雙重螺旋法加工螺旋錐齒輪齒面重合度設(shè)計

王 豪，黃艷松，李科鋒

(1.海軍裝備部，北京 100070； 2.中國航發(fā)湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412000)

0 引言

螺旋錐齒輪具有高承載能力、高傳動平穩(wěn)性、高重合度等優(yōu)勢，廣泛應(yīng)用于直升機傳動系統(tǒng)、航空發(fā)動機等重載高速齒輪傳動中。目前，螺旋錐齒輪加工方法主要為五刀法與雙重螺旋法。相較于五刀法，雙重螺旋法具有高效率、低成本、同批次齒輪幾何精度一致性好、高速干切削等優(yōu)點。由于螺旋錐齒輪齒面形貌較為復(fù)雜，在設(shè)計加工中質(zhì)量控制較為困難，容易產(chǎn)生動態(tài)性能和振動噪聲問題。經(jīng)研究證明，工作載荷下的實際重合度和傳動誤差是影響振動噪聲的主要因素。降低齒輪振動和改善接觸性能，可采用增大齒輪副嚙合重合度的方法。

目前提高重合度的方法主要為局部綜合法：通過控制接觸跡傾斜程度，大輪加工參數(shù)和小輪齒坯參數(shù)無需調(diào)整,僅對小輪加工參數(shù)進(jìn)行設(shè)計,即可實現(xiàn)提高重合度的目的。但該方法主要針對五刀法，不適用于雙重螺旋法。

本文針對雙重螺旋法加工的螺旋錐齒輪，通過齒面主動設(shè)計的方法，控制齒面接觸跡的傾斜程度以及傳動誤差曲線幅值，實現(xiàn)提高重合度，改善接觸性能的目的。

1 重合度的基本概念

1.1 重合度定義

螺旋錐齒輪理論上為點接觸齒面，在齒面為完全剛性的情況下，嚙合跡線在齒面形成一條連續(xù)的點列，即為接觸跡。在實際滾檢和加載運行過程中，由于齒面的接觸變形，在接觸點周圍形成瞬時接觸橢圓，齒面的接觸印痕由一系列的瞬時接觸橢圓沿接觸跡排列構(gòu)成。齒輪在嚙合過程中的重合度(Contact Ratio)定義為：

=

(1)

式中，為小輪單齒從開始進(jìn)入嚙合到退出嚙合所轉(zhuǎn)過的角度(時間)，=360°為小輪的嚙合周期角度(時間)，為小輪齒數(shù)。

1.2 設(shè)計重合度與實際重合度

螺旋錐齒輪齒面具有準(zhǔn)共軛特性，在傳遞載荷很小(趨于零)的情況下，實際重合度不受設(shè)計重合度影響，始終為1.0。此時齒面上的接觸跡只有中間的一段參與嚙合(圖1中a- a′段)。當(dāng)載荷增大，相應(yīng)的齒面變形補償了第二對齒間的間隙，潛在接觸區(qū)發(fā)生齒面接觸。參與嚙合的接觸跡長度增加，使得重合度增大,當(dāng)齒輪副接觸印痕達(dá)到齒頂時(圖1中e點/ e′點)，重合度達(dá)到設(shè)計的最大值。當(dāng)傳遞載荷繼續(xù)增大，則會產(chǎn)生邊緣接觸，雖然重合度會略有增加，但過度的邊緣接觸容易造成振動噪音和強度破壞，應(yīng)盡量避免。

1.3 接觸跡與重合度的關(guān)系

接觸跡的長度在一定程度上反映了齒輪的重合度，增長嚙合過程中的接觸跡能夠提高重合度。當(dāng)齒面接觸跡與齒根夾角減小時，接觸跡長度增加，增大，使得重合度增加。

1.4 傳動誤差曲線與重合度

在圖1中，交叉點a和a′為輪齒傳動過程中的嚙合轉(zhuǎn)換點，端點e和e′為齒面潛在接觸跡的開始點和結(jié)束點，即實際重合度達(dá)到設(shè)計最大值，可得設(shè)計最大重合度可表示為：

=

(2)

