考慮模型不確定和關節電機動態的柔性機械手滑?？刂?/h1>
2022-10-14 01:17:12王春峰
機床與液壓 2022年1期
王春峰
(南京信息職業技術學院智能制造學院，江蘇南京 210023)
0 前言
柔性機械手以其負載/質量比大、結構輕巧、效率高等優勢，已逐漸取代傳統的剛性機械手在航空航天、醫療和工業等領域得到廣泛應用。然而，由于其結構柔性的存在，柔性機械手的魯棒控制一直是控制和應用工程領域的難點之一[1-3]。
柔性機械手建模方法主要有牛頓-歐拉法、拉格朗日法和虛位移法等，最常見的模型有解耦模型[4]、偏微分方程組模型[5]和基于模態假設法的模型。由于模態假設法模型將每個桿視為歐拉-伯努利桿，模型包含分布參數，更接近柔性機械手的真實情況，因此應用最廣泛，如文獻[6-8]中都用到了模態假設法模型。柔性機械手包含柔性單元，屬于典型的分布參數系統，必須用無窮維分布參數模型來描述，然而，為降低模型復雜性，通常柔性模態只截取到1階。特別地，關節電機安裝在機械臂上，通常輔助以諧波減速器、制動器、磁編碼器及控制器等，進而通過一個或多個關節電機的聯動完成機械手的運動控制[9]。因此，電機動態性的影響不可忽略，但現有建模過程中卻常忽略，使得柔性機械手建模精度不高，嚴重制約了其模型分析與控制精度。
在柔性機械手的控制方面，其末端控制面臨的難點之一為轉矩輸入與位移輸出間的傳遞函數為非最小相位，難以直接針對末端期望位移進行控制器設計。為此，研究人員針對其非最小相位的解耦問題進行了相關研究。文獻[10]中在被控系統平衡點處利用輸出重定義的方式，將它轉變為易于控制的最小相位系統。文獻[9]和文獻[10]中根據不同時間尺度下的關節電機轉角和柔性模態，分別采用奇異攝動方法、輸出重定義法將系統分解為快、慢2個子系統。對比以上2種常用解耦方法，輸出重定義法應用更廣泛、簡單且控制器設計靈活。
此外，在應用控制方法方面，對比PI控制[12]、狀態反饋控制[13]和模糊控制[14]等，滑模(Sliding Mode Control, SMC)控制[15]以其強魯棒性、對控制對象模型精度要求不高和易于實現等優點，在柔性機械手控制方法中廣泛應用，有效緩解了柔性機械手建模精度的約束。但目前SMC多以傳統線性滑模控制、非奇異終端滑模控制[16]及與模糊控制、神經網絡等智能控制法相結合[17]的應用為主，且多以額定工況下的柔性機械手控制為主。然而，在對運動精度要求較高的場合中，由于關節電機的動態性能和實際模型中參數的不確定性，SMC控制性能往往不理想?，F有控制方法多以穩定性作為控制目標，且無法定量給出其末端位移偏差的準確值。
基于以上研究背景，本文作者以雙臂柔性機械手為例，考慮模型參數不確定和關節電機動態，建立一種柔性機械手與關節電機的聯合模型，在此基礎上，重新定義其輸出以解決其最小相位問題。針對分解后的重定義子系統，借鑒文獻[18]中的終端滑模的有限時間收斂特性，提出一種改進的非線性滑模控制方法，同時實現對輸出重定義系統狀態和關節電機動態的魯棒控制，提高其動態響應時間。針對分解后的柔性模態，利用李雅普諾夫穩定性理論保證它在平衡點鄰域的局部收斂性，并推導出雙機械手末端位移的誤差范圍。
1 系統描述與建模
1.1 柔性機械手-關節電機聯合建模
針對雙臂柔性機械手，本文作者采用文獻[18]中的模型。不同于目前柔性模態僅取截斷后1階的做法，該模型每個臂柔性模態均取2階，因此建模精度更高。考慮模型參數不確定性，雙臂柔性機械手系統描述如式(1)所示：
(1)
其中:θ=[θ1θ2]T∈R2為電機轉角;q=[q1
其中：Mr∈R2×2;Mrf∈R4×2;Mf∈R4×4。矩陣M的逆矩陣可表示為
其中:N11∈R2×2;N12∈R2×4;N21∈R4×2;N22∈R4×4。
本文作者著重考慮關節電機的動態。相比于異步電機、步進電機等，直流電機以其結構簡單、調速范圍大、易于實現線性和快速啟?？刂频葍烖c在機械手中廣泛應用[20]。為此，本文作者采用直流電機充當柔性手的關節驅動電機，其動態特性可表示為
(2)
式中：L=diag[L1L2]、R=diag[R1R2]、Ke=diag[ke1ke2]，分別表示2個柔性臂上電機的電感、電阻和反電勢常數陣；KT為電機的電流-轉矩正定常數陣；u=[u1,u2]T∈R2為關節電機的輸出轉矩;Te=[Te1,Te2]T∈R2為關節電機的機械轉矩，且有u=Te+τ。
