一道高考解析幾何題引發(fā)的頭腦風(fēng)暴
——探究圓錐曲線中定點、定值之間的微妙關(guān)系*

胡蓓蓓 (江蘇省無錫市市北高級中學(xué) 214000)

今年新高考全國I卷的解析幾何大題讓人頗感熟悉，筆者在二輪復(fù)習(xí)備考中，就曾以2020年新高考全國I卷的解幾壓軸題為引，在課堂上借助思維導(dǎo)圖，組織了一場關(guān)于“探究圓錐曲線中定點、定值之間微妙關(guān)系”的頭腦風(fēng)暴，帶領(lǐng)學(xué)生大膽猜想、驗證，師生共同經(jīng)歷定點、定值問題的“前世今生”，從而深刻理解了這類經(jīng)典問題的來龍去脈．

1 問題提出

綜觀近年的高考試卷，圓錐曲線與方程的考點變化不大，考查學(xué)生的運算能力，同時需要學(xué)生在較短時間內(nèi)選擇合理的路徑，快速、準確解題．高三復(fù)習(xí)時要強化這方面能力的訓(xùn)練,如果學(xué)生能夠?qū)馕鰩缀蔚牡湫徒Y(jié)論有所了解，常能快速捕捉到解題關(guān)鍵，找到解題思路，順利攻破壓軸題．

(1)求橢圓C的方程；

(2)點M,N在橢圓C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足，證明：存在定點Q，使得DQ為定值．

作為高考考場上的壓軸題，如何最完美地完成這道題目是我們平時學(xué)習(xí)過程中需要共同探尋的，而如何完美地給學(xué)生呈現(xiàn)這道高質(zhì)量的高考壓軸題，讓他們能夠更好地理解題意，以一題通百解，則正是我們?yōu)槿藥熣邞?yīng)該去思考的．

2 問題分析

引例已知A,B為拋物線y2=4x上異于頂點的兩動點，且滿足以AB為直徑的圓過頂點．求證：直線AB過定點．

師生(分析)：當(dāng)直線AB的斜率不存在時，易得過定點；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)lAB:y=kx+m，要證明直線過定點，解題目標就是設(shè)法建立k和m的關(guān)系，從而尋找到條件中的唯一等量關(guān)系——垂直．(板書詳細解題過程，略)

師：接下來請同學(xué)們獨立完成2007年的山東高考解幾題——

橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

師：如果我們把橢圓方程一般化，定點還存在嗎？

學(xué)生如醍醐灌頂：原來這個結(jié)論是可以一般化的．學(xué)生受到啟發(fā)，進一步思考：如果是雙曲線，是不是也有同樣的結(jié)論呢？教師首先肯定了學(xué)生的想法，繼而鼓勵他們繼續(xù)猜想．

師：同學(xué)們，類比、歸納、猜想都是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思維方式，我們要學(xué)會利用已有的一些知識進行大膽猜想，這樣我們就可以獲得更多更新的知識，而這正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn)．同學(xué)們?nèi)绻谄綍r就能注意這樣去思考、解決問題，我相信大家的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定會越來越好，解決問題的能力也會越來越強！在猜想過程中，同學(xué)們可以橫向、縱向地進行比較猜想，也可以正向、逆向進行思考，還可以從特殊到一般地進行歸納猜想，等等．好了，現(xiàn)在就請同學(xué)們插上思考的翅膀，一起盡情地猜想吧！

3 問題推廣

猜想1 若在圓錐曲線頂點處相互垂直的兩條直線與橢圓交于A,B兩點，則直線AB必過定點．

猜想2 若圓錐曲線任意點處相互垂直的兩條直線與橢圓交于A,B兩點，則直線AB必過定點．

猜想3 在圓錐曲線任意點處作兩條直線分別交圓錐曲線于A,B兩點，若斜率之積為定值，則直線AB必過定點．

猜想4 在圓錐曲線任意點處作兩條直線分別交圓錐曲線于A,B兩點，若直線AB過定點，則兩條直線的斜率之積為定值．

……

板書(即直線過定點?斜率之積為定值)

師：恭喜同學(xué)們，你們的猜想都是正確的！剛才我們從特殊到一般進行猜想，當(dāng)然也可以尋找特殊情況來驗證自己的猜想是否正確，如猜想3．類比圓的圖象性質(zhì)，橢圓的結(jié)論便一目了然(圖1)．

圖1

請同學(xué)們課后完成兩個作業(yè)：(1)運用今天學(xué)習(xí)到的解析幾何通法證明一下自己的猜想或者其他同學(xué)的猜想；(2)從我們做過的高考真題或模擬題中，尋找一道與我們猜想的結(jié)論一致的解析幾何題，并把它解答出來，我們會發(fā)現(xiàn)原來我們同學(xué)也是可以做命題老師的，而那些神秘的高考題，其實就是我們平時遇到的問題，并不可怕.

