時間尺度上非遷移Birkhoff 系統的Mei 對稱性定理*

張毅

(蘇州科技大學土木工程學院，蘇州 215011)

研究并證明時間尺度上非遷移Birkhoff 系統的Mei 對稱性定理.首先，建立任意時間尺度上Pfaff-Birkhoff 原理和廣義Pfaff-Birkhoff 原理，由此導出時間尺度上非遷移Birkhoff 系統(包括自由Birkhoff 系統、廣義Birkhoff 系統和約束Birkhoff 系統)的動力學方程.其次，基于非遷移Birkhoff 方程中的動力學函數經歷變換后仍滿足原方程的不變性，給出了時間尺度上Mei 對稱性的定義，導出了相應的判據方程.再次，建立并證明了時間尺度上非遷移Birkhoff 系統的Mei 對稱性定理，得到了時間尺度上Birkhoff 系統的Mei 守恒量.并通過3 個算例說明了結果的應用.

1 引言

Birkhoff 力學起源于Birkhoff[1]的著作《動力系統》.Santilli[2]首次提出Birkhoff 力學一詞，并詳細地討論了Birkhoff 方程的構造、變換理論及其對強子物理的應用.梅鳳翔等[3]和Galiullin 等[4]從各自角度分別獨立地研究了Birkhoff 系統動力學，他們的研究各具特色且更側重于分析力學.文獻[5]構建了廣義Birkhoff 系統動力學.梅鳳翔先生[6]指出Birkhoff 力學是分析力學發展的第4個階段.近年來，Birkhoff 力學在對稱性理論[7-13]、幾何動力學[14，15]、全局分析與穩定性[16，17]、數值計算[18-22]等研究方向上都取得了重要進展.

時間尺度，即實數集的任意非空閉子集，最早是由Hilger 博士[23]引進的.由于實數集和整數集本身就是一類特殊的時間尺度，因而在時間尺度上不僅可以統一地處理連續系統和離散系統，而且可以處理既有連續又有離散的復雜動力學過程.近20 年來，時間尺度分析理論不僅在理論上不斷完善[24-26]，其應用領域也在不斷拓廣[27-34].文獻[35]最早提出并研究了時間尺度上基于delta 導數的自由Birkhoff 系統動力學及其Noether 對稱性.文獻[36]利用對偶原理將文獻[35]的結果拓展到nabla 導數情形.文獻[37]給出了時間尺度上非遷移Birkhoff 系統的Noether 定理.但是，這些研究尚限于:1)自由Birkhoff 系統;2) Noether 對稱性;3)守恒量是Noether 型的.文獻[38，39]初步研究了時間尺度上Birkhoff 系統的Lie 對稱性和Mei對稱性，但是其守恒量的證明基于第二Euler-Lagrange 方程，而數值計算表明該方程并不成立[34].此外，根據Bourdin[33]的研究，在離散層面非遷移情形的結果是保變分結構及其相關性質的，盡管迄今時間尺度上非遷移變分問題研究還很少.本文研究時間尺度上非遷移Birkhoff 系統的Mei 對稱性，包括自由Birkhoff 系統、廣義Birkhoff 系統和約束Birkhoff 系統，建立并證明上述3 類Birkhoff系統的Mei 對稱性定理，給出時間尺度上新型守恒量，稱之為Mei 守恒量.

2 時間尺度上非遷移Birkhoff 方程

關于時間尺度上微積分及其基本性質，讀者可參閱文獻[24，25].

2.1 Pfaff-Birkhoff 原理及其推廣

在時間尺度上，非遷移Pfaff 作用量為

其中Rβ:T×R2n →R 是時間尺度上Birkhoff 函數組，B:T×R2n →R 是時間尺度上Birkhoff 函數，是Birkhoff 變量aβ對時間的delta 導數.設所有函數都是Δ(T)函數.β，γ1，2，···，2n.非遷移是指作用量(1)中的變量aγ沒有經過前跳算子σ或后跳算子ρ的作用而發生躍遷[33].

等時變分原理

且滿足端點條件

以及互易關系

原理(2)稱為時間尺度上非遷移Pfaff-Birkhoff 原理.

等時變分原理(2) 可推廣為

式中ΦβΦβ(t，aγ) 表示附加項[5].原理(5)式可稱為時間尺度上非遷移廣義Pfaff-Birkhoff 原理.

