轉化思想在初中數學教學中的應用

文/陳銀珠

引 言

新課程改革對各個學科的教學都提出了較高的要求。數學作為一門貫穿小學、初中、高中乃至大學的重要學科，教師在教學過程中并非單純地為學生傳授知識與技能，而是應該善于應用思想方法，培養學生的思維能力[1]。轉化思想是一種將待解決和未解決的問題通過轉化、歸納、總結成易解決和已解決的問題，達到順利且高效解決問題的目的。初中生抽象思維和邏輯思維能力較為薄弱，教師應用轉化思想能夠幫助學生將陌生復雜的問題轉化為簡單熟悉的解題形式，提高學習和解題的效率，實現預期的課程目標。

一、化繁為簡，激發學習興趣

教師在為學生傳授數學知識的同時，需要為學生傳授一些技巧，減輕學生的學習壓力，提升學生的數學學習信心。目前大部分初中生在學習中能熟練掌握數學基礎知識，卻在運用知識分析和解決問題時頻繁出現問題。究其原因，多半是學生未能真正掌握轉化的思想方法[2]。

對此，教師在日常教學過程中應積極引導學生運用轉化思想，讓學生在解決問題時能夠做到化繁為簡，提高解題效率，增強思維能力。與此同時，教師還要善于激發學生探究數學知識的興趣，全面調動學生參與數學學習的積極性和主動性。

例如，若x1和x2是方程x2+x-1=0 的兩個根，求出的值。由題意可知，雖然題干直接給出了x1和x2是方程x2+x-1=0 的兩個根這一條件，卻無法直接求出x1與x2的值，自然也無法得出x21+x22的值。教師在教學過程中可引導學生運用完全平方公式，對x21+x22進行變形。這樣學生不但能了解根與系數的關系，而且鞏固了完全平方公式的知識。

又如，已知x2+x-1=0，求出x3+2x2+2009 的值。題干并未直接給出x的值，我們可將原式變形為x(x2+x-1)+(x2+x-1)+1+2009，從而得出答案。

上述類型的問題通常無法通過直接求解而得出答案。教師可以引導學生在分析問題和解決問題時巧妙地運用轉化思想，化未知為已知，提高解題的效率和學習數學的信心。

二、以舊引新，深化知識理解

眾所周知，數學知識有從特殊到一般的規律。換言之，就是通過分析特殊情況去挖掘知識涵蓋的普遍規律。初中數學教師在教學過程中往往會慣性地運用特殊的題目，引領學生進行分析，并歸納總結普遍的特征。然而，縱觀初中生的學習現狀，大部分學生在分析和解決數學問題時，無法較好地應用從特殊到一般的轉化思想，甚至不知如何轉變，在解題過程中受阻，長此以往會降低探究數學知識的興趣。

對此，初中數學教師在教學過程中應主動為學生傳授轉化的思想方法，引領學生經歷從特殊到一般，再從一般到特殊這一過程，使學生在強化思維能力的同時高效解決問題。以勾股定理為例，教師可以分別從以下方面展開教學。

首先，創設情境，提出問題：“此前我們已學過三角形的相關知識。已知一個直角三角形兩條直角邊為6和8，請問該如何知道直角三角形斜邊的長度？”學生表示可運用畫圖測量第三邊的長度。教師回應道：“這確實是一種方式，然而這種方式的弊端在于畫圖與測量會存在誤差，因而無法準確地解決上述問題。請問還有其他方式可得到斜邊長度嗎？”教師在上述教學過程中，從學生已有的知識經驗著手，有效地激發學生探究知識的興趣，成功地引出新知。

其次，實踐探索：“我們可以運用哪種方式來探求直角三角形三邊的數量關系？”學生相互討論，課堂氣氛極其熱烈，但未討論出結果。教師繼續引導：“誰知道以前在學習時運用哪些公式可求出圖形的面積？”有的學生指出單項式乘多項式，也有的學生指出多項式乘多項式。教師提示：“是否還有平方差公式與完全平方公式？”學生回答：“是的”。隨即，教師運用PPT 為學生展示圖1 和圖2 所示圖形，要求學生結合圖形分別解釋平方差及完全平方式公式表示的含義。

圖1

圖2

對于圖1，左圖陰影部分的面積為a2-b2，右圖陰影部分的面積為(a-b)(a+b)，兩個圖陰影部分的面積大小相等，即，a2-b2=(a-b)(a+b)。圖2 中，大正方形的面積可表示為(a+b)2，等于內部兩個小正方形和兩個小長方形的面積，即(a+b)2=a2+2ab+b2。

上述的教學方式是先帶領學生回顧舊知，提升學生解決問題的信心。該題目有一定的難度，因此教師可以給學生提供解決問題的思路，為其后續的自主探究做好鋪墊。

最后，教師可以讓每位學生在紙上畫一個等腰直角三角形，并以該直角三角形的各邊為一邊向外分別作三個正方形，在計算三個正方形面積的同時，讓學生猜想三個正方形的面積與圍成直角三角形三條邊間的數量關系（如圖3 所示）。

