作業設計：提升線上教學質量的有效抓手*

范世祥 (江蘇省太倉高級中學 215411)

2022年上半年，鑒于嚴峻復雜的新冠疫情防控形勢，我市復學復課工作按下“暫停鍵”．因為有了2020年線上教學的經驗積累，本次線上教學組織有序，師生在技術上均能熟練操作，但對線上教學的積極探索、創新、實踐從未停止．聚焦從“新鮮感”向“新常態”轉變，從“教師中心”向“學生中心”轉變，從滿堂灌的“單聲道”向互動式的“雙聲道”轉變，從“教學設計”向“作業設計”轉變，一線教師一直在實踐中思考．本文以一節高二數學導數復習課為例，就如何優化作業設計、提升線上教學質量，談談筆者的思考，與大家交流．

1 瞻前顧后的昨天作業

作業1 (1)求曲線f(x)=ex在x=0處的切線方程，并作出相應的圖象；

(2)求曲線f(x)=lnx在x=1處的切線方程，并作出相應的圖象；

(3)求曲線f(x)=sinx在x=0處的切線方程，并作出相應的圖象；

(4)過原點作f(x)=ex的切線，求切線方程，并作出相應的圖象；

(5)過原點作f(x)=lnx的切線，求切線方程，并作出相應的圖象．

作業2 給定函數f(x)=ex-e-x．

(1)請研究該函數的性質與圖象；

(2)求該函數圖象在x=0處的切線方程．

(1)請研究該函數的性質與圖象；

(2)求該函數圖象在x=0處的切線方程．

設計意圖基于線上教學的特殊性，我們在作業布置上盡可能少而精，以原創和改編題為主，問題設計更具探究性，讓不同的學生可以有自由發揮的空間．本節課是高二導數基礎知識教學結束后安排的第一節導數復習課，此項作業設計的教學目標是：一方面鞏固前面所學基礎知識和基本技能；另一方面，通過發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，從中積累基本活動經驗，感悟導數應用的基本思想，提升綜合運用的能力．作業的設計更加關注大單元觀念，本章研究的數學對象是函數，所以上述作業設計中既有常見的基本初等函數，又有略微復雜的函數；研究的內容包括高一階段學過的函數的性質與圖象以及高二階段導數的幾何意義；研究方法在高一函數方法的基礎上還增加了導數作為工具；研究路徑體現了由數到形、再由形到數的思考歷程，深刻體現數形結合的思想方法．所以該項作業就是注重讓學生經歷以“一般觀念”為引導發現規律、獲得猜想，并通過數學的推理、論證來證明結論的過程，以提升邏輯推理、數學運算等素養．

2 融會貫通的今天課堂

·作業1講評

借助常見的基本初等函數，復習回顧切線的計算方法，引導學生作出函數圖象，進而發現曲線與切線的位置關系，再由形到數，提煉出不等關系(如ex≥1+x).接著帶領學生分析問題，從圖象直觀到代數論證，引導學生按照波利亞的“解題表”進行問題分析與解決．

·作業2講評

第一環節：根據高一所學的基礎知識不難發現該函數是單調遞增的奇函數，可以作出大致圖象，同時求出曲線在x=0處的切線方程為y=2x，進一步根據圖形提煉出以下兩個不等關系：(1)當x>0時，ex-e-x>2x；(2)當x<0時，ex-e-x<2x．

第二環節：對上述兩個不等關系進行嚴格的代數論證，具體方法同作業1．

·作業3講評

教是為了不教，當帶領學生評講了作業2之后，就可以放手讓學生自主探究作業3.這時他們的上課興趣自然提升很多，而且也主動參與進來，整個作業3的講評經歷了“學生先行——交流在中——教師總結”的過程，學生對自己收獲的這些不等式(表1)倍感親切，既體驗了成功的樂趣，又深度理解了此類指數與對數型的不等關系．

表1

設計意圖學生做作業基本都是“就題寫題”，這三道作業題的解答并不困難，教師“就湯下面”的評析拓展才是本節課的重點，尤其是帶領學生一起研究這類問題，獲取研究這類問題的一般套路．研究的內容、過程和方法是一脈相承的，正所謂“研究的函數在變，研究套路不變，思想方法不變”．本節課我們以“研究一個數學對象的基本套路”為指導設計和展開課堂教學，促使學生通過一個個數學對象的研究，體悟具有普適性的數學思想和方法，逐步掌握解決數學問題的那個“相似的方法”，進而逐步形成“數學的思維方式”．在這樣的過程中，數學學科核心素養就潛移默化、潤物無聲地得到落實了．

3 意猶未盡的今天作業

作業(2) 請從作業(1)中任選一個函數，模仿本節課的研究路徑，從函數的圖象、性質、切線、不等式角度對其進行研究，寫出一份研究的微報告.