(3)
其中:
文中控制目標：控制雙臂柔性機械手的末端位移從非零初始狀態yi(0)≠0到零，其計算公式如式(4)所示：
(4)
式中:yi(0)、Li和φij分別為第i個柔性機械手的初始位移、臂長和第j個柔性模態。
柔性機械手系統的輸入維數小于輸出維數，屬于非最小相位系統，難以直接設計控制器。因此，借鑒文獻[19]中的輸出重定義方法進行模型變換。
1.2 模型變換
根據式(4)，為克服柔性機械手末端控制的最小相位問題，重新定義輸出變量z∈R2為電機轉角θ和柔性模態q的線性組合為
z=λ0θ+λ1q
(5)
式(5)中并沒有把關節電機模型(2)的變量I考慮到重定義輸出變量z中，因為關節電機只是通過電流I為柔性機械手提供驅動轉矩，而式(4)表示的末端位移的控制仍然通過控制關節轉角θ和柔性模態q實現。
將式(5)中的z進行兩次求導，可得關節電機的輸出轉矩u，并將u代入式(3)，有：
(6)
其中:
(7a)
Δα=(λ0N11+λ1N21-N11Te)Δ1+(λ0N12+
λ1N22-N21Te)Δ2
(7b)
β=λ0N11+λ1N21
(7c)
(8)
根據文獻[19]中輸出重定義方法，式(8)可視為輸入、輸出子系統，而其余4維柔性模態構成內部子系統，由式(3)可直接得到：
Kq-Δ2)+N21u
(9)
若針對如式(9)所示的重定義輸出系統設計控制律u使其狀態z1=z2=z3=0有限時間收斂，則式(6)成立，進而推出:
u=-β-1(α+Δα)
(10)
將式(10)代入式(9)，根據文獻[10]中零動態的定義，內部子系統化為零動態子系統:
(11)
綜合以上模型變換，可見如式(3)所示的柔性機械手-關節電機聯合模型可最終分解為如式(8)所示的重定義子系統和如式(11)所示的零動態子系統。
2 非線性滑?？刂破髟O計
針對重定義輸出系統，由于包括3個系統狀態z1、z2和z3且為實現有限時間收斂，借鑒文獻[18]中終端滑模的有限時間收斂特性設計一種改進的非線性滑模面，其表達式為
(12)
式中：s∈R2；設計參數為c1、c2，并且c1=diag[c11
c12]、c2=diag[c21c22]，cii>0,i=1, 2。
式(8)中包含未知的不確定項Δα，在設計相應滑模控制器時需要知道其上邊界范圍，則有：
(13)
其中:ε3>0。
基于滑模等效控制原理[2]，設計滑?？刂坡蓇由等效控制項ueq和切換項un組成，即:
u=ueq+un
(14)
令式(12)中的s的一階導為0，可以計算得到等效控制項ueq，旨在維持系統在滑模面穩定。ueq表達式為
ueq=Rz3+Kez2+Te-
(15)
而切換項un的作用是通過切換開關使得系統趨近于設計的滑模面，其優點為具有高度抗干擾性。
(16)
將式(15)代入式(16)，則有:
(17)
可見，若設計切換項un為
(18)
其中，η>0則可使得式(17)變為
結合以上分析，可證明所設計的控制律u的正確性及系統狀態的有限時間收斂性。
3 穩定性分析
由式(11)可知，零動態系統的穩定性能決定整個柔性機械手系統的穩定性能，且由于不確定性Δ1、Δ2的存在，可知在x=0時具有局部穩定性，假設其穩定區域為Ω。為此，在其局部穩定區域可對矩陣N和ff進行線性化，即有：
(19)
將式(19)代入式(11)有：
(20)
其中：
(21)
其中：
(22)
(23)
由式(23)可推導出柔性模態q的收斂范圍為
(24)
結合式(14)(15)和(18)所示控制律的作用，由式(5)重定義輸出變量z=λ0θ+λ1q=0成立，因此可推導出電機轉角θ的收斂范圍：
(25)
最后根據柔性機械手末端位移的計算公式，考慮關節電機與參數不確定情況下，得到雙臂柔性機械手末端位移誤差范圍為
(26)
4 數值仿真
為驗證所提控制方法的有效性，從重定義參數λ0和λ1、模型參數不確定和關節電機動態三方面分析其對柔性機械手穩定性和控制性能的影響。表1給出了雙臂柔性機械手模型參數。
表1 雙臂柔性機械手模型參數
(1)重定義參數對穩定性能的影響
圖1 重定義系數對零動態系統狀態的影響
(2)模型參數Δ1和Δ2對系統性能的影響