圖3

由圖3 可直觀地看到，兩個小正方形陰影部分的面積剛好等于大正方形陰影部分的面積，分別對應直角三角形三邊的平方。

在上述教學過程中，教師讓學生畫出多個特殊的直角三角形，并借助面積法猜想直角三角形三邊關系，讓學生經歷了從特殊到一般的思維過程。學生根據教材自主學習的提示，對圖形進行“割補”，將無法利用網格線直接計算面積的圖形轉化為可直接計算面積的圖形，再經歷計算網格中圖形的面積（特殊）至無網格圖形的面積（一般）這一過程，成功地驗證了猜想。

三、分解轉化，培養思維能力

初中數學教師在教學過程中應改變以往陳舊的觀念，積極地運用轉化思想，幫助學生高效地理解和記憶知識，提高解題能力。分解轉化是轉化思想方法之一，所謂分解轉化其實就是一種將一個難度較大的問題分解為多個簡單小問題的方法。教師在具體的教學中可適當設置一些問題障礙，強化學生運用轉化思想的意識。

例如，某個商場計劃購買電梯，從兩個電梯供貨商了解，相同型號的電梯報價為6000 元且兩個供貨商有著不同的優惠力度。其中，A 廠商提出的優惠條件為：首臺電梯按照原價收費，剩余電梯收取原價的95%；B 廠商提供的優惠條件為：每個電梯收取原價的95%。請問何種情況下在A 廠商購買電梯更為優惠？

學生要想解決上述這一問題就可運用轉化思想，即先列出A、B 兩個供貨商的收費價格Y與購買電梯數量x之間的關系式，最后滿足“A 廠商價格低于B 廠商價格”這個不等關系，從而得出答案。通過上述的教學案例可知，學生在解決綜合性較強的應用題時可以先將問題化解為多個小問題，通過解答小問題實現深入研究，進而成功解題。

四、數形轉化，鍛煉解題能力

數與形之間的轉化是初中數學中應用較為廣泛的轉化，包括數向形的轉化和形向數的轉化兩類。其中，由數向形轉化可使問題變得更為直觀，降低理解難度。而形向數的轉化主要借助坐標系實現，可讓學生更深入地研究形之間的關系。在教學實踐中，教師要做好相關例題講解，提高學生運用數形轉化解題的意識。例如，在講解反比例函數知識時，教師可聯系學生所學的一次函數知識，設計如下問題。

在解答該題時，學生需要根據題意畫出對應圖形，將數之間的關系轉化為形之間的關系，展示出相關坐標之間的內在聯系，通過計算得出答案，解題過程如下。

根據題意畫出如圖4 所示圖形，過點A、點B均在x軸作垂線，垂足分別為A1、B1。過點C向BB1作垂線，垂足為C1。

圖4

因BC所在直線由x向上平移4 個單位得到，因此，對應直線且和直線平行。由平行線的性質可知∠BCC1=∠AOA1，則直角△BCC1∽△AOA1，由OA=3BC可得設則a=3b，則A點坐標為因A、B兩點均在曲線上，則解得b=1 或0（舍去），則，則選擇D 項。顯然，學生通過數與形的轉化，借助三角形的相似順利地找到了坐標之間的關系，達到了化抽象為具體，提高解題效率的目的。

五、動靜轉化，提升解題技巧

動點是初中數學非常重要的一類題型，因點的具體坐標不確定，很多學生遇到相關習題不知如何解答。實際上，運用轉化思想，實現動靜轉化，可迅速找到解題的切入點，達到事半功倍的效果。例如，在二次函數教學時，教師可為學生講解如下例題。

圖5

該題屬于動點問題，解題的關鍵在于化動為靜。已知拋物線方程為可知其關于y軸對稱，則原點O為AB的中點，AO=OB。同時，Q為線段PA的中點，因此，連接BP，則OQ為△ABP的中位線，即要求線段OQ的最大值，只需求BP的最大值。顯然，當BP的連線過點C，即過圓心時BP的值最大，因此只需求出BC兩點的長度加上圓的半徑。令解得x1=4，x2=-4，點B的坐標為(4，0)，則而圓C的半徑為2，因此BP=5+2=7，則OQ的最大值為，選擇C 項。該題看似無從下手，但只要認真分析給出的圖形，回顧三角形中位線的性質，化動為靜，通過求解兩點間距離，就能順利解題。

結 語

總之，在初中數學中應用轉化思想符合新課程標準提出的“發展學生思維能力和提升綜合水平”的目標，更符合初中數學教育大綱的要求。與此同時，該思維方式大多以辯證的方式呈現，能夠激發學生的數學學習興趣，極大地提高數學教學的效率和質量，為學生更高層次的數學學習奠定堅實的基礎。