聶雨薇

一元二次方程是初中數學的重點，也是中考必考內容之一。但不少同學常因為概念不清、解法不當等原因，在解決一元二次方程相關問題時出現錯誤。現從一元二次方程的概念、解法、根與系數的關系、應用等方面進行錯解例析，希望同學們能從中吸取經驗，避免犯同樣的錯誤。

一、概念不清

例1若關于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+（m+2）=0 有實數根，則m的取值范圍是________。

【錯解】因為關于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+（m+2）=0 有實數根，所以（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，解得m≤2。

【錯因】本題雖然考查的是根的判別式，但不少同學錯在忽略了一元二次方程的二次項系數不等于0這一條件，屬于概念不清。

【正解】因為關于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+（m+2）=0 有實數根，所以（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，得m≤2。又因為m-1≠0，即m≠1，所以m≤2且m≠1。

【評析】同學們都知道利用根的判別式求解此題，但經常會忽視隱藏條件。題目中交代了該方程是一元二次方程，而一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 中a≠0，這是解題的關鍵。當然，若將題目中的“一元二次方程”改為“方程”，就需要分類討論了，同學們可以想想答案是什么。

二、解法不當

例2解方程：（1）（x+1）2=9；（2）x2+x=2；（3）（x-2）2=3（x-2）。

【錯解】（1）x+1=3，x=2；

（2）運用公式法，將a=1，b=1，c=2 代入求根公式，方程無解；

（3）方程兩邊同除以x-2，得x-2=3，x=5。

【錯因】（1）未掌握平方根的定義，導致用直接開平方法求解方程時漏根。

（2）用公式法求解方程時未將方程化為一般式，導致a、b、c提取錯誤，進而影響結果。

（3）等式的基本性質：等式兩邊都乘（或除以）同一個數（除數不能是0），所得結果仍是等式。錯解未正確使用等式的基本性質，未考慮到x-2=0 的情況，導致漏掉了x=2 這個根。

【正解】（1）x+1=±3，x+1=3 或x+1=-3，解得x1=2，x2=-4。

（2）化為一般式后再運用公式法，將a=1，b=1，c=-2代入求根公式，解得x1=1，x2=-2。

（3）（x-2）2-3（x-2）=0，（x-2）（x-2-3）=0，x-2=0或x-2-3=0，解得x1=2，x2=5。

【評析】用直接開平方法解一元二次方程時，一要注意將方程右邊化為非負常數再開平方，二要謹防漏根，部分同學還會犯以下錯誤：x+1=±3，x=±2；用公式法解一元二次方程時，除了要準確記憶公式，還要記得先將方程化為一般式，準確提取a、b、c的值；應用等式的基本性質解方程，切不可在方程兩邊同除以含未知數的代數式。此外，對于一個一元二次方程，同學們在求解時要合理選擇恰當的方法，其中因式分解法簡便易用，是解一元二次方程常用的方法，因而在解方程（3）時，我們無需展開再求解。

三、根與系數的關系運用失誤

例3關于x的方程x2-（k+1）x+k+2=0的兩個實數根分別為x1和x2，且x12+x22=6，則k的值是________。

【錯解】根據根與系數的關系，可得x1+x2=k+1，x1x2=k+2，則x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k+1）2-2（k+2）=6，解得k=±3。

【錯因】一元二次方程中根與系數的關系存在的前提是方程有根。因此，在解出k的值后，要判斷是否符合題意。

【正解】因為關于x的方程x2-（k+1）x+k+2=0的兩個實數根分別為x1和x2，

所以x1+x2=k+1，x1x2=k+2。

因為x12+x22=6，

所以x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k+1）2-2（k+2）=6。

解這個方程，得k=±3。

當k=3 時，b2-4ac=16-20=-4＜0，不符合題意；

當k=-3時，b2-4ac=4+4=8＞0，符合題意。

所以k=-3。

【評析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，涉及根的判別式、完全平方公式等。運用根與系數的關系解題時，我們切記必須保證方程有實數根。我們可以通過根的判別式求出k的具體范圍，也可以直接代入驗證，相對來說后者計算量較小。

四、實際問題忘記檢驗

例4某商店經銷一批季節性家電，每臺成本40元，經市場預測，定價為52元時，可銷售180 臺，定價每增加1 元，銷售量將減少10 臺。商店銷售該家電獲利2210 元，同時讓顧客更實惠，那么每臺家電定價應為多少？

【錯解】設每臺家電定價為x元。

根據題意，得（x-40）［180-10（x-52）］=2210。整理，得x2-110x+3021=0。解這個方程，得x1=53，x2=57。

答：每臺家電定價為53元或57元。

【錯因】解出兩個根后，未根據題目中“同時讓顧客更實惠”這一要求對根進行取舍。

【正解】設每臺家電定價為x元。

根據題意，得（x-40）［180-10（x-52）］=2210。整理，得x2-110x+3021=0。解這個方程，得x1=53，x2=57。

為讓顧客更實惠，每臺家電定價57 元不合題意，舍去。

答：每臺家電定價為53元。

【評析】本題考查了一元二次方程的應用，要求同學們能夠理解題意并根據“總盈利=單件利潤×數量”的等量關系準確列出方程。在解決實際問題時，一定要記得檢驗，除了檢驗根是否滿足方程本身，更要檢驗最終方案是否符合實際意義。