諧波減速器加速壽命試驗方法研究

王 巧 杜雪松 宋朝省 朱才朝 孫健銓 廖德林

1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，4000442.中國科學院深圳先進技術研究院，深圳，3780553.深圳市大族精密傳動科技有限公司，深圳，378055

0 引言

諧波減速器是一種結構緊湊、傳動比大、質量小、回差小、傳動精度高的高性能減速器[1]，廣泛應用于工業機器人、精密光學設備、醫療器械以及航空航天領域[2]。目前諧波減速器的設計壽命普遍要求大于8000h，當生產廠家在評估或預測產品正常使用壽命指標時，若通過全壽命試驗，試驗周期長、費用代價高[3]。加速壽命試驗(accelerate life test，ALT)則規避了以上的缺點，它是一種高效試驗技術，在不改變產品性能退化機理的前提下，通過對產品加載高于正常應力水平的負載所獲得的數據進行統計學分析，評估、預測產品正常使用壽命指標和加速壽命試驗相關壽命指標。通過加速壽命試驗可以在遠遠小于產品真實工作壽命內提前獲得該產品壽命過程數據，因此，將諧波減速器與加速壽命試驗結合，可有效地縮短試驗時間，降低試驗成本，對諧波減速器進行有效的壽命評估。

針對加速壽命試驗，YURKOWSKY等[4]于1967年首次給出了加速壽命試驗的統一定義，此后，國內外相關學者對此進行了大量的研究。加速壽命試驗主要加載方式有恒定應力加載、步進應力加載和序進應力加載[5]。GOUNO等[6]在步進應力加速壽命試驗中，通過確定應力變化時間或固定失效次數，逐步確定應力變化準則，從而逐步提高應力水平，提高試驗效率；WATKINS等[7]通過對定數截尾加速壽命試驗數據的分析得到，對于恒定應力加載的加速壽命試驗，多應力水平試驗比單應力水平能更好地估計模型的參數和相關系數；潘剛等[8]使用Monte-Carlo仿真法對步降加速壽命試驗進行優化設計，有效地提高了試驗效率，增加了試驗的有效性；HASSAN等[9]提出了一種自適應的Ⅱ型漸進混合截尾技術，可以提高統計效率、降低試驗時間和節省成本。NOOSHIN[10]提出了一種漸進式定時截尾條件下具有兩個應力變量的廣義指數(GE)分布的階梯應力加速壽命試驗(SSALT)的優化設計，通過廣義指數分布的尺度參數與應力之間的對數線性關系，利用百分位數壽命的漸近方差(AV)最小化，得到最優的試驗方案。徐曉嶺等[11]針對定數截尾步進應力加速試驗，使用逆矩估計和極大似然法得到加速模型未知參數點估計與區間估計；MOHIE等[12]通過對不同參數估計法的比較，發現應根據樣本數據的特點選擇最合適的參數估計法，以此提高數據分析的準確度。龍兵等[13]針對定時截尾的弊端，提出了定時區間加速壽命試驗，提高了樣本的估計精度；MAHTO等[14]研究了遞進應力加速壽命試驗中Burr X分布的參數估計，假定應力是時間的線性增長函數，結合逆冪律模型和累積曝光模型得到參數估計值，其結果優于經典估計法。

加速壽命試驗廣泛地應用于航空航天、機械設備、電子器件、軍事裝備等諸多領域[15-19]。針對諧波減速器，張弦等[20]基于動態接觸干涉的諧波減速器整機瞬態動力學有限元分析模型，提出了一種諧波減速器時變可靠度評估方法，降低了諧波減速器壽命預測誤差。李俊陽等[21]研究了混合潤滑狀態下諧波減速器柔輪內壁與柔輪軸承外圈之間黏著磨損失效加速壽命模型，并通過壽命試驗進行驗證。崔俊寬[22]研究了諧波減速器核心部件柔性軸承的壽命，并搭建了壽命檢測試驗平臺，對柔性軸承的壽命做了系統性的研究。王靜等[23]針對現有諧波減速器加速壽命試驗效率低的問題，提出了一種雙應力步降加速壽命試驗方法，提高了試驗效率，但文中沒有給出系統的試驗方案，而且樣機數過少，影響威布爾分布參數估計的準確性。