2.2 自由Birkhoff 系統

由原理(2)，容易導出

其中σ(t)是前跳算子.考慮到的獨立性，由時間尺度上Dubois-Reymond 引理[24]，得到

其中Cβ為常數.因此有

方程(8)為時間尺度上非遷移Birkhoff 方程.

2.3 廣義Birkhoff 系統

由原理(5)，可導出

類似于方程(8)，有

方程(10)可稱為時間尺度上非遷移廣義Birkhoff-方程.

2.4 約束Birkhoff 系統

約束方程為

將(11)式取變分，得

由(6)式和(12)式，容易導出

其中λjλj(t，aβ) 為約束乘子.假設約束(11)式相互獨立，則由(11)式和(13)式可解出λj.于是方程(13)可寫成

3 Mei 對稱性

3.1 自由Birkhoff 系統

引進無限小變換

其中映射(t)t+υξ0+o(υ) 是1 個嚴格遞增函數，υ ∈R是無限小參數，?(t) 是一個新的時間尺度，前跳算子為，delta 導數為

在變換(15)下，動力學函數B和Rβ變換為和，有

將(16)式在υ0 處Taylor 級數展開，得到

其中Y(0)ξ0?/?t+ξβ?/?aβ.

定義1對于時間尺度上非遷移Birkhoff 系統(8)，如果

成立，則變換(15)稱為Mei 對稱性的.

判據1如果變換(15)滿足如下判據方程:

則變換相應于時間尺度上非遷移Birkhoff 系統(8)的Mei 對稱性.

3.2 廣義Birkhoff 系統

設時間尺度上動力學函數B，Rβ和Φβ經歷變換(15)后，成為和，有

于是有下述定義2 和判據2.

定義2對于時間尺度上非遷移廣義Birkhoff系統(10)，如果

成立，則變換(15)稱為Mei 對稱性的.

判據2如果變換(15)滿足如下判據方程:

則變換相應于時間尺度上非遷移廣義Birkhoff 系統(10)的Mei 對稱性.

3.3 約束Birkhoff 系統

設時間尺度上動力學函數B，Rβ和Pβ，以及約束fj經歷變換(15)后，成為和有

于是有下述定義3 和判據3.

定義3對于時間尺度上與約束Birkhoff 系統(13)和(11)相應的自由Birkhoff 系統(14)，如果

成立，則變換(15)稱為Mei 對稱性的.

判據3如果變換(15)滿足如下判據方程:

則變換相應于時間尺度上相應自由Birkhoff 系統(14)的Mei 對稱性.

定義4對于時間尺度上約束Birkhoff 系統(13)和(11)，如果方程(24)以及如下方程

成立，則變換(15)稱為Mei 對稱性的.

判據4如果變換(15)滿足判據方程(25)和如下限制方程:

則變換相應于時間尺度上約束Birkhoff 系統(13)和(11)的Mei 對稱性.

4 Mei 對稱性定理

4.1 自由Birkhoff 系統

定理1假設變換(15)滿足判據方程(19)，則時間尺度上非遷移Birkhoff 系統(8)存在新型守恒量

其中GM是規范函數，滿足

證明

將方程(19)和(29)代入(30)式，得到

因此，(28)式是系統的守恒量.證畢.

定理1 可稱為時間尺度上非遷移Birkhoff 系統(8)的Mei 對稱性定理，(28)式稱為Mei 守恒量.

4.2 廣義Birkhoff 系統

定理2假設變換(15)滿足判據方程(22)，則時間尺度上非遷移廣義Birkhoff 系統(10)存在新型守恒量

其中GM是規范函數，滿足

證明

定理2 可稱為時間尺度上非遷移廣義Birkhoff系統(10)的Mei 對稱性定理，(32)式稱為Mei 守恒量.證畢.

4.3 約束Birkhoff 系統

定理3假設變換(15)滿足判據方程(25)，則時間尺度上與約束Birkhoff 系統(13)和(11)相應的自由Birkhoff 系統(14)存在新型守恒量

其中GM是規范函數，滿足

定理4假設變換(15)滿足判據方程(25)和限制條件(27)式，則時間尺度上約束Birkhoff 系統(13)和(11)存在新型守恒量(35)，其中規范函數GM滿足方程(36).

定理3 為時間尺度上與約束Birkhoff 系統(13)和(11)相應的自由Birkhoff 系統(14)的Mei 對稱性定理.定理4 為時間尺度上非遷移約束Birkhoff系統的Mei 對稱性定理，(35)式是Mei 守恒量.

5 算 例

例1研究時間尺度上Birkhoff 系統，設Birkhoff 函數和Birkhoff 函數組為

試研究該系統的Mei 對稱性與守恒量.

