現(xiàn)代音樂(lè)中的數(shù)理邏輯思維特征現(xiàn)象

田 園

所謂“一千個(gè)讀者有一千個(gè)哈姆雷特”，每個(gè)人的思考角度不盡相同，在了解音樂(lè)與數(shù)學(xué)的關(guān)系以及數(shù)理邏輯的本質(zhì)與音樂(lè)的聯(lián)系后，筆者欲從數(shù)理邏輯本體出發(fā)，探求其結(jié)構(gòu)思維與20世紀(jì)重要音樂(lè)理論的關(guān)聯(lián)，通過(guò)演繹推算等數(shù)學(xué)研究手法,深層挖掘數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維特征在當(dāng)代音樂(lè)結(jié)構(gòu)中的內(nèi)涵。

一、數(shù)理邏輯(mathematical logic)的形成與發(fā)展

(一)數(shù)理邏輯的基本內(nèi)容

數(shù)學(xué)(Mathematics)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間等概念的一級(jí)學(xué)科,是人類對(duì)事物的抽象結(jié)構(gòu)與模式進(jìn)行嚴(yán)格描述的通用手段；數(shù)理邏輯又稱符號(hào)邏輯、理論邏輯，它既是數(shù)學(xué)的分支，也是邏輯學(xué)的范疇；它是用數(shù)學(xué)方法對(duì)證明和計(jì)算這兩個(gè)直觀概念問(wèn)題進(jìn)行符號(hào)化處理的形式系統(tǒng)。[1]總之，數(shù)理邏輯是精確化、數(shù)學(xué)化的形式邏輯。

數(shù)理邏輯的分支由邏輯演算、公理集合論(set theory)、模型論(model theory)、證明論(proof theory)和遞歸論(recursion theory)構(gòu)成。

(二)數(shù)理邏輯的發(fā)展

數(shù)理邏輯的產(chǎn)生過(guò)程早在17世紀(jì)就有人提出，戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日-1716年11月14日)，德國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為17世紀(jì)的亞里士多德。他曾經(jīng)想創(chuàng)造一種“通用的科學(xué)語(yǔ)言”，即把推理過(guò)程利用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算從而得出結(jié)論，由于條件受限，他的想法并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)，但是他的思想奠定了數(shù)理邏輯的發(fā)展基礎(chǔ)，從某種程度上講，可以說(shuō)萊布尼茨是數(shù)理邏輯的先驅(qū)；[2]1847年，英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾發(fā)表了《邏輯的數(shù)學(xué)分析》，建立了“布爾代數(shù)”，利用符號(hào)和代數(shù)的方法表示邏輯的各種概念并研究關(guān)于邏輯的問(wèn)題，奠定了數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)；19世紀(jì)末20世紀(jì)初，美國(guó)人皮爾斯在著作中引入了邏輯符號(hào)，逐步形成現(xiàn)代數(shù)理邏輯最基本的理論基礎(chǔ)，[3]成為一門獨(dú)立的學(xué)科。

二、現(xiàn)代音樂(lè)數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維特征

萊布尼茨認(rèn)為音樂(lè)是數(shù)學(xué)的;愛(ài)因斯坦則認(rèn)為世界可以由音符構(gòu)成，也可以由數(shù)學(xué)公式組成。[4]20世紀(jì)初期，美國(guó)現(xiàn)代作曲家巴比特(1916—2011)喜歡用數(shù)學(xué)方式從事音樂(lè)創(chuàng)作，他較早用序列的各種形式，如對(duì)稱、互補(bǔ)、倒影、不變性關(guān)系等預(yù)制音樂(lè)的結(jié)構(gòu)；傳統(tǒng)大小調(diào)音階體系也可以被視作現(xiàn)代十二音自由組合后的兩類音階材料的形式。

在科技飛速發(fā)展的時(shí)代背景下，20世紀(jì)的音樂(lè)逐漸向高度邏輯化的方向演進(jìn)，音樂(lè)的不同要素作為新的表現(xiàn)形式成為主導(dǎo)音樂(lè)結(jié)構(gòu)的邏輯基礎(chǔ)，具有典型的數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維的特征。除此之外，對(duì)音樂(lè)數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維的研究是目前學(xué)術(shù)理論學(xué)科重要研究領(lǐng)域之一，它在20世紀(jì)音樂(lè)語(yǔ)言中占據(jù)著重要的地位，成為我們理性認(rèn)識(shí)現(xiàn)代音樂(lè)的突破口。