綜上，目前尚無針對諧波減速器加速壽命試驗較為系統的研究，因此，本文根據諧波減速器的失效特性，提出了一種加速壽命試驗方案。以減速器中最薄弱零件柔輪為失效對象，給出了確定失效判據、加速應力范圍、壽命模型的方法；針對小樣本試驗數據的處理，通過采用極大似然法和馬爾科夫蒙特卡洛法得到了更為準確的威布爾分布參數估計，并通過試驗進行驗證。

1 諧波減速器加速壽命試驗方案

擬定諧波減速器加速壽命試驗方案的流程如圖1所示。關鍵步驟為確定失效判定標準、加速應力范圍、加速壽命模型等因素。

圖1 加速壽命試驗方案設計Fig.1 Accelerated life test scheme design process

1.1 失效判據

在加速壽命試驗中，產品失效主要包括以下關系映射：應力→失效機理→失效模式，如圖2所示，這種映射關系不是單純的直線關系，應力2可以同時導致失效機理2和失效機理H；同樣，失效機理2可以同時引發失效模式1和失效模式M。因此，在加速壽命試驗中，在不改變失效機理的前提下，通過提高產品的敏感應力來加快失效模式的發生。在實際工作中，通常諧波減速器柔輪部件在循環應力的作用下率先發生失效[24]，從而導致整個諧波減速器的失效，本節根據諧波減速器這一失效特性，確定其加速疲勞實驗的失效判據。

圖2 加速壽命試驗的失效機理和失效模式Fig.2 Failure mechanism and failure mode of accelerated life test

傳統機械產品的失效模式主要有兩種，即突發型失效和退化型失效[25]。現有研究表明，諧波減速器的主要失效形式為柔輪的疲勞斷裂和柔輪過度磨損導致的傳動精度衰減[26]。因此本文的實驗方案將柔輪的疲勞斷裂和整機的傳動誤差作為加速疲勞實驗的失效判定標準，當諧波減速器以加速壽命試驗要求的加速載荷和轉速開始試驗后，定期采集樣機的傳動誤差，在規定試驗時間內，當傳動誤差超過設計值或柔輪斷裂即判定為失效。

1.2 設定加速應力

加速壽命試驗加速性判定的前提是不引入新的失效機理，即試驗樣件在加速應力水平和設計應力水平下應具有相同的失效機理，所以需要保證試驗的加速應力水平不超出諧波減速器正常失效過程的承受極限，因此，以柔輪的承受應力極限作為加速壽命試驗的加速應力水平的極限。

本文試驗的諧波減速器柔輪材料為40CrNiMoA，材料的屈服強度σbs=1018 MPa，疲勞極限σ-1=700 MPa，柔輪的疲勞強度極限為

(1)

式中，KσD為零件疲勞強度降低系數；Kσ為疲勞缺口系數；ε為尺寸系數；β1為表面加工系數。

對于樣機，Kσ取0.0640，ε取0.9，β1取1，計算得柔輪疲勞強度極限為657.9 MPa，因此，選擇的加速壽命試驗加速應力水平應使柔輪Mises應力小于或等于657.9 MPa。該諧波減速器的額定平均轉矩為33 N·m，根據工程經驗，初步選取69 N·m的加速應力水平，可通過有限元分析進行驗算。

諧波減速器有限元模型如圖3所示，波發生器為輸入端。對波發生器凸輪、柔輪和剛輪均施加固定邊界條件，波發生器和柔輪采用過盈配合，柔性軸承滾珠與軸承內環外圈為綁定約束；設置凸輪與柔性軸承內環內圈、柔性軸承滾珠與軸承外環內圈、柔性軸承外圈與柔輪內壁、柔輪與剛輪齒面為面接觸，軸承滾珠與滾道的摩擦因數為0.02，其余接觸副摩擦因數為0.15。

圖3 諧波減速器有限元模型Fig.3 Finite element model of harmonic reduce

計算時共4個步驟：①模擬裝配過程，通過凸輪迫使柔輪變形來消除柔輪與剛輪之間的初始干涉；②建立柔輪與剛輪間的輪齒接觸；③在柔輪上施加負載力矩；④釋放波發生器繞軸線旋轉的約束，其余邊界條件不變。

