偏心量對緩沖環支撐下的電磁軸承轉子系統非線性振動特性影響分析

滕漢卿，穆 然

（湖南鐵道職業技術學院，湖南 株洲 412001）

電磁軸承轉子系統被廣泛應用于流體機械、航空航天、軍事裝備等領域，而在電磁軸承高速旋轉時，轉子的偏心量直接關系到系統運行的平穩性與可靠性[1-2]，因此,針對轉子不平衡量對轉子系統非線性動力學特性的影響分析就很有必要。劉桂珍等[3]研究了偏心量影響下的裂紋轉子系統非線性動力學行為；張文超[4]等利用解析法分析電機輸出性能與轉子偏心程度的關系；徐學平等[5]分析了動靜復合偏心情形下轉子系統的軸心軌跡和位移頻譜,討論了靜偏心方向、初始靜偏心量對轉子系統振動特性的影響。

本研究通過分析磁懸浮轉子系統偏心量和轉子轉速雙參數共同變化時系統穩態響應，從中尋找偏心量變化對系統非線性特性的影響規律，為此類轉子系統參數選擇及匹配提供借鑒。

1 系統模型

系統簡化力學模型見圖1，其中：m1為軸頸質量；m2為轉盤質量；δ 為轉子與緩沖環間隙；u 為轉子質量偏心距；k為轉軸剛度；c 為轉子阻尼；w 為轉子角速度；γ 為電磁軸承空氣間隙；O 為緩沖環中心；O'為轉子中心。

圖1 力學模型

本研究基于以下假設：

（1） 忽略緩沖環的質量及緩沖環的阻尼效應。

（2） 忽略了緩沖環與轉子之間的摩擦力。建立系統的動力學方程為

緩沖環與轉子之間的碰撞力Pn主要由剛度為kf的緩沖環支撐彈簧提供，它在x、y 方向的分量可表示為

其中：

在式（4）-式（6）中：γ 為磁浮軸承空氣間隙；α 為幾何耦合參數；μ0為空氣磁導率；N 為線圈匝數；Ag為磁極有效磁通面積；ib為偏置電流；P 為反饋增益比例因數；D 微分反饋增益因數。引入以下無量綱參數：

基于以上無量綱參數，則轉子與緩沖環間歇碰撞力無量綱化后的形式為

無量綱化后的電磁力方程為

綜上所述，系統無量綱化后的運動方程為

2 數值仿真

選取基準參數：ζ=0.1，α=0.28，P^=1.1，D^=0.03，K=4.0，f=2.0，M=5.0，η=0.017，W=0.07，λ=0.1，利用四階龍格-庫塔法對系統運動微分方程進行數值仿真計算。如圖2 所示為平面雙參數圖，它表示系統在二維參數平面[U∈（5-15），Ω∈（1.5-3.5）]內各點處，系統響應所呈現出的周期、混沌及概周期運動類型分布規律，圖中不同深度色區代表不同運動類型的分布區域，從圖中可以看出在整個參數域內主要以1 倍周期、2 倍周期運動為主，同時在高低轉速區間內存在著一定范圍的混沌及概周期運動。隨著轉子偏心量增加，當偏心量U＞10.2 時系統響應在Ω∈（3.0-3.5）的范圍內出現了周期性運動與混沌、概周期運動交替出現的島狀區域，同時在5 倍周期運動的區域邊緣存在運動特性突變的情況。

圖2 基于基準參數的U-K 雙參數平面圖

雙參數平面圖能從多參數角度及系統層面描述系統不同類型運動的分布區域與規律[6]，而對于分岔特征及運動形態分析還需借助分岔圖等做進一步分析，圖3 為不同偏心參數下的分岔圖，當U=5.0 時，系統在轉速區間Ω∈（1.5-2.5）的范圍內，經歷了同步運動-倍周期運動-概周期運動-倍周期運動的轉遷過程；U=7.0 時，系統在Ω∈（1.5-1.8）范圍內除了倍周期運動外，還以倍化分岔的形式進入到混沌運動，U=9.0 時，Ω∈（1.5-1.8）的范圍內以混沌運動為主，周期性運動窗口消失，同時在Ω∈（2.0-2.25）范圍內的概周期運動中出現了較寬的6 倍周期運動區間，這與圖2 中6T 分布區域相一致。

圖3 不同偏心量參數下的分岔圖

如圖4 所示，當Ω 取2.1 時不同偏心量所對應的軸心軌跡圖，如圖4（a）所示為U=5.0 時的軸心軌跡圖，此時軸心軌跡相對較混亂，龐加萊截面映射圖表現為隨機分布的離散點，如圖5（a）所示，但隨機分布的離散點中還具有一定的規律性，這些離散點聚集在兩個邊界相對清晰的不規則區域內，表現為混沌吸引子；如圖4（b）所示當U=7.0 時，系統運動為2 倍概周期運動，此時軸心軌跡為網狀交織的輪胎形，龐家萊截面映射如圖5（b）所示為兩個封閉的極限環，此時系統處于極限穩定狀態；如圖4（c）所示當U=9.0 時，系統運動為6 倍周期運動，對應的龐加萊截面映射圖為6 個不動點。結合圖4 與圖5 信息發現，在高轉速區內（以Ω=2.1 為例）隨著偏心量的增大，系統運動由混沌運動-2 倍概周期運動-周期6 運動變化。

圖4 Ω=2.1 時不同偏心量參數下的軸心軌跡圖

圖5 Ω=2.1 時不同偏心量參數下的龐加萊截面映射圖

3 結論

本研究以U-K 雙參數平面圖為基礎，結合分岔圖、軸心軌跡圖及龐加萊截面映射圖分析了磁浮轉子系統偏心量參數變化對系統振動特性影響規律，得出以下結論：（1） 在雙參數域內，當偏心量U＞10.2 時系統響應在Ω∈（3-3.5）的范圍內出現了周期性運動與混沌、概周期運動交替出現的島狀區域，島狀區尖端（U=10.2）出現了突變，說明在U=10.2 附近系統運動由于偏心量變化容易引起運動特性突變，在實際選取參數時應盡量避開U=10.2 附近參數域。（2） 在Ω∈（1.98-2.25）轉速點附近，隨著偏心量取5.0、7.0及9.0 時，系統響應分別出現了混沌、概周期、6 倍周期運動，這說明在此轉速區間內偏心量適當增加反而有利于轉子系統獲得更寬的周期性運動轉速區間。