因此，為了更深刻的理解數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維與現(xiàn)代音樂(lè)的關(guān)聯(lián)，有必要建立正確的理論研究方向，筆者試圖以集合、數(shù)列、函數(shù)、證明、計(jì)算等數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)，結(jié)合數(shù)學(xué)方法從數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維的新視角對(duì)其在二十世紀(jì)音樂(lè)理論中的具體運(yùn)用情況從本質(zhì)上做出高度的概括并進(jìn)行系統(tǒng)性歸納與研究，探求音樂(lè)作品中數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維存在的諸多可能性。

(一)阿倫·福特音級(jí)集合理論—集合論(set theory)

音級(jí)集合理論(Pitch-class sets theory)最初由美國(guó)音樂(lè)理論家巴比特提出，隨后美國(guó)音樂(lè)理論家阿倫·福特(Allen Forte,1926年12月23日—2014年10月16日)在巴比特的基礎(chǔ)上于20世紀(jì)60年代做了系統(tǒng)化的詮釋，提出了一套嚴(yán)密的對(duì)現(xiàn)代音高組織分類的標(biāo)準(zhǔn)和科學(xué)的分析方法，以數(shù)學(xué)的集合、排列組合、對(duì)稱性原理為基礎(chǔ)作為音樂(lè)分析音高材料的基礎(chǔ)，對(duì)無(wú)調(diào)性音樂(lè)做出了定量定性的理性分析，被中外音樂(lè)理論家廣泛運(yùn)用。集合論是由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾(Cantor,1845—1918)在19世紀(jì)70年代提出，于20世紀(jì)20年代確立了集合論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論體系中的基礎(chǔ)地位，可以說(shuō)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個(gè)分支近乎所有成果都構(gòu)筑在嚴(yán)格的集合理論上。[5]

集合(set)(簡(jiǎn)稱集)是對(duì)具有某種確定性質(zhì)對(duì)象全體的統(tǒng)稱，集合里的各個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素(element)，而音級(jí)集合理論作為現(xiàn)代分析無(wú)調(diào)性音樂(lè)的理論基礎(chǔ)，阿倫.福特以數(shù)學(xué)集合為原型，將十二音的音高用數(shù)字標(biāo)記為0-11，六類基本音程標(biāo)記為ic1-6,以無(wú)間隔的六位數(shù)表示音程涵量(Interval Class Vector)特征，從英文字母里也可以看出它暗含了數(shù)學(xué)向量(有大小和方向)的概念，最終將音高組織材料按照“集合名稱”“集合原型”“音程涵量”以及對(duì)應(yīng)的互補(bǔ)集合制成三至九音的音級(jí)集合表。其音高關(guān)系具有相等性、包含性、互補(bǔ)性、相似性等特點(diǎn)，與數(shù)學(xué)集合里的互異性、無(wú)序性等特點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。

無(wú)序音集(unordered collection)可以作為原集合元素來(lái)統(tǒng)一整部音樂(lè)作品的動(dòng)機(jī)材料，作曲家也通過(guò)改變集合元素的數(shù)量或內(nèi)含創(chuàng)作多樣化的音樂(lè)作品。因此，采用數(shù)學(xué)方法對(duì)音高材料的理性分析顯得尤為重要，不難看出數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維對(duì)于現(xiàn)代音樂(lè)的分析具有較高的參考價(jià)值。

(二)序列音樂(lè)(serialism)—數(shù)列邏輯與矩陣(Matrix)

20世紀(jì)20年代，勛伯格(Arnold Schoenberg,1874-1951)作為20世紀(jì)表現(xiàn)主義時(shí)期新維也納樂(lè)派的美籍奧地利作曲家、音樂(lè)理論家，他創(chuàng)立了序列音樂(lè)理論體系，又稱十二音音樂(lè)(twelve-tone music)體系,開(kāi)創(chuàng)了音高組織形式的新紀(jì)元。序列音樂(lè)在根本上否定了傳統(tǒng)音樂(lè)的調(diào)性功能，體現(xiàn)出音樂(lè)具有的數(shù)列邏輯和矩陣等數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維特征。

