借助“推理”助力數學應用意識的養成
——以“草原上的蒙古包”的教學為例

李 冰 文 菊

四川省宜賓市教育科學研究所 644000 四川省宜賓市人民路小學校 644000

數學課程標準指出：“初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識。”基于此，教師在日常教學中需要幫助學生認識到現實生活中蘊藏著大量的數學信息、數學在現實世界中有著廣泛的應用；面對實際問題時，能主動嘗試從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略。我們選用《數學文化讀本》上的內容，在教學過程中借助推理來探究真相，助力學生應用意識的養成。

“草原上的蒙古包”是《數學文化讀本》六年級的教學內容。本課需要學生探究蒙古包的設計原理，并了解圓柱形物體的特征。同時學生通過推理、分析，將數學知識與生活實際相聯系，感受數學知識在建筑中的廣泛運用，逐步養成應用意識。本課看似簡單卻蘊含著許多數學知識，如何取舍本課知識點，確定教學重難點，需要教師把握住小學階段對“圖形與幾何”這一板塊知識的具體要求。我們將本課教學重點確定為：探究體積相同的立體圖形中表面積最小、容積最大的圓柱。同時，立足作為《國家課程》相關知識點的延伸和補充這一要求，本課側重于小學數學核心素養中推理能力以及應用意識的培養。我們創編故事情節，使學生在這個過程中學會自主地用數學眼光和數學思維去分析生活中的實際問題，進而培養學生的應用意識和應用能力。

一、巧用數學文化，發掘實際問題

數學文化主要是指通過人們實際參與各種數學活動，包括數學研究與數學學習，逐步形成的一些特殊的行為方式、思維方法與價值觀念，而《數學文化讀本》從數學文化的角度引入的“草原上的蒙古包”這一教學內容，就是將生活實際與數學應用相結合。

片段一：

出示故事人物：博士、天天、波波、妮妮和萬事通，以及大草原的美麗圖片。

師：歡迎同學們加入有趣的數學文化之旅，今天我們將和其他小伙伴一起跟隨博士開啟一段探尋內蒙古大草原的旅程。

師：一路上，大家都沉醉在大草原的遼闊美景之中，忽然妮妮指著遠方小小的白點問，這是什么啊？

生1：蒙古包。

師：什么是蒙古包？

生2：蒙古包就是蒙古族人民居住的房子。

師：那關于蒙古族，你們有什么了解呢？

……

師：大家對蒙古族的了解真不少，這節課我們就一起走近草原上的蒙古包。

數學文化的建設是一個潛移默化的過程，教師傳授給學生的不僅是知識和技能，更重要的是在教學中體現思維，給人一定的智慧。這里開門見山地交代故事起因和故事人物。通過學生對蒙古族的民族特點及文化特色的介紹，來了解蒙古包建筑的文化背景，也為后面探究實際問題埋下伏筆。

二、經歷自主推理，養成應用意識

數學應用意識的培養要求教師在教學的過程中向學生強調數學的存在價值。通過教師提出有價值的問題，或引導學生發現問題，改變學生在數學知識學習中的被動狀態，激勵學生更加積極主動地思考和學習。故事情節環環相扣，學生不自覺地跟隨情節經歷一次又一次的合情推理，在潛移默化中養成應用意識。

設計流程：

圖1

（一）推理一：探究底面周長一定，圓柱體空間最大。

片段二：

1.引導學生提出問題。

課件展示一個蒙古包。

師：面對蒙古包，你有什么疑問嗎？

生3：我想知道為什么蒙古包會是這樣的形狀呢？

師：是什么形狀？

生4：就是一個圓柱和一個圓錐。

教師根據學生回答畫出由一個圓柱和一個圓錐組成的簡易蒙古包。

2.探究計算。

根據情節，播放幻燈片。

師：跟大家一樣，天天也在問博士為什么蒙古包要建成這種形狀。

博士神秘一笑，說道：這樣吧，今天我們就在這里安營扎寨，住下來慢慢了解。妮妮一聽要自己動手搭房子，特別興奮地說：好耶，我要住寬敞的大房子。博士說：好啊，你們先設計，我到旁邊部落去找點材料。

師：我們和小伙伴們一起設計吧！妮妮想要住最寬敞的房子，你能給她什么建議呢？

生5：肯定是圓柱體啊！

師：為什么？

生5：因為蒙古包都是圓柱體的。

師：如果從數學的角度來思考，為什么必須是圓柱體的蒙古包呢？

師：溫馨提示，大家可以分底面和側面兩個部分來分析。

生6：哦，我知道了。看底面，如果是周長一樣的長方形、正方形和圓形，那么圓形的面積最大。

師：認同他的觀點嗎？同意他的觀點的舉手……

可妮妮卻半信半疑，怎么辦？

師：其實在數學上，最具說服力的還是數據，這樣，我們來填表（見表1），用里面的數據說明你的觀點。

表1

學生完成表格，并說明觀點。

妮妮卻說：面積大又不能代表空間大！

生7：我們得算體積才知道。

師：體積怎么算？

生7：底面積×高。

師：好，現在我們就把這幾個長方形、正方形和圓形作為底面來圍，如果材料高3 米，它們的體積分別是多少？

學生獨立完成，并指明回答。

師：結合這些數據，你準備怎么說服妮妮？

生8：周長一定時，圓的面積最大；底面周長和高一定時，圓柱體的體積最大。

教師引導學生自主提出問題，并圍繞問題，跟隨故事情節，“逼”出圓柱體。用幫助故事人物的情境，迫使學生去計算探究“周長一定，圓形面積最大”“底面周長和高一定，圓柱體體積最大”。

