數字圖像加密技術綜述＊

何紀輝，王 倩，趙 瑛

(內蒙古科技大學信息工程學院，內蒙古 包頭 014010)

0 引言

在圖像信息加密的過程中，信息加密的速度、空間的占用率、密文的復雜程度、抗噪能力以及抗攻擊性都是反映圖像加密算法優劣性的重要指標。

1 傳統加密技術

1.1 對稱加密

對稱加密機制是目前研究當中應用最為廣泛的一種，也是理論研究和現實應用中使用較多的一種，整個加密解密流程呈對稱的狀態。又因為整個過程中只使用了一種密鑰，故對稱密鑰加密也被稱為單鑰體制。1977 年，美國國家標準局發布了數據加密標準（DES），該加密算法是由IBM 公司研制，是迄今為止運用最為廣泛的分組密碼算法。伴隨著時間的推移和密碼破解技術的不斷進步，DES 的安全性能不足以滿足后續的需求，于是新加密標準（AES）被推出。而DES 仍是一項具有里程碑意義的技術，其對于后續技術的發展與設計有著很大的參考價值。

1.2 非對稱加密

非對稱加密的原理大體上與對稱加密相似，主要區別在于：對稱加密機制中加密密鑰和解密密鑰是相同的，而非對稱加密機制中加密密鑰為公鑰，解密密鑰為私鑰。其中公鑰的信息是可以公開的，同時，信息的接收者只有擁有私鑰才能獲得明文信息，因此非對稱加密也稱為雙鑰體制或者公鑰體制。1978 年，RSA 算法由R.Rivest、L.Adleman 和A.Shamir 提出，該算法是目前最具影響力的公鑰加密算法，被ISO 列為公鑰數據加密標準。在對RSA 算法的攻擊上，只有短長度的RSA 密鑰才能被暴力破解，理論上只要RSA密鑰長度夠長，就無法實現對加密信息的破獲。

2 基于矩陣變換[3]和像素置換的加密技術

2.1 Arnold變換

Arnold 變換是由俄國數學家Vladimir Igorevich Arnold提出的一種矩陣變換方式。Arnold變換在矩陣變換技術當中占有極高的地位，并在加密算法的使用層面有著非常成熟的體系，其變換公式為：

其中(x，y)為矩陣變換前的值且取值范圍為1至N-1的整數，(x'，y')為進行一次置亂變換的值，而Arnold 變換的本質其實就是置亂系統不斷迭代的過程，左側輸出的(x'，y')將作為下一次迭代的初值輸入該系統。當Arnold 變換迭代到一定次數時，得到的輸出圖像會與原始圖像重新吻合。在Arnold 變換的周期性研究當中，F.J.Dyson 和H.Falk 的實驗結果給出了這樣的答案，當迭代次數N＞2 時，變換的周期T＜(N)/2，這也是目前為止得到的最好的結果。2021年，Liu Xingbin等人曾提出過將Arnold 變換與混沌映射相結合的加密算法，得到了良好的效果。

2.2 幻方變換

幻方的定義為一個n 階的幻方矩陣，在此基礎之上，該n 階矩陣還需滿足一項條件，即n 階矩陣的行元素總和、列元素總和、對角線元素總和相等，且總和數值都等于n(n+1)/2，這個值被稱為幻和，其公式為：

幻方變換的方案當中，將明文圖像對應于n 階的幻方矩陣，將幻方矩陣中元素1 的位置移動到元素2的位置，逐數位增加，以此類推，元素n的位置再歸為1，由此完成一輪的變換操作。每進行完一輪變換過后得到新的幻方矩陣，下一次變換又基于新的幻方矩陣。經過這樣的矩陣變換，打亂了原本像素之間的排列順序，從而達到圖像加密的效果。幻方矩陣的周期為T=n，當迭代次數達到n時，加密圖像又將重新恢復為明文圖像。但在實際應用中，有時會出現密文圖像在視覺上顯現出明文圖像中部分信息的情況，在不同階別的幻方矩陣類型當中會有不同程度的現象產生。基于此類情況，會降低攻擊方的破譯難度，影響到明文圖像的安全性。2019 年，胡克亞等人提出的分塊壓縮感知和改進幻方變換的算法很好的解決了這一問題。在此也能看出，糅合更為成熟的加密技術，能有效提高保證算法的抗攻擊性。

2.3 Gray變換

Gray 碼最初由貝爾實驗室的Frank Gray 提出，其變換進程主要在二進制數上進行。對于任意非負整數u，與之相對應的二進制碼為u=(uu???)，非負整數u 的Gray 碼為()=(gg…)。其中Gray碼的最高位u=g，其余位數當中g= u⊕u，其中i的取值范圍為從0 到p-1 的整數。Gray 變換實際運用過程中主要是對圖像灰度值進行數值變換，但因其最高位與原二進制相同，而使得最終圖像變換幅度有限。