圖2 存在模型不確性的柔性機械手仿真結果
(3)關節電機動態對系統性能的影響
不考慮模型參數的不確定Δ1和Δ2的影響，式(2)中關節電機參數如表2所示。在基于文獻[19]中忽略關節電機的影響建模和控制器設計的基礎上，增加關節電機動態的控制，選擇參數c2=diag[1.2,1.2]，對比仿真結果如圖3所示，其中，有關節電機采用如式(12)所示的非線性滑模，沒有關節電機采用文獻[19]中的標準終端滑模。
表2 直流電機參數
由圖3(a)(b)可見：文獻[19]中的標準終端滑模和文中設計的非線性滑模變量均可實現有限時間收斂，但不考慮關節電機動態的情況下收斂時間延長，意味著柔性機械手-關節電機聯合控制會使系統響應速度加快。由圖3(c)(d)可知：若考慮關節電機動態，其對應輸出的關節驅動轉矩作用也會變大，即需要額外的驅動扭矩用于關節控制。由圖3(e)(f)可知：關節電機動態的聯合控制具有加快系統響應速度的作用。利用LMI工具箱和式(25)—(26)可算出存在關節電機動態時2個柔性機械手的末端誤差分別為1.699×10-4rad 和8.71×10-4，因此在建模和控制器設計時不應忽略關節電機動態。
圖3 考慮/不考慮關節電機特性的柔性機械手仿真結果
5 結論
本文作者針對雙臂柔性機械手系統，著重研究了關節電機與模型不確定對末端位移誤差的影響。建立了雙臂柔性機械手-關節電機的聯合數學模型，并利用重定義方法解決其非最小相位問題。針對分解后的重定義子系統，提出一種改進的非線性滑模控制方法，實現了重定義輸出變量和關節電機動態的魯棒控制。針對零動態子系統，利用Lyapunov穩定性定理推導出重定義參數與零動態子系統穩定性、末端位移誤差的關系。仿真結果證明了模型不確定性和關節電機的影響不可忽略，所提方法具有參考價值。
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1.1 柔性機械手-關節電機聯合建模
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(1)
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其中:N11∈R2×2;N12∈R2×4;N21∈R4×2;N22∈R4×4。
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(2)
式中：L=diag[L1L2]、R=diag[R1R2]、Ke=diag[ke1ke2]，分別表示2個柔性臂上電機的電感、電阻和反電勢常數陣；KT為電機的電流-轉矩正定常數陣；u=[u1,u2]T∈R2為關節電機的輸出轉矩;Te=[Te1,Te2]T∈R2為關節電機的機械轉矩，且有u=Te+τ。
(3)
其中:
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(4)
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1.2 模型變換
根據式(4)，為克服柔性機械手末端控制的最小相位問題，重新定義輸出變量z∈R2為電機轉角θ和柔性模態q的線性組合為
z=λ0θ+λ1q
(5)
式(5)中并沒有把關節電機模型(2)的變量I考慮到重定義輸出變量z中，因為關節電機只是通過電流I為柔性機械手提供驅動轉矩，而式(4)表示的末端位移的控制仍然通過控制關節轉角θ和柔性模態q實現。
將式(5)中的z進行兩次求導，可得關節電機的輸出轉矩u，并將u代入式(3)，有：
(6)
其中:
(7a)
Δα=(λ0N11+λ1N21-N11Te)Δ1+(λ0N12+
λ1N22-N21Te)Δ2
(7b)
β=λ0N11+λ1N21
(7c)
(8)
根據文獻[19]中輸出重定義方法，式(8)可視為輸入、輸出子系統，而其余4維柔性模態構成內部子系統，由式(3)可直接得到：
Kq-Δ2)+N21u
(9)
若針對如式(9)所示的重定義輸出系統設計控制律u使其狀態z1=z2=z3=0有限時間收斂，則式(6)成立，進而推出:
u=-β-1(α+Δα)
(10)
將式(10)代入式(9)，根據文獻[10]中零動態的定義，內部子系統化為零動態子系統:
