題新知依據(jù) 型多法可循
——一元二次方程新題型總結(jié)

文／陳奕含

一元二次方程是初中階段所學(xué)的最后一類方程。其獨(dú)有的二次結(jié)構(gòu)特征、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等內(nèi)容，讓它成為中考命題的熱點(diǎn)。下面就選取近幾年中考中出現(xiàn)的新題型加以分析，幫助同學(xué)們抓住題目的本質(zhì)特征，以不變應(yīng)萬變。

一、正解錯題型

例1（2021·貴州遵義）在解一元二次方程x2+px+q=0 時，小紅看錯了常數(shù)項(xiàng)q，得到方程的兩個根是-3、1。小明看錯了一次項(xiàng)系數(shù)p，得到方程的兩個根是5、-4。則原來的方程是（ ）。

A.x2+2x-3=0

B.x2+2x-20=0

C.x2-2x-20=0

D.x2-2x-3=0

【分析】題中兩人都分別看錯了方程中的一部分，得到了兩個根。結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到?jīng)]看錯的正確的系數(shù)，問題便迎刃而解。

解：因?yàn)樾〖t看錯了q，但沒看錯p，所以得到兩根之和=（-3）+1=-2=-p。

因?yàn)樾∶骺村e了p，但沒看錯q，所以得到兩根之積=5×（-4）=-20=q。

解得p=2，q=-20。

故選B。

【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩根時，x1+x2=。抓住題目中的不變量——沒看錯的系數(shù)，即可轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題進(jìn)行求解。

二、降次轉(zhuǎn)化型

例2（2022·四川內(nèi)江）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2-2x+k-1=0 的兩實(shí)數(shù)根，且，則k的值為___。

【分析】根據(jù)x1、x2是一元二次方程x2-2x+k-1=0 的兩實(shí)數(shù)根，可知x1+x2=2，x1x2=k-1。因?yàn)閤1是方程的根，所以x12-2x1+k-1=0，然后就可以用只含有x1的一次項(xiàng)的代數(shù)式表示x12。把2x2-1 進(jìn)行變形：左邊通分，右邊降次，再整體代入x1+x2、x1x2即可得解。最后，我們不要忘記檢驗(yàn)求出的k值是否符合題意。

【解答】∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2-2x+k-1=0的兩實(shí)數(shù)根，

解得k=2或k=5。

當(dāng)k=2 時，關(guān)于x的方程為x2-2x+1=0，b2-4ac=0，符合題意；

當(dāng)k=5 時，關(guān)于x的方程為x2-2x+4=0，b2-4ac=-12＜0，方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意。

∴k=2。

【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，從而得出x1+x2=2，x1x2=k-1。由于已知等式右邊包含單獨(dú)一個根的平方形式，可根據(jù)方程解的定義將x12 降次，轉(zhuǎn)化成x1+x2的形式。再用整體代入法得到關(guān)于k的方程，進(jìn)而完成求解。最后，我們一定要注意，只要是求一元二次方程中未知系數(shù)的值，一定要將該系數(shù)代入原方程檢驗(yàn)是否有實(shí)數(shù)根。

三、分類討論型

例3（2020·山東菏澤）等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2-4x+k=0 的兩個根，則k的值為（ ）。

A.3 B.4 C.3或4 D.7

【分析】已知等腰三角形的一邊長是3，可以作為等腰三角形的腰，也可以作為底邊，需要分類討論。當(dāng)3 為腰長時，將x=3 代入原一元二次方程得k的值；當(dāng)3為底邊長時，利用等腰三角形的性質(zhì)可知原方程將擁有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即判別式b2-4ac=0，從而得出k值。兩種情況得到的k值都必須帶回原方程求出方程的解，并判斷三邊是否能組成三角形。

解：（1）當(dāng)3 為腰長時，將x=3 代入x2-4x+k=0，

得32-4×3+k=0，解得k=3。

當(dāng)k=3時，原方程為x2-4x+3=0。

解得x1=1，x2=3。

此時三邊長為1、3、3，能構(gòu)成三角形，符合題意。

（2）當(dāng)3 為底邊長時，關(guān)于x的方程x2-4x+k=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，

∴b2-4ac=（-4）2-4×1×k=0，

解得k=4。

當(dāng)k=4時，原方程為x2-4x+4=0。

解得x1=x2=2。

此時三邊長為2、2、3，能構(gòu)成三角形，符合題意。

綜上所述，k的值為3或4。

故選C。

【點(diǎn)評】本題通過等腰三角形的性質(zhì)為切入口進(jìn)行分類討論，主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解。需要注意，與三角形三邊長相關(guān)的問題，最后一定要用三角形三邊關(guān)系來驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形。

四、數(shù)形結(jié)合型

例4（2019·寧夏）你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法呢！以方程x2+5x-14=0 即x（x+5）=14 為例加以說明。數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造圖（如圖1）中大正方形的面積是（x+x+5）2，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，據(jù)此易得x=2。那么在圖2 的三個構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）中，能夠說明方程x2-4x-12=0 的正確構(gòu)圖是_______。（只填序號）

圖1

圖2

【分析】仿照題中的案例，x2-4x-12=0要正確構(gòu)圖，得先變形為x（x-4）=12。所以構(gòu)造的大正方形的邊長為x+x-4，外側(cè)的4個矩形長、寬分別是x和x-4，中間的小正方形的邊長是4。通過大正方形面積的兩種表示方式得出x的值，即可得解。

解：∵x2-4x-12=0，即x（x-4）=12，

∴構(gòu)造如圖2②中大正方形的面積是（x+x-4）2，它中間的小正方形邊長為4。

又∵大正方形的面積也等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×12+42，

∴有（x+x-4）2=4×12+42。

解得x=6。

答案為②。

【點(diǎn)評】本題通過數(shù)形結(jié)合的方式，考查了一元二次方程的應(yīng)用。運(yùn)用類比的方法，構(gòu)造出合適的大正方形是解題的關(guān)鍵。