基于Gray碼變換，后續研究中又推出了廣義Gray碼變換。廣義Gray 碼變換中原始數值u 的二進制碼表現形式仍與Gray 碼相同，區別于u 值與g 值的變換過程，其定義變換如下：

其中q 為大于等于2 的整數，且a為整數，i 和j 的取值范圍是從0 到p 的整數，在系數矩陣的行列式| (a) |與q互素時，此時上述變換稱為廣義Gray變換，最終得到的列向量轉置后得到u的廣義Gray碼。

廣義Gray 碼在Gray 碼的基礎上雖有改進，但距理想的數值幅度仍有差距，于是又產生了置亂廣義Gray 碼變換。u 值二進制表達形式仍不變，變換的定義式為g=⊕⊕…⊕u，g= u ，i 取值區間為1到p-1 的整數，計算得出的g(u)值即為置亂廣義Gray碼，且置亂廣義Gray 碼變換為可逆變換。2021 年，Wang Xingyuan 等人提出了Gray 碼與蛇形擴散混合的加密算法，使得擴散效果更加突出。

三種Gray 碼變換中置亂廣義Gray 碼變換的性能最為優越，數值序列分布雜亂無章，置亂效率高，相鄰數值相關性較低，擁有較好的離散性。同時，該變換能滿足矩陣變換加密中的基本要求，具有良好的應用前景。

3 混沌圖像加密技術

3.1 混沌理論

于20 世紀初期，美國數學家Pocicare J.H 提出了Pocicare 猜想，這一猜想的提出，為混沌理論的發展埋下了種子，同時，該猜想結合了動力學和拓撲學這兩個領域，證明了混沌存在的可能性。到了1963 年，美國氣象學家Lorenz 在《大氣科學》上發表了一篇名為“決定性非周期流”的文章，該文章的出現徹底打開了混沌學的大門，隨即，Lorenz 提出了經典的Lorenz系統。此后，有越來越多的混沌系統被提出，其中就包括Logistic映射、Chen系統、Rossler系統等。

在理論科學界，對混沌理論仍然沒有一個完整統一的定義，相對符合的看法是，混沌是在明確固定的系統中產生的一種看似無法預測，且具有隨機性的現象。而對于混沌系統的解，更多的認為是在對確定性的非線性系統中隨機性部分的求解。在對解的預測上，只能做到對短期迭代部分的預測，一旦時間線拉長，就很難對解進行預測。同時，系統能預測到的只是確定的解，對于隨機性的部分，即便是短期的預測都很難實現。實際上，混沌的不可預測性并不能理解為完全的隨機散列，混沌現象也并非是簡單的無序表現，而是沒有明顯的周期性和線性過程。從混沌的內部看，結構層次更偏向于有規律的序列走向，是非線性系統的的一種新的存在形式。

從動力學角度上看，混沌系統是存在對稱性和耗散性以及形式上的平衡態。早在1971年，法國數學物理學家D.Ruelle 和荷蘭學者F.Takens發表了著名論文《論湍流的本質》，在論文提到了吸引子這一概念。而吸引子的出現做到了對混沌系統的幾何特征描述。大量混沌系統的混沌吸引子，在它們的平面圖中都體現出了系統的對稱性和耗散性。耗散理論中，自組織是混沌系統形成耗散結構的過程，在此過程中，混沌系統向平衡態轉移，整體結構趨于穩定。對于確定的初始值，能通過混沌系統得出后續的數據走向。同時由于混沌的初值敏感性，可以通過數學手段判斷系統是否具有混沌性質，其中使用較多的方法為計算混沌系統的Lyapunov指數。

混沌理論最初被發現并不是在加密學的研究當中，之所以受到加密領域的關注，是因為混沌的特性與現代密碼體制設計的思路相符合。根據混沌系統自身良好的偽隨機性可以使得圖像信號的分布具有混淆性，這符合Shannon 在現代密碼體制設計中提出的混淆原則。經過混沌系統處理過后的圖像信號，在水平、垂直和對角方向上的像素值分布情況都由明文信號中的強相關變為弱相關，滿足了Shannon 提出的擴散原則。在雪崩效應中，要求高質量的密碼塊能通過較小的輸入變化引發劇烈的輸出變化，由于混沌理論中的初值敏感性，使得混沌系統也符合雪崩效應的要求。因此，能滿足以上三大原則的混沌系統，適用于加密算法系統的設計。

為了追求圖像加密的復雜性和抗攻擊性，實際上現有的大部分加密算法都不是單一的混沌加密算法，混沌序列的使用只是完整算法當中的一環，往往是混沌系統與其他加密方式結合起來使用的過程。

3.2 基于DNA編碼的混沌圖像加密

20 世紀90 年代，DNA 編碼技術的提出，受到了許多密碼學研究者的關注，DNA 信息中的核苷酸堿基匹配二進制當中的00、01、10、11 位，其中有8 種DNA 編碼規則，每種規則對應于自身的加法、減法和異或運算規則。同時，在DNA編碼的運算過程中只有同種規則的編碼運算才是正確有效的，使用不同規則進行交互會導致錯誤的結果。2021年，周紅亮等人通過融合DNA編碼與混沌系統獲得了更好的復雜性。