(11)
綜合以上模型變換，可見如式(3)所示的柔性機械手-關節電機聯合模型可最終分解為如式(8)所示的重定義子系統和如式(11)所示的零動態子系統。
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(12)
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(13)
其中:ε3>0。
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u=ueq+un
(14)
令式(12)中的s的一階導為0，可以計算得到等效控制項ueq，旨在維持系統在滑模面穩定。ueq表達式為
ueq=Rz3+Kez2+Te-
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(16)
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(17)
可見，若設計切換項un為
(18)
其中，η>0則可使得式(17)變為
結合以上分析，可證明所設計的控制律u的正確性及系統狀態的有限時間收斂性。
3 穩定性分析
由式(11)可知，零動態系統的穩定性能決定整個柔性機械手系統的穩定性能，且由于不確定性Δ1、Δ2的存在，可知在x=0時具有局部穩定性，假設其穩定區域為Ω。為此，在其局部穩定區域可對矩陣N和ff進行線性化，即有：
(19)
將式(19)代入式(11)有：
(20)
其中：
(21)
其中：
(22)
(23)
由式(23)可推導出柔性模態q的收斂范圍為
(24)
結合式(14)(15)和(18)所示控制律的作用，由式(5)重定義輸出變量z=λ0θ+λ1q=0成立，因此可推導出電機轉角θ的收斂范圍：
(25)
最后根據柔性機械手末端位移的計算公式，考慮關節電機與參數不確定情況下，得到雙臂柔性機械手末端位移誤差范圍為
(26)
4 數值仿真
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表1 雙臂柔性機械手模型參數
(1)重定義參數對穩定性能的影響
圖1 重定義系數對零動態系統狀態的影響
(2)模型參數Δ1和Δ2對系統性能的影響
圖2 存在模型不確性的柔性機械手仿真結果
(3)關節電機動態對系統性能的影響
不考慮模型參數的不確定Δ1和Δ2的影響，式(2)中關節電機參數如表2所示。在基于文獻[19]中忽略關節電機的影響建模和控制器設計的基礎上，增加關節電機動態的控制，選擇參數c2=diag[1.2,1.2]，對比仿真結果如圖3所示，其中，有關節電機采用如式(12)所示的非線性滑模，沒有關節電機采用文獻[19]中的標準終端滑模。
表2 直流電機參數
由圖3(a)(b)可見：文獻[19]中的標準終端滑模和文中設計的非線性滑模變量均可實現有限時間收斂，但不考慮關節電機動態的情況下收斂時間延長，意味著柔性機械手-關節電機聯合控制會使系統響應速度加快。由圖3(c)(d)可知：若考慮關節電機動態，其對應輸出的關節驅動轉矩作用也會變大，即需要額外的驅動扭矩用于關節控制。由圖3(e)(f)可知：關節電機動態的聯合控制具有加快系統響應速度的作用。利用LMI工具箱和式(25)—(26)可算出存在關節電機動態時2個柔性機械手的末端誤差分別為1.699×10-4rad 和8.71×10-4，因此在建模和控制器設計時不應忽略關節電機動態。
圖3 考慮/不考慮關節電機特性的柔性機械手仿真結果
5 結論
本文作者針對雙臂柔性機械手系統，著重研究了關節電機與模型不確定對末端位移誤差的影響。建立了雙臂柔性機械手-關節電機的聯合數學模型，并利用重定義方法解決其非最小相位問題。針對分解后的重定義子系統，提出一種改進的非線性滑模控制方法，實現了重定義輸出變量和關節電機動態的魯棒控制。針對零動態子系統，利用Lyapunov穩定性定理推導出重定義參數與零動態子系統穩定性、末端位移誤差的關系。仿真結果證明了模型不確定性和關節電機的影響不可忽略，所提方法具有參考價值。
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