（二）推理二：探究底面積和高一定，圓柱側面積最小。

片段三：

妮妮聽了大家的結論，說：好，12m2夠我們5 個人住了，我們就搭圓柱形。

波波不滿地說：你倒是寬敞了，需要的材料不就多了嗎？這個部落那么小，博士能找到的材料肯定不多。

妮妮委屈地說：難道圍成圓柱體需要的材料就最多嗎？

師：同學們，你們認為呢？

生……

生9：我覺得材料都一樣多。

生10：我覺得底面是正方形的用的材料少一點。

生11：哦，這就是剛才我們還沒討論的側面的問題。

師：是的。但，看樣子大家都不太確定。怎么辦？

生11：去算一算就知道了！

師：算什么？

生11：算側面積啊！

師：好難算啊！一定要算出側面積才能比出材料多少嗎？

……

師：側面積是怎么算的？

生11：底面周長×高。

師：對的，這里材料高度都一樣，那么我們就只需要算什么？

生（齊）：底面周長。

師：好，那我們分頭行動，分組去算長方形、正方形和圓形的周長吧！

小組合作學習（如圖2）。

圖2

學生匯報。

分組展示每種形狀的周長。

生12：r2=12÷3=4，r=2m，C=2×2×3=12m。

生13：12=1×12=2×6=3×4，①（1+12）×2=26m，②（2+6）×2=16m，③（3+4）×2=14m。

生14：12=a×a，①3×3=9m2，②4×4=16m2，③3.5×3.5=12.25m2，3.5×4=14m。

師：你為什么先去找 了32、42，最后確定3.52呢？

生14：我不知道哪個數的平方是12，但知道32比12 小，42比12 大，所以就取了3.52。

師：真棒，為你點贊，開平方是中學的內容，現在你們能推導出3.52，已經很棒了！

聽了大家的意見，波波嘀咕道：周長少，又不是材料少！

師：看來還是得算一算側面積。

全班一起計算側面積。

師：通過剛才兩次計算，我們來梳理一下發現，好說服波波。

生15：面積一定時，圓的周長最小；底面積和高一定時，圓柱體的側面積最小。

此處是本課的教學難點，也是重點，根據學生的認知基礎，他們是無法通過面積計算出正方形的邊長的，而且長方形的情況也有多種，于是我們將難度進行了三次分解：一是將三種形狀分給幾個組，每個組只計算一種情況；二是將直接計算側面積分解成先算底面周長，然后計算側面積；三是將長方形的多種情況確定在整數范圍，同時引導學生不直接計算正方形的邊長，而是用已經知道的平方數推導出近似值。分解的目的是讓學生在能力范圍內去自主探究出結論，而不是教師直接講解。

（三）推理三：類比推理生活中其他的圓柱形物體。

片段四：

小伙伴們正討論激烈，博士找到材料回來了，問：你們設計好了嗎？

學生告知了博士他們總結出的圓柱體的特征：空間大、用材少。

博士會心地笑了。

波波恍然大悟道：我知道，原來生活中的水管就是利用圓柱體這個特征設計的物品。（這樣的物品還有嗎？）

生16：水桶。

生17：筆筒。

博士滿意地點點頭，說道：其實不僅人類有這樣的智慧，植物也同樣有……看課件。（介紹植物的枝干、根莖）

通過計算、分析得到蒙古包主體搭建成圓柱體的緣由后，接著讓學生用遷移推理的方法去探究蒙古包圓錐形頂部的原理，也就水到渠成了。

（四）推理四：探究蒙古包圓錐形頂部的原理。

片段五：

師：接下來，博士就帶著小伙伴們動起手來，不一會就將蒙古包主體搭建好了。

天天又問道：頂部該怎么搭呢？有什么好的建議嗎？

同桌交流推理頂部構造的理由，并匯報。（不積雨雪、牢固）

通過對蒙古包外形特征的總結，讓學生感受數學知識在生活中的廣泛運用。而將圓柱體的特征延伸到生活中，目的在于讓學生知道生活中是如何運用這些特征的，通過尋找數學與生活的聯系，培養學生的應用意識。

推理全過程中，學生會計算正方形、長方形、圓形的周長、面積，正方體、長方體和圓柱的體積，并進行多次比較。在這一過程中，學生經歷了一次次的推理，進行了層次分明、目的明確的練習；巧妙地突破了本課的重難點，培養了推理能力，認識到現實生活中蘊藏著大量的數學信息，養成了應用意識。

三、拓寬觀察視野，提出延伸問題

問題是引發學生思考的根本，通過引導學生提出新的實際問題，既是讓知識走向深入，更是促使學生主動嘗試從數學的角度，運用所學知識和方法尋求解決問題的策略，同時也是養成學生應用意識的有效策略。

片段六：

聽完介紹，當大家唏噓不已時，萬事通也感嘆：這趟草原之行收獲可真不少！你有收獲嗎？

博士又問：那你們還有什么疑問嗎？

生（齊）：為什么我們這些地方的房子不修成圓柱形呢？

師：沒關系，我們的草原之行還沒有結束，帶著你的疑問我們下節課繼續旅程。

本節課中，教師從學生已有的知識經驗出發，精心組織教學內容，設計故事情節和豐富數學活動，讓學生在故事情節中提出猜想，經過一次又一次的推理去驗證自己的猜想，積累了數學活動經驗，養成了數學應用意識。