列表法在“每……每”問題中的應用

文／陳宏雯

列表法是同學們在學習蘇科版數學教材七年級上冊“4.3用一元一次方程解決問題”時所見過的一種審題方法，它能將應用題中的條件所涉及的各部分數量關系一一列舉出來，使人對題目所敘述的各種數量了如指掌，最終達到將復雜問題簡化的目的。但隨著學習的深入和解題熟練度的提升，同學們習慣于直接列方程，列表法也漸漸被“丟棄”。但隨著一元二次方程的學習，題目中出現的數量關系再次變多，“丟棄”列表法的同學可能對“用一元二次方程解決問題”感到棘手，尤其是遇到“每……每”問題。其實，列表是解決“每……每”問題的一劑良藥。現以具體的例題來向大家介紹列表是如何在“每……每”問題中應用的，以期同學們在今后的解答中能熟練掌握。

例1商場銷售一批襯衫，平均每天可售出30 件，每件盈利45 元。為了擴大銷售，增加盈利，商場采取降價措施。假設在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件。如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1800元，那么這種襯衫每件的價格應降價多少元？

【分析】本題是最典型的“每……每”問題，即“襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2 件”。此外，本題還有較多數量，這些數量直觀上并沒有什么聯系，所以我們可以通過列表的方式找到它們之間的關系。

方法一：因為現在的每件盈利受降價影響，即現在的每件盈利等于原來的每件盈利減去降低的價格，而增加的件數由降低的價格決定，每個1 元搭配2件襯衫。所以我們可以設降價為x元，增加的件數為件，現在的每件盈利為（45-x）元，件數為（30+2×）件。最終，根據利潤的等量關系式：總利潤=單利潤×數量，列出一元二次方程解決問題。

解：設這種襯衫的單價降了x元。

根據題意，得

（45-x）（30+2x）=1800。

解這個方程，得x1=x2=15。

答：當這種襯衫每件的價格降價15元時，商店每天獲利1800元。

方法二：降低的價格和現在的每件盈利有直接關系，現在的銷售件數與降低的價格有直接的關系，可以利用降低的價格關聯現在每件的盈利與現在的件數之間的關系。所以設現在每件盈利為x元，則降低的價格為（45-x）元，增加的件數為件。同樣，根據利潤的等量關系式：總利潤=單利潤×數量，列出一元二次方程解決問題。

解：設這種襯衫現在的每件盈利為x元。

根據題意，得

解這個方程，得x1=x2=30。

所以45-x=15。

答：當這種襯衫每件的價格降價15元時，商店每天獲利1800元。

【點評】設降價為x元時，明明可以直接寫出增加的件數是2x，為什么還要寫成的樣子？這是因為題目說增加2 件是針對“每”降價1 元來說的，因此，我們要找到降價中有多少個“1”。即對待“每……每”問題，重要的是能夠找到第一個“每”所代表的意思是什么。此外，根據列表，我們可以清晰地看出表格中存在兩個未知量，即調整的價格與銷售件數和現在的每件盈利與銷售件數，但兩者之間可以由“每降1 元，多售出2件”建立聯系。

例2某超市銷售一種飲料，每瓶進價為6 元。當每瓶售價為10 元時，日均銷售量為160瓶。經市場調查表明，每瓶售價每增加0.5 元，日均銷售量減少10 瓶。當每瓶售價為多少元時，所得日均總利潤為700元？

【分析】首先我們可以初步將題目中的條件用表格表示如下:

設每瓶售價增加x元，那么這里面有個0.5，所以銷售量減少瓶，現在的售價為（10+x）元，銷售量為瓶。根據利潤的等量關系式：總利潤=（售價-進價）×數量，可得到方程。

解：設增加x元時，所得日均總利潤為700元。

根據題意，得

解得x1=1，x2=3。

所以10+x1=11，10+x2=13。

答：每瓶售價為11 或13 元時，所得日均總利潤為700元。

【點評】與例1 類似，我們還可以設現在每瓶售價x元時，所得日均總利潤為700元。根據題意，列方程（x-6）（160-=700 來解決問題。本題的“每……每”在于“售價每增加0.5 元，日銷售量減少10瓶”。但這里的0.5不像例1 中的那么“整”，“每”這個詞在數學中是“除以”的意思，所以需要找到增加的售價中有多少個“0.5”。因此，抓住第一個“每”是解決“每……每”問題的關鍵。

變式某水果商場經銷一種高檔水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500千克。經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，出售價格每漲價3元，日銷售量將減少60千克，現該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？

解：設每千克應漲價x元。

根據題意，得

（10+x）（500-60×）=6000。

解這個方程，得x1=5，x2=10。

因為要使顧客得到實惠，

所以x2=10不合題意，舍去。

答：每千克應漲價5元。

【點評】解決一元二次方程中的“每……每”問題，還需要關注的是能找到題目的等量關系式。將屬于同一類等量關系式的數量放進表格的同一行，例如漲價前的售價、銷售量、利潤為同一類，漲價后的售價、銷售量、利潤為同一類。設相應的未知數，用含有未知數的代數式表示出其他的未知量，最后根據等量關系式列出一元二次方程并求解。

此外，對于求解增加、降低等實際問題，直接設增加、降低等會使得所列表格更便于理解。最后，要認清題目中是否有目的性詞語，即所求解方案是否符合要求，如同變式中“同時又要使顧客得到實惠”，所以需要舍去不符合要求的值。