式中，為小輪單齒從e點到e′點轉(zhuǎn)過的角度(時間)。

圖1 齒面接觸分析示意圖

2 重合度設(shè)計

根據(jù)齒面接觸跡和傳動誤差曲線與重合度的關(guān)系，通過齒面主動設(shè)計的方法，在已有的大輪齒面方程的基礎(chǔ)上，根據(jù)嚙合關(guān)系獲得與其完全共軛的基準(zhǔn)齒面，確定所需接觸跡和傳動誤差。在基準(zhǔn)齒面的基礎(chǔ)上獲得小輪目標(biāo)齒面，以小輪加工參數(shù)調(diào)整量為設(shè)計變量構(gòu)建求解模型，求解獲得期望重合度的齒面。

2.1 構(gòu)建小輪基準(zhǔn)齒面

如圖2建立大輪和小輪之間嚙合位置關(guān)系。其中，={;;;}為機床坐標(biāo)系，固連于滾檢機。={;;;}為大輪坐標(biāo)系，隨大輪轉(zhuǎn)動，={;;;}為小輪坐標(biāo)系，隨小輪轉(zhuǎn)動，和為輔助坐標(biāo)系。在齒輪嚙合過程中，小輪轉(zhuǎn)角為，大輪轉(zhuǎn)角為，為小輪相對于大輪的偏置距，為軸交角。

依據(jù)參考文獻(xiàn)[4]，可得大輪齒面矢量方程(,)及其對應(yīng)的法式()，分別轉(zhuǎn)換到機床坐標(biāo)系中，可得：

(3)

式中，

圖2 嚙合坐標(biāo)系

大輪齒面與小輪齒面之間滿足完全共軛關(guān)系，則有

(4)

根據(jù)完全共軛嚙合關(guān)系，可將大輪齒面方程轉(zhuǎn)換至小輪坐標(biāo)系下，從而獲得滿足完全共軛關(guān)系的小輪齒面如下：

(5)

式中，

2.2 構(gòu)建小輪目標(biāo)齒面

在本文中，為了降低振動和沖擊所帶來的影響，將傳動誤差曲線設(shè)計為左右對稱、開口向下的拋物線，傳動誤差可表示為：

(6)

式中是嚙合轉(zhuǎn)換點處的傳動誤差幅值。

在齒面接觸分析中，根據(jù)傳動誤差的定義可得實際傳動誤差曲線方程如下：

(7)

根據(jù)格里森技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，將齒面劃分為5行9列共45點，并建立坐標(biāo)系，如圖3所示設(shè)置接觸跡線。其方程可表示為：

(,)=-+(-)tan()=0

(8)

即在坐標(biāo)系中，接觸點跡線為一直線，其與方向夾角為，和為參考點坐標(biāo)。

圖3 齒面網(wǎng)格定義

為了能夠使嚙合過程中傳動誤差滿足預(yù)置的條件，用式(6)和式(7)代替滿足完全共軛關(guān)系時的運動關(guān)系式(4)，可得到滿足公式(6)的新齒面，表達(dá)式如下：

(9)

所得齒面大、小輪之間為線嚙合，還需進(jìn)行齒面修正，才能獲得點接觸齒面。取公式(9)齒面上的任意網(wǎng)格點，設(shè)置其沿法矢量方向上的齒面修正量為：

(10)

式中，為彈性變形量；為瞬時接觸橢圓長半軸尺寸；為齒面任意網(wǎng)格點與預(yù)置接觸跡線在切平面上的投影距離。

可得目標(biāo)齒面上任意網(wǎng)格點的表達(dá)式為：

(11)

2.3 小輪加工參數(shù)求解

本文對小輪原齒面的加工參數(shù)進(jìn)行調(diào)整以達(dá)到與目標(biāo)齒面相逼近的目的。在實際加工中，刀具齒形角不易調(diào)整，故在此不予考慮。將小輪加工參數(shù)調(diào)整量Δ作為設(shè)計變量，小輪加工參數(shù)可表示為：

=+Δ

(12)

以求目標(biāo)齒面和解獲得齒面之間的偏差平方之和最小作為優(yōu)化目標(biāo)，上述齒面間在任意網(wǎng)格點上的法向偏差可表示為：

(13)

其中，角標(biāo)和表示小輪凸面和凹面。將式(13) 中小輪原齒面加工參數(shù)用式(12)代替，即可獲得優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)：

(14)