最后老師也來猜想一個結(jié)論：如果我們把斜率之積改為斜率之和，又會有怎樣的結(jié)論呢？還是直線過定點嗎？

我們同樣可以遵循前面的研究方法繼續(xù)探究.先從特殊的斜率之和為0的情況開始思考，會發(fā)現(xiàn)兩個交點所在的直線并不過定點，但是這條直線的斜率卻是一個定值．證明方法如圖2所示．

圖2

這正是解析幾何問題最典型的兩條思考途徑，今天的第三個作業(yè)就是請同學(xué)們課后把這兩種證明方法完整地書寫出來．而這恰恰正是今年新高考全國I卷解析幾何大題的出題背景．

4 問題解決

(1)求l的斜率；

5 問題反思

通過上述對定值、定點之間千絲萬縷微妙關(guān)系的梳理，我們再來看2022年新高考I卷的這道解析幾何大題，發(fā)現(xiàn)它的身上同樣承載著啟動一場盛大頭腦風(fēng)暴的重要使命：它是2021年新高考全國I卷的解幾壓軸題結(jié)構(gòu)的一個退化情形，其本質(zhì)相同．2021年的這道解析幾何題是圓錐曲線中的一個經(jīng)典性質(zhì)，也是一個老生常談的結(jié)構(gòu)，在以前諸多的數(shù)學(xué)聯(lián)賽及全國高考卷中屢見不鮮，大家可以查閱研究，如2011年全國II卷、2014年大綱卷等．而2022年考查的退化情形也是高考中的常見問題，如2009年遼寧卷、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽卷中還考查了它的逆命題等．

由此可見，在高三最后臨近高考的寶貴時間里，教師要精選典型例題，以高考題為載體，帶領(lǐng)學(xué)生跳出題海，唯有讓思維跳躍，才能讓學(xué)生從千頭萬緒的復(fù)習(xí)中抽身出來，獲得對問題的真知灼見，從而以不變應(yīng)萬變，從容應(yīng)對高考試題！

6 教學(xué)反思

最后筆者對本堂課的設(shè)計作如下簡單的教學(xué)反思：

·在課堂上開展問題探究活動，增強學(xué)生解決圓錐曲線問題的信心與能力，鞏固圓錐曲線的相關(guān)知識與方法．問題探究活動的過程，不是簡單的一題多解，而是不斷優(yōu)化求解思路、促進思維發(fā)展、提升核心素養(yǎng)的過程．

·探究活動以小組形式開展，大家既有分工又有合作，還有小組交流和全班交流．每位學(xué)生都有參與學(xué)習(xí)和交流的機會，即便一些基礎(chǔ)與學(xué)力較弱的學(xué)生也能獲得積極的情感體驗，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與動力；而數(shù)學(xué)能力較強的學(xué)生更能發(fā)揮自己的特長與優(yōu)勢，在帶領(lǐng)小組學(xué)習(xí)、交流的同時，獲得成功的體驗．對教師而言，預(yù)估了學(xué)生提出的大部分解法和猜想，但也有很多學(xué)生的思維火花超出了教師準備的教學(xué)內(nèi)容，屬于生成性教學(xué)資源，彌足珍貴．

·作業(yè)設(shè)計多元化.本節(jié)課安排的課后作業(yè)中既有反思類作業(yè)又有實際操作類作業(yè)，既有研究類作業(yè)又有分層類作業(yè)．通過開發(fā)多元化的作業(yè)任務(wù)，既讓學(xué)生把課堂內(nèi)容回顧一遍，又能有所延伸，把很多課上來不及仔細思考的內(nèi)容變成學(xué)生的作業(yè)，充分發(fā)揮其自主學(xué)習(xí)力，一箭雙雕，讓作業(yè)與課堂一起熠熠生輝．

·課堂活動評價采用自評、小組成員互評和教師評價的綜合評價方式，能夠更加客觀地對學(xué)生的學(xué)習(xí)行為進行評價，形成較為完善的評價機制．