通過有限元分析，得到柔輪的最大Mises應力為648.824 MPa，位于柔輪齒根處(圖4)，符合工程實際。同時可確定轉矩69 N·m為最大加速應力水平。

圖4 柔輪Mises應力分布圖Fig.4 Mises stress distribution of flexsplin

1.3 壽命模型

目前，加速壽命模型主要有逆冪律(inverse power law，IPL)模型、多項式加速模型、阿倫尼斯(Arrhenius)模型等[27]。逆冪律模型適用于磨損、疲勞等失效模式；阿倫尼斯模型適用于高溫使產品(如絕緣材料、電子元器件等)內部加快化學反應的失效模式；多項式加速模型適用于應力與壽命特征量不成線性關系的情況。由于柔輪的磨損是導致諧波減速器精度衰減及疲勞斷裂的主要因素，因此本文采用逆冪律模型表示諧波減速器的壽命。

逆冪律模型表示為

ξ=AS-e

(2)

式中，ξ為諧波減速器在加速應力S下的壽命特征量(如中位壽命、p分位可靠壽命等)；A、e為與失效模式、加速試驗類型等因素相關的待定常數。

對式(2)兩邊取對數，可得到逆冪律線性化模型：

lnξ=lnA-elnS

(3)

諧波減速器加速壽命試驗中的加速因子(acceleration factor，AF)可反映加速壽命試驗加速應力水平對其失效作用的加速等級，同時也反映加速壽命試驗中的諧波減速器特征壽命與實際工況下的特征壽命之間的折算規律。

當諧波減速器在應力水平Sa與應力水平Sb下，給定可靠度R，設置信水平γ的可靠壽命單側置信下限分別為tRLa和tRLb，加速因子可按下式計算：

(4)

其中tRLa、tRLb由下式計算：

(5)

對于式(3)中的待定參數e，可用下式計算：

(6)

待定參數A可聯立式(3)和式(6)得到，根據式(4)和式(6)，可以得到加速應力水平Sa對正常應力水平S0的加速因子為

(7)

1.4 數據處理模型

常規加速壽命試驗處理實驗數據往往只采用一種方法，如最小二乘法、極大似然法等，這在小樣本條件下可能導致威布爾參數估計結果不夠準確。因此，本文結合極大似然法與馬爾可夫蒙特卡羅法(Markov chain Monte Carlo，MCMC)來解決小樣本數量過少導致估計不準確的問題。

(8)

式中，m為形狀參數(m>0)；t為諧波減速器實際壽命；η為諧波減速器特征壽命(η>0)。

針對諧波減速器定時截尾加速壽命試驗時，設參與試驗的樣機共有n個，其試驗結果為：在時間段[0，T]內有k個諧波減速器失效，其壽命依次為tl(1)

下面描述極大似然函數的構建過程。在威布爾分布下，假設一個產品在時間[ti，ti+dti]內失效的概率為f(ti)dti，i=1，2…，k，則可以將定時截尾試驗數據中的完全壽命數據集tl和截尾壽命數據集tc，通過似然函數描述如下：

(9)

將完全壽命數據tlj(j=1，2，…，k)和截尾壽命數據tcr(r=1，2，…，n-k)的壽命記為ti(i=1，2，…，n)，對式(9)進行化簡，再對m、η求偏導可得

(10)

式(10)為超越方程，可通過牛頓迭代法進行求解，選取最小二乘法求解迭代初值。

將式(8)線性簡化可得

(11)

式(11)可表示為線性函數y=bx+a。通過平均秩次法，累計失效概率可由失效數據表示，即

(12)

式中，nS為在應力水平S下的樣本總數；j*為試驗樣本失效時間按從小到大排序的順序號。

聯立式(11)和式(12)可得

(13)

結合式(11)與最小二乘法所計算的迭代初值為

(14)

將式(14)的計算結果結合牛頓迭代法即可得到較為精確的m和η的估計值，采用MCMC進行樣本數為1 000 000數據模擬，增大了樣本數，使估計值更加準確，最終得到威布爾分布的參數估計值，整個數據處理的流程如圖5所示。