由方程(8)得到

這是著名的Hojman-Urrutia 問題[3，4].該問題本質上不是自伴隨的，因此沒有Lagrange 結構或Hamilton 結構.

下面來計算Mei 對稱性.經計算，有

取生成函數為

則

生成函數(41)滿足判據方程(19)，因此它相應于系統的Mei 對稱性.將(41)式代入方程(29)，可解得

由定理1，系統有Mei 守恒量，形如

(44)式表明，對于任意的時間尺度，(44)式都是Birkhoff 系統(37)的守恒量.如取生成函數為

那么生成函數(45)也是Mei 對稱的，由方程(29)得

由定理1，得到Mei 守恒量

對于守恒量(47)，如果系統是通常的Birkhoff系統，即取 TR，則σ(t)t，從而(47)式給出

這是通常意義下Hojman-Urrutia 問題的守恒量[3].如果是離散情形，即取 ThZ，這里h＞0，則σ(t)t+h，從而(47)式成為

這是步長為h的離散版本的Mei 守恒量.

例2研究時間尺度上廣義Birkhoff 系統

的Mei 對稱性與守恒量.

廣義Birkhoff 方程(10)給出

計算Mei 對稱性，由于

將(52)式代入判據方程(22)，有解

(53)式和(54)式相應于系統的Mei 對稱性.將(53)式代入方程(33)，解得

由定理2，系統有Mei 守恒量，形如

同理，相應于生成函數(54)，GM-2t，由定理2 得

(56)式和(57)式是由Mei 對稱性(53)和(54)導致的Mei 守恒量.

例3研究時間尺度上約束Birkhoff 系統

約束為

試研究其Mei 對稱性與守恒量，其中g和φ是常數.

方程(13)給出

由方程(59)和方程(60)，解得

因此有

做計算

取生成函數為

則

其中μ(t)σ(t)-t為向前互差函數，ν(t)tρ(t)為向后互差函數.由判據4，生成函數(64)相應于系統的Mei 對稱性.將(65)式代入方程(36)，解得

由定理4，系統有Mei 守恒量，形如

6 討論

方程(8)成為

由判據方程(19)容易得到

于是，定理1 退化為下述推論1.

推論1假設變換(15)滿足判據方程(19)，則自由Birkhoff 系統(69)的Mei 對稱性導致如下形式的守恒量:

其中GM是規范函數，滿足

推論1 是通常意義下自由Birkhoff 系統連續版本的Mei 對稱性與守恒量定理[7].而方程(68)、方程(69)和方程(71)就是通常意義下自由Birkhoff 系統連續版本的Pfaff-Birkhoff 原理、Birkhoff 方程和Mei 守恒量.

方程(8)成為

則定理1 退化為下述推論2.

推論2假設變換(15)滿足判據方程(19)，則自由Birkhoff 系統(74)的Mei 對稱性導致如下形式的守恒量:

其中GM是規范函數，滿足

推論2 是通常意義下自由Birkhoff 系統離散版本的Mei 對稱性與守恒量定理.而方程(73)—(75)就是通常意義下自由Birkhoff 系統離散版本步長為h的Pfaff-Birkhoff 原理、Birkhoff 方程和Mei 守恒量.

7 結論

對稱性和守恒量一直是分析力學研究的一個重要方面.經典的對稱性主要有Noether 對稱性和Lie 對稱性.Mei 對稱性是本質上不同于前兩種對稱性的一種不變性，它可以導致Mei 守恒量.Mei 守恒量不同于Noether 守恒量，是一種新的守恒量.本文提出并研究了時間尺度上非遷移Birkhoff 系統的Mei 對稱性定理.

一是提出了時間尺度上非遷移Pfaff-Birkhoff原理和廣義Pfaff-Birkhoff 原理，導出了時間尺度上Birkhoff 系統，包括自由Birkhoff 系統、廣義Birkhoff 系統和約束Birkhoff 系統的動力學方程.主要結果是原理(2)和(5)，Birkhoff 方程(8)，(10)和(13).

二是定義了時間尺度上非遷移Birkhoff 系統的Mei 對稱性，并導出了它的判據方程.主要結果是4 個定義和4 個判據.

三是提出并證明了時間尺度上非遷移Birkhoff系統、非遷移廣義Birkhoff 系統和非遷移約束Birkhoff 系統的Mei 對稱性定理.主要結果是4 個定理，Mei 守恒量(28)，(32)和(35).