序列音樂(lè)具體內(nèi)容為了避免出現(xiàn)重復(fù)音，主要將預(yù)制的一個(gè)有序十二音集(ordered sets)在原型、倒影、逆行以及逆行倒影四種順序變換的基礎(chǔ)上，通過(guò)12次移位構(gòu)成的48個(gè)序列形式從表層到深層最終完成整部作品的創(chuàng)作過(guò)程。

序列音樂(lè)的代表人物有布列茲(Pierre Poulez,1925-)、巴比特(Milton Babbitt, 1916-)等。其中勛伯格于1923年創(chuàng)作的《鋼琴曲五首》運(yùn)用序列化音樂(lè)的作曲技法。貝爾格創(chuàng)作的歌劇《沃采克》(1923)延續(xù)了序列音樂(lè)時(shí)期的特征。1945年之后更多作曲家試圖將序列音樂(lè)的手法體現(xiàn)在其他音樂(lè)要素上，如節(jié)奏、力度、音色等，由此進(jìn)入整體序列主義音樂(lè)時(shí)期(total serialism),韋伯恩的《管弦樂(lè)變奏曲》(1940)已嘗試將節(jié)奏進(jìn)行部分序列化的寫作，梅西安《時(shí)值與力度的模式》(1949)成為整體序列主義音樂(lè)的起點(diǎn)。[6]

(三)大衛(wèi)·勒溫轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)理論(Transformation Network Theory) —集合論、群論

美國(guó)音樂(lè)理論家大衛(wèi)·勒溫(David Lewin,1933—2003)以數(shù)學(xué)中的集合論(Set Theory)、群論(Group Theory)為基礎(chǔ)，于20世紀(jì)80年代末創(chuàng)立了轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)理論(Transformation Network Theory)，其經(jīng)典著作《廣義音程與轉(zhuǎn)換(Generalized Musical Interval and Transformation)》[7]出版于1987年,并于2003年再版。勒溫在傳統(tǒng)“調(diào)性功能理論(Theory of Tonal Functions)”基礎(chǔ)上，將現(xiàn)代音高組織視作一個(gè)轉(zhuǎn)換圖表和網(wǎng)絡(luò)(transformation graphs and networks)組成的系統(tǒng)，通過(guò)尋找內(nèi)部邏輯的遞進(jìn)關(guān)系，觀察動(dòng)機(jī)在結(jié)構(gòu)中的位移軌跡。在《劍橋西方音樂(lè)理論史》第10章“音樂(lè)理論與教學(xué)”也提及了轉(zhuǎn)換理論的觀點(diǎn)。[8]勒溫在理論陳述與分析過(guò)程中使用了大量的數(shù)學(xué)工具，筆者通過(guò)研習(xí)轉(zhuǎn)換理論中音高組織的思路，嘗試從音高標(biāo)記、音程距離、網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換三方面分析證明其具有的數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維特征。

1.音高體系的標(biāo)記

以《新格羅夫音樂(lè)與音樂(lè)家辭典》對(duì)無(wú)調(diào)性音樂(lè)分析的標(biāo)記方式為主：[9]x,y,z標(biāo)記音高或音級(jí)、x-y-z標(biāo)記有序音高或音級(jí)、【xyz】標(biāo)記同一集合、{x,y,z}表示一個(gè)音組[10]，它是數(shù)學(xué)集合論中集合標(biāo)記的基本內(nèi)容，也作為后調(diào)性音樂(lè)動(dòng)機(jī)發(fā)展的基本材料。

[11]

2.音高空間(pitch space)與音級(jí)空間(pitch-class space)的距離計(jì)算

勒溫在廣義音程體系中提到兩音在音高或音級(jí)空間(《后調(diào)性音樂(lè)導(dǎo)論》[12]一書中提及)內(nèi)的距離計(jì)算，暗含了數(shù)學(xué)平面向量中矢量與標(biāo)量的特征。其中函數(shù)關(guān)系(簡(jiǎn)稱int)是計(jì)算距離的基本公式，s到t的距離i用函數(shù)表示為int(s,t)=i。對(duì)于有序音程距離的計(jì)算而言，i具有著矢量性，即數(shù)值代表大小、正負(fù)代表方向，而無(wú)序音程距離的i具有標(biāo)量性，只需代表大小，即取音程距離的絕對(duì)值即可。