圖5 數據處理流程Fig.5 Data processing flow

2 加速壽命試驗

諧波減速器的加速壽命試驗以恒加應力試驗法進行，其試驗設備如圖6所示。

圖6 試驗平臺Fig.6 Test platform

本次試驗的諧波減速器額定轉矩為33 N·m。根據上文的疲勞極限初算諧波減速器的最大加速應力水平為69 N·m。本試驗選取兩個加速應力水平，分別為55 N·m、69 N·m，每應力水平有5臺樣機進行加速試驗，共10臺樣機同時進行試驗。由于試驗過程中配重塊的重力矩一直在發生變化，導致諧波減速器的轉矩不恒定，根據下式可以算出諧波減速器的平均轉矩：

Tav=

(15)

以此作為負載輸入，額定工況和兩個應力水平的平均轉矩與峰值力矩如表1所示。

表1 多應力水平下平均轉矩與峰值轉矩

樣機試驗過程中，由于齒面磨損造成其傳動精度不斷衰減，且試驗后期，衰減速度不斷加快，故平均每200 h將樣機置于傳動精度檢測平臺(圖7)檢測其傳動誤差，當樣機的傳動誤差超過42 rad·s或柔輪突然斷裂時即視為該樣機發生失效，試驗一直持續到方案設計的定時截尾時間，期間要一直記錄失效的樣機數，試驗結果如表2所示。試驗中失效諧波減速器的柔輪如圖8所示。

圖7 傳動精度檢測平臺Fig.7 Transmission accuracy testing platform

表2 加速應力下樣機失效時間

(a)柔輪斷裂失效 (b)柔輪磨損失效圖8 樣機柔輪的失效Fig.8 Prototype flexspline failure

將表2的數據按照1.4節所述方法進行數據處理，求得威布爾分布參數估計值如表3所示。

表3 威布爾分布參數估計值

參數估計過程中兩加速應力的MCMC抽樣均服從威布爾分布，如圖9所示，其中橫坐標為威布爾分布形狀參數m的抽樣取值，縱坐標為形狀參數m取值區間的抽樣個數。

(a)S1應力水平下的MCMC抽樣

根據表3的數據，結合式(13)驗證不同加速應力下的失效機理是否發生改變，依據最小二乘法原理進行直線擬合，結果如圖10所示。由圖10可知，加速應力S1和S2作用下的擬合曲線的斜率趨勢一致，表明諧波減速器在加速應力作用下，失效機理一致且未發生失效機理的改變，符合加速應力試驗的加速性判定。

圖10 威布爾分布參數估計值擬合曲線Fig.10 Fitting curve of estimated parameters of Weibull distribution

由表3可知，m1=2.4625，m2=2.4113，所以形狀參數m的估計值為

tRL1為351.89 h，tRL2為732.27 h，因此，加速應力水平S1對應力水平S0的加速系數K(R10)為5.2210，加速應力水平S2對應力水平S0的加速系數K(R20)為10.8438。

由式(6)可得待定參數e=3.2316，將表1、表3代入式(3)可得A=1.2425×109，所以加速壽命模型為

ξ=2.3245×109S-3.2316

基準載荷S0下的特征壽命為

樣機的可靠度表達式為

可靠度曲線如圖11所示。

圖11 樣機可靠度曲線Fig.11 Reliability curve of prototype

該諧波減速器的基本額定壽命為8000h，此時的可靠度為81%，比中位壽命的評價標準高出62%。

由此看出本文的試驗方案有效地評估了諧波減速器的壽命指標，提高了壽命評估準確性。

3 結語

本文基于加速壽命試驗理論，結合諧波減速器的失效特性，提出了一種諧波減速器加速壽命試驗方案。在該實驗方案中，以柔輪的疲勞斷裂和整機的傳動誤差作為失效判據；通過柔輪最大受載應力確定加速應力水平；以逆冪律模型作為壽命模型；采用極大似g然法結合馬爾可夫蒙特卡洛法進行實驗數據處理。通過樣機的實驗測試，表明該方案提高了諧波減速器基本額定壽命可靠度評價標準，比中位壽命的評價標準高出62%，提高了壽命評估的準確性。