3.3 基于壓縮感知的混沌圖像加密

壓縮感知理論由Donoho、Candes 和陶哲軒等人提出，該理論受到信息論、模式識別、圖像處理及光學成像等領域的高度關注。在圖像加密領域中，大多數研究都偏向于提高加密算法的復雜性，使得明文圖像經過加密后得到更高復雜度的、抗攻擊性更強的和相關性更低的密文圖像，而缺少對密文圖像的空間占用率進行進一步的優化。壓縮感知理論的出現，使得加密算法在保證圖像質量低損失的情況下，能大幅減少加密過程中存儲空間的占用率，同時，因為這一特性的緣故，該理論同樣適用于多圖像加密的應用當中。2021 年，杜鑫昌等人提出將壓縮感知與混沌系統相結合的加密方法，有效的實現了這一特性。

信號的表示一般體現在時間域或者空間域。大多數信號一般不會以絕對稀疏的狀態呈現出來，因此需要將信號通過變換域轉化而達到近似稀疏的狀態，信號的稀疏性是壓縮感知得以實現的重要前提。常用的稀疏變換有離散余弦變換、離散小波變換和離散傅里葉變換，在實現完變換后，信號會被分為高頻部分和低頻部分，而稀疏圖像的主要能量分布在圖像的左上角部分，通過保留主要能量區域而舍去其他區域就能做到讓重構信號的質量不受大的影響，從而實現節約空間的情況下保證圖像的質量。

3.4 基于光學成像的混沌圖像加密

首個光學加密系統由Javidi 和Ref.regier 提出，自此以后，光學圖像的加密應用變得越來越頻繁。以往大多數的圖像加密技術面向的都是單圖像，到了近些年來，為了提高加密系統的整體加密效率，人們對多圖像加密的關注度逐漸升高。其中比較典型的就是通過構建光場成像系統來完成對多圖像的加密，如韓思敏等人于2020 年提出的光場成像的多圖像加密方法。將n 幅圖像拼接為一幅圖像，光場系統能獲取到目標文件的位置與方向信息，利用微透鏡陣列提取出明文圖像的子孔徑圖像。在系統的解密端，重構在陣列中獲得的光場信息，將整體密文圖像分割為n 個子圖像，最終通過光場系統把子圖像恢復為原始圖像。

上述內容僅為光場成像技術在圖像加密中的應用，實際上光學技術在圖像加密算法中還有許多其他的運用方式，如光學密鑰技術，光學掃描技術等等，在未來的理論研究中還有很大的發展空間。

3.5 研究方向及展望

在未來的研究和探索當中，以上幾項技術在圖像加密領域可能會有越來越多的應用場景。根據現有的發展情況，還有很多地方值得研究者去改進。

⑴DNA 編碼技術在編碼運算的方式中僅有加減以及異或操作，DNA 編碼運算的變換算法不夠復雜，在運算基礎上如何進一步提高矩陣序列的復雜程度，將會是一個值得關注的方向。

⑵壓縮感知技術通過高低頻來獲取圖像重要信息，能有效節約空間，但是在圖像質量和速率上是很難做到兩全其美的。根據壓縮感知在空間占用和高速率的優良特性，在保證圖像質量的情況下，加快速率，會有更多的應用場景。

⑶光學圖像加密本身對算法的安全性有較大的依賴。一方面，研究者應該發揮光場成像在多圖像加密上的優勢，在圖像數量上要有進一步的突破；另一方面，提高加密算法的復雜性，加強多張圖像之間的置亂擴散，使攻擊者對截取到的單張圖像束手無策。

4 結束語

本文基于傳統的圖像加密技術、混沌系統的圖像加密技術以及其他交叉領域所運用的圖像加密技術做了一個簡單的總結，根據每項加密技術的特性得出各自加密算法的優缺點。在近期的圖像加密研究方向當中，混沌系統中所表現出的初值敏感性，偽隨機等特性，在密碼學中將會有很大的應用空間，但同時在未來研究方向上也面臨著許多問題。現有模式中更多是對于單圖像的混沌系統加密，缺乏對于多圖像的混沌系統加密。多圖像的加密過程中，如何在保證明文圖像的加解密質量的同時，提高圖像加密的速率變得尤為關鍵。離開速率層面，最重要的還是加密算法的復雜性與安全性，有研究表明，混沌系統在經過離散處理時會面臨混沌退化現象，這會對算法系統的安全產生威脅。后續有不少研究者提出了解決方案，但仍沒有完整的理論依據。總之，在設計加密算法時，需盡可能地消除退化現象，或是進一步得出理論成果從根源上解決問題。與此同時，隨著量子計算技術的不斷提出，使得現有基礎上的所有加密體制都將受到沖擊，一旦最終量子計算機成果研發而出，一切受限于算力的加密體制都將存在被破譯的危險。能否提出有效的解決方案，將成為密碼學研究者未來的關注重點。