思考(1) 當x>0時，不等式ex-e-x-ax>0恒成立，求a的取值范圍；

思考(2) 若函數f(x)=ex-e-x-ax在(0,+∞)上存在零點，求a的取值范圍．

設計意圖作業(1)是從基本初等函數出發，通過乘法和除法構造出形式各異的函數，讓學生畫函數圖象是函數學習的重要環節；作業(2)是鞏固今天的教學內容，開放的試題便于不同層次的學生有更好的自主探究空間.思考題是將作業2講評中不等式的系數2用參數a隱藏，設計出恒成立問題和零點問題，自然過渡到后續的導數復習內容，引發學生課后的自主探究學習，實現環環相扣的教學流程．

4 作業設計的實踐思考

4.1 注重知識融合

作業即教學鞏固，作業的功能之一就是鞏固與評價學生當堂所學內容的掌握程度，所以作業設計中每一道題都應該有明確的指向，作業題應該與本節課的知識點或方法技能有對應關系，盡量做到不重復考查，以此減輕學生的作業負擔．另外，設計的內容盡可能要“瞻前顧后”，設計的作業可以自然過渡到下一課時，如學習二項分布之后，為了更好地銜接下一節課時“超幾何分布”，可以設計如下作業：

示例1已知10件產品中有2件次品，分別選擇下列抽取方式進行試驗．設抽取的3件產品中次品數為X，求隨機變量X的分布列．

方式(1)：逐個有放回地抽取3件產品；

方式(2)：逐個不放回地抽取3件產品；

方式(3)：一次性抽取3件產品．

通過設計三種不同的抽取方式，對比深化理解概率分布類型，方式(1)是二項分布，方式(2)和方式(3)的分布列應該是相同的，方式(3)的另一個意圖是自然過渡到下一課時“超幾何分布”，實現作業與新授課的無縫銜接，作業即學習延伸．

類似這樣的案例有很多．再如，在講授“獨立性檢驗”之前可以布置下面這道代數式的恒等變形題作為課前作業，以便為課堂中推導卡方公式做好鋪墊．

4.2 豐富作業形式

為了保護學生的視力，線上教學時間縮短，這就需要將更多的教學內容通過作業的形式延伸至課外.提升線上教學質量的重要一環就是提升作業設計的質量，而此與教師命制試題的能力有關，這就需要教師花心思設計高質量的試題，試題的形式盡可能多樣，盡可能改編或原創，一方面提高學生課后做題的興趣，另一方面原創或改編的試題避免學生使用軟件搜題．

示例3寫出一個同時具有下列性質①②③的函數f(x)=．

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②當x∈(0, +∞)時，f′(x)>0；③f′(x)是奇函數．

示例4一個盒子中放有大小相同的4個黃球和2個白球，其中4個黃球標號為1～4，2個白球標號為5和6．

規則1：每次從盒中摸出一球，記下號碼后放回，共摸球兩次，根據所得兩數和的情況進行設獎．

規則2：每次從盒中摸出一球，記下顏色后放回，共摸球兩次，根據所得白球數的情況進行設獎．

規則3：若摸出1個黃球得1分，摸出1個白球得3分，從盒中任意摸出三個球，根據得分和的情況進行設獎．

(1)探求上述三個規則中相關隨機變量的分布列，并給出設獎方案；

(2)自主設計新的摸球游戲規則，并求相關隨機變量的分布列，小組交流．

示例5我們知道，排列組合的內容都源自生活，對于排列組合數的相關性質，若能尋根于生活背景，構造一個實際問題模型加以解釋，將有助于我們對問題的深入理解．先閱讀下面組合數性質(1)的生活化解釋，然后嘗試給出(2)(3)(4)的生活化解釋，期待同學們的精彩故事．

生活化解釋 原式左端可看成一個班有m個同學，從中選出n個同學組成興趣小組，在選出的n個同學中，p個同學參加數學興趣小組，余下的n-p個同學參加物理興趣小組的選法數．原式右端可看成直接在m個同學中選出p個同學參加數學興趣小組，在余下的m-p個同學中選出n-p個同學參加物理興趣小組的選法數．顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立．

以上三個示例中作業題命制的形式多樣，有舉例題、設計題，還有講故事題.注重作業設計是提升教師命題能力的有效途徑，而且作業的設計不必拘泥于考試的命題，可以更加自由、開放，給了我們一線教師更為廣闊的發揮空間．命制一系列精彩的、有價值的、質量高的作業應是我們每位教師的日常追求．

作業設計即教研提升.試題命制是一次由內而外的工作，編題的過程不僅僅是解題的過程，而且是將解題引向深入的研究過程．因此，編擬數學試題需要深厚的數學功底和良好的思維品質，這就需要教師不斷地學習、不斷地提升自身的數學素養，在平時多注意身邊的各種事物和細節，養成隨時記錄的習慣和批判的思維意識．

4.3 善用激勵評價

如果說做作業是學生的責任，那么設計、批改、分析和講評作業就是教師的義務，再好的作業設計若離開了及時有效的評價其價值將會大打折扣．一方面，當我們帶著明晰的設計意圖批改作業時，就會發現學生的解答是否與我們的預設一致、是否出現我們意想不到的答案；鞏固性作業反饋了學生對我們所學內容的掌握程度，拓展性作業反饋了學生對后續內容的了解程度.據此，在分析和講評作業時就會更具針對性．另一方面，為了在進行作業講評的同時開展新課教學，我們在設計作業時盡可能要有“瞻前顧后”的作業，以便我們在講評作業過程中無縫銜接到新課教學，達到潤物細無聲的境界．最后，還要做好典型作業解答的收集與展示，既有典型錯誤的友情提醒，又有精彩想法的思維碰撞，這樣方能激勵每位學生認真對待自己的作業、認真學習別人的作業，以作業貫穿整個學習過程，實現真正意義上的自主學習．

5 結束語

新冠肺炎疫情的爆發，沖擊了學校教育的傳統教學方式，提升了在線教育教學的責任與功能，并促使人們重新認識“作業設計”面臨的新需求、新要求和新思考．當前，疫情防控進入常態化階段，居家學習期間形成的有關作業設計的良好經驗，值得在后疫情時期繼續完善提升，并以此推動構建作業管理的長效機制，形成“教學—作業—評價”的系統化設計．