“根與系數”可千變，牢記“關系”破萬象

文／曹 丹

一元二次方程根與系數的關系又稱韋達定理，這是因為它是由法國數學家韋達發現的。韋達定理可以與代數、幾何中的許多知識結合，生成豐富多彩的數學問題，也是中考中常見的考點。

具體內容如下：如果方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0）的兩個實數根是x1、x2，那么x1+x2=-。我們應注意，韋達定理只適用于一元二次方程，使用時要先把方程化為一般式，并注意隱含條件a≠0。同時，使用此定理的前提是方程有實數根，也就是要滿足根的判別式b2-4ac≥0這一條件。

蘇科版數學教材九年級上冊第23 頁習題第3題：

已知關于x的方程x2+bx+c=0 的兩根分別是，求b、c的值。

本題已知方程兩根，求系數。固然可以代入得二元一次方程組從而求解，但兩根是無理數，運算將十分繁瑣。而運用根與系數的關系解題即可迅速得到=c，即b=-，c=1。此方法大大降低了運算量，化繁為簡。中考中一元二次方程根與系數千變萬化，但我們只要牢記根與系數的關系，那么，在遇到涉及求兩根之和、兩根之積，或者利用兩根之和、兩根之積求方程中參數或求某一個代數式的值等問題時，便可化難為易。

變式1（2022·四川宜賓）已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0 的兩個根，則m2+mn+2m的值為（ ）。

A.0 B.-10 C.3 D.10

【解析】因為m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的兩個根，

所以m2+2m-5=0，即m2+2m=5。

由韋達定理，得mn=-5，

所以m2+mn+2m=0。

【小結】本題主要考查了根與系數的關系和代數式求值。方程確定時可以解出兩根，再代入求值，但求解繁瑣。快速解答本題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系，同時要仔細觀察代數式m2+mn+2m與方程x2+2x-5=0 之間的聯系，要能夠敏銳地察覺到m2+mn+2m中的m2+2m可通過將x=m代入方程來實現。

變式2（2022·湖北仙桃）若關于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0 有兩個實數根x1、x2，且（x1+2）（x2+2）-2x1·x2=17，則m=（ ）。

A.2或6 B.2或8 C.2 D.6

【解析】因為一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0有兩個實數根x1、x2，

所以b2-4ac=（-2m）2-4（m2-4m-1）≥0，解得

且x1+x2=2m，x1·x2=m2-4m-1。

因為（x1+2）（x2+2）-2x1·x2=x1·x2+2（x1+x2）+4-2x1·x2=2（x1+x2）+4-x1·x2=17，

所以2×2m+4-（m2-4m-1）=17。

整理，得m2-8m+12=0。

因式分解，得（m-2）（m-6）=0，

解得m=2或m=6。

故選A。

【小結】此題考查了根的判別式、根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式、根與系數的關系是解本題的關鍵。同學們往往忽略隱含條件b2-4ac≥0。

變式3（2022·湖北鄂州）若實數a、b分別滿足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，則的值為________。

【解析】由題意可知，a、b是一元二次方程x2-4x+3=0的兩個根。

由根與系數的關系，得a+b=4，ab=3。

【小結】本題看似兩個方程，但仔細觀察這兩個方程，不難發現，a、b是一元二次方程x2-4x+3=0 的兩個根。而利用根與系數的關系來解決本題可以減少運算量，降低出錯可能。

變式4（2022·四川成都）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2-6x+4=0 的兩個實數根，則這個直角三角形斜邊的長是________。

【解析】設直角三角形三邊分別是a、b、c，c為斜邊。

根據勾股定理，得a2+b2=c2。

因為兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2-6x+4=0的兩個實數根，

所以a+b=6，ab=4。

所以a2+b2=（a+b）2-2ab=28=c2，

【小結】本題是韋達定理與幾何知識的結合，考查同學們對于代數和幾何知識的理解是否扎實。此題本質仍是利用根與系數的關系求代數式a2+b2的值。同學們在解題時要能夠透過現象看本質，掌握一些常見的代數式的變形，如以下幾種變形：