音高音程(pitch intervals)是在不同八度下音高空間內(nèi)所有音高之間的距離，它的有序性強(qiáng)調(diào)音樂(lè)旋律的輪廓特征，距離計(jì)算結(jié)果的正負(fù)代表了旋律上行或下行的走向性，因此計(jì)算有序音高音程距離如：int(C3,E3)=4,int(D4,B2)=-(12*2-9)=-15。無(wú)序音高距離只需取絕對(duì)值即可。

音級(jí)(pitch class)作為等同音高的統(tǒng)稱，音級(jí)音程(pitch-class intervals)是音級(jí)空間內(nèi)所有音級(jí)之間的距離，同時(shí)涉及八度等同(octave equivalent)、12模(mol12,任何音級(jí)都可以用0-11之間的數(shù)字表示)等概念性術(shù)語(yǔ)。[13]因此，在計(jì)算相隔N個(gè)八度內(nèi)的音級(jí)空間(十二音內(nèi))的有序音程距離時(shí)，結(jié)果必定在正負(fù)12以內(nèi)，如：int(F,G)=2, int(C,B)=-11。無(wú)序音級(jí)的音程距離則取最短距離的絕對(duì)值即可(i=0-6,“0”=12、“1”=11、“2”=10、“3”=9、“4”=8、“5”=7、“6”=6)。

3.轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)

宏觀的轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)是在微觀上集合的發(fā)展基礎(chǔ)上，通過(guò)移位、倒影的形式在距離中形成的網(wǎng)絡(luò)體系。勒溫通過(guò)微觀與宏觀結(jié)合的層面實(shí)現(xiàn)音樂(lè)的轉(zhuǎn)換，也體現(xiàn)了在數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維下的音樂(lè)在空間、時(shí)間雙重維度中的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

(四)新里曼主義理論(Neo-Riemannian theory)—函數(shù)，幾何圖表原理

新里曼理論由美國(guó)音樂(lè)理論家大衛(wèi)·列文(David Lewin)于20世紀(jì)80年代提出，以大衛(wèi)·列文轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)理論、里曼功能理論為基礎(chǔ)，后經(jīng)Richard Cohn等人進(jìn)一步完善而最終形成的音高組織理論,用于無(wú)調(diào)性音樂(lè)作品分析中。它運(yùn)用三和弦及其三度關(guān)系轉(zhuǎn)換，采用代數(shù)、函數(shù)等數(shù)學(xué)方法詮釋音樂(lè)的數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維特征。

(五)巴托克軸心體系-幾何對(duì)稱性

貝拉·巴托克(Bela Bartok,1881—1945)是20世紀(jì)新民族主義時(shí)期偉大的匈牙利作曲家，他堅(jiān)持個(gè)人主義，在傳統(tǒng)調(diào)性基礎(chǔ)上引申出具有數(shù)學(xué)幾何對(duì)稱性的“軸心體系”理論，為音樂(lè)理論與分析學(xué)科創(chuàng)造了寶貴的財(cái)富。前蘇聯(lián)著名理論家尤·霍洛波夫致力于軸心體系的研究并對(duì)其進(jìn)行了高度概括[14]：在五度循環(huán)圈上建立以主、屬、下屬音為基礎(chǔ)，分別在相隔小三度音程上以相同方式再次循環(huán)形成的S(下屬音軸)、T(主音軸)、D(屬音軸)共三個(gè)功能軸，最終得到完整的十二音列，以C為基音的軸心體系圖如下[15]：

圖2 巴托克以C為基音的軸心體系圖

巴托克在《第二小提琴協(xié)奏曲》中運(yùn)用了“軸心體系”對(duì)調(diào)性進(jìn)行了整體布局并完成寫作。整曲以B調(diào)開(kāi)始，在此基礎(chǔ)上建立的三個(gè)調(diào)性功能為E(下屬調(diào), E-bB、G-bD)、#F(屬調(diào)，#F-C、A-bE)、B(主調(diào)，B-F、D-bA)，結(jié)構(gòu)及調(diào)性布局如下：