根據(jù)在實際應(yīng)用中齒輪副兩種轉(zhuǎn)向的時長比確定加權(quán)系數(shù)。

本文采用MATLAB軟件中的fmincon程序來對所建模型進(jìn)行求解。對求解獲得的齒輪加工參數(shù)通過MATLAB軟件進(jìn)行齒面接觸分析，得到齒面接觸印痕和傳動誤差曲線，進(jìn)而檢驗齒面重合度情況；同時，根據(jù)大、小輪加工參數(shù)，通過齒面方程求解獲得大輪和小輪的齒面三維坐標(biāo)點，在三維軟件完成模型構(gòu)建后導(dǎo)入ABAQUS軟件中開展有限元仿真，檢驗齒面接觸性能情況。

3 算例分析

選取一對8×43準(zhǔn)雙曲線齒輪副作為原齒面，其為采用雙重螺旋法加工。齒輪副基本參數(shù)和加齒參數(shù)如表1和表2所示。

表1 齒輪副基本參數(shù)

表2 齒輪副加工參數(shù)

傳動誤差曲線上的嚙合轉(zhuǎn)換點幅值反映了齒輪副對安裝和加工誤差的敏感性。本文針對低速重載的工況，改善齒輪副的嚙合性能。滿足該性能需加大齒面的接觸跡傾斜程度，加大傳動誤差的嚙合轉(zhuǎn)換點幅值。如表3所示進(jìn)行接觸跡和傳動誤差曲線參數(shù)設(shè)置，其中實例一以原齒面為起始齒面，實例二以求解獲得的實例一齒面為起始齒面，以小輪凹面為工作面，小輪凸面為非工作面。

表3 參數(shù)設(shè)置

為保證兩側(cè)齒面的嚙合質(zhì)量，對取值0.5，由式(14)的優(yōu)化模型可獲得實例一相應(yīng)的小輪加工參數(shù)調(diào)整量，如表4所示；將實例一所得的小輪齒面作為實例二的起始齒面，求得的小輪加工參數(shù)調(diào)整量如表5所示。

表4 實例一小輪加工參數(shù)調(diào)整量

表5 實例二小輪加工參數(shù)調(diào)整量

對求解獲得的齒輪副進(jìn)行齒面接觸分析，結(jié)果如圖4和表6所示。

圖4 齒面接觸分析結(jié)果

表6 結(jié)果參數(shù)

經(jīng)分析可得：①原齒面、實例一齒面及實例二齒面之間，工作面和非工作面的接觸跡線傾斜程度按設(shè)計逐漸加大；②原齒面、實例一齒面及實例二齒面之間，工作面和非工作面的設(shè)計最大重合度和嚙合轉(zhuǎn)換點處的傳動誤差幅值按設(shè)計逐漸加大。

圖5為原齒面齒輪副、實例一齒輪副以及實例二齒輪副的工作面、非工作面在1000 N·m的負(fù)載下，齒輪副嚙合過程中大輪齒面的接觸壓力情況。

圖5 1000 N·m下齒輪副接觸壓力情況

分析圖5可得：①圖中，工作面及非工作面均發(fā)生了邊緣接觸，潛在接觸區(qū)參與了整個嚙合過程，且邊緣接觸在大輪齒根部分較為明顯；②在原齒面齒輪副中，接觸壓力較大區(qū)域主要集中在大輪齒根部分，在實例一齒輪副與實例二齒輪副中，接觸壓力較大區(qū)域有往齒面中部移動的趨勢；③從圖5中可得，原有實際齒輪副的最大接觸壓力最大，實例二齒輪副中的接觸壓力最小。

由此可得，針對低速重載工況下重合度設(shè)計的實例一和實例二達(dá)到了改善接觸性能的效果，降低了最大接觸壓力，并對嚙合傳動過程中的邊緣接觸問題有所改善，達(dá)到了本文重合度設(shè)計的目的。

4 結(jié)論

本文針對采用雙重螺旋法加工的螺旋錐齒輪，通過齒面主動設(shè)計的方法，預(yù)置接觸跡傾斜角度和傳動誤差曲線幅值，設(shè)計出重合度高、接觸性能好的螺旋錐齒輪。經(jīng)齒面接觸分析和計算機仿真，驗證了所提方法的有效性。