表1 《第二小提琴協(xié)奏曲》整體調(diào)性布局

不難看出，巴托克在此變奏曲中調(diào)性布局也是呈對(duì)稱的關(guān)系，也為軸心體系理論做出了最好的詮釋。

利用數(shù)學(xué)幾何圖形更加直觀看出巴托克對(duì)和聲功能體系及調(diào)性關(guān)系的抽象理解，將音軸上具有對(duì)稱性的三全音視作不同于傳統(tǒng)調(diào)性意義上的最近的調(diào)關(guān)系，等同于傳統(tǒng)大小調(diào)體系中的平行大小調(diào)關(guān)系(C=#F=a)。不僅如此，通過(guò)從各功能軸的四個(gè)音中任意挑選其中一個(gè)(正負(fù)音級(jí)均可)作為三大功能的代表連接構(gòu)成完滿終止，如C 大調(diào)的“F-G-C” 也同時(shí)代表了“S-D-T”的完滿終止。

結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)上述對(duì)現(xiàn)代音樂(lè)數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維特征的闡述，可以看出20世紀(jì)音樂(lè)所體現(xiàn)的理論分析方法與數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)思維緊密相連，以理性的視角重新看待現(xiàn)代音樂(lè)不僅有助于解決音樂(lè)中偏抽象的理論難題，還可以幫助我們更為直觀定量的分析音樂(lè)語(yǔ)言，進(jìn)而促使音樂(lè)分析領(lǐng)域自身的進(jìn)步和發(fā)展，恰如朱利安·霍頓所言：“音樂(lè)分析，用理性的理論體系來(lái)解釋作品本身的技術(shù)結(jié)構(gòu)，它不僅與現(xiàn)代主義及其權(quán)力結(jié)構(gòu)相結(jié)合，還與以理性為中心的主體性相結(jié)合，這種主觀批判性是進(jìn)入后現(xiàn)代主義的決定性特征。”

數(shù)理邏輯正在走向更為科學(xué)的道路，在當(dāng)代音樂(lè)理論分析中占有無(wú)比重要的地位，現(xiàn)代音樂(lè)與數(shù)理邏輯的融合將會(huì)抵達(dá)一個(gè)新的高峰。

注釋:

[1]王宜榮.巧用“相似論”讓學(xué)生感悟解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的魅力[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2013(04):95.

[2]崔文芊,王紹源.論萊布尼茨的數(shù)理邏輯成就及成因[J].江西社會(huì)科學(xué),2013,33(06):32—36.

[3]汪 超.節(jié)奏中的數(shù)列現(xiàn)象與音樂(lè)聽(tīng)覺(jué)的數(shù)理邏輯思維中[D].中國(guó)音樂(lè)學(xué)院,2012.

[4]楊 鵬.淺談如何提高學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)[J].學(xué)周刊,2013(27):120—121.

[5]王立冬,齊淑華,奉黎靜,林屏峰,劉延濤,劉 滿.高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程[M].北京:北京科學(xué)出版社,2016:9.

[6]崔 瑩.后現(xiàn)代音樂(lè)及其美學(xué)問(wèn)題研究[D].上海音樂(lè)學(xué)院,2010.

[7]甘芳萌.大衛(wèi)·勒溫“轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)”理論研究[D].上海音樂(lè)學(xué)院,2013.

[8]托馬斯·克里斯坦森.劍橋西方音樂(lè)理論發(fā)展史[M].任達(dá)敏譯.上海:上海音樂(lè)出版社,2011:259.

[9]同[7].

[10]Dave Headlam:Atonality,4, The New Grove Dictionary of Music and Musicians,2001.

[11]王藝播.至繁至簡(jiǎn)——論《后調(diào)性音樂(lè)導(dǎo)論》(第三版)[J].當(dāng)代音樂(lè),2017(15):16—18.

[12][13][美]約瑟夫·內(nèi)森·施特勞斯.后調(diào)性理論導(dǎo)論(第三版)[M].齊 妍譯.北京:人民音樂(lè)出版社,2014.

[14][15]朱 楣.“軸心體系”與“斐波拉契數(shù)列與黃金分割”理論實(shí)踐在巴托克《雙鋼琴與打擊樂(lè)奏鳴曲》第一樂(lè)章的深層控制作用[J].音樂(lè)藝術(shù)(上海音樂(lè)學(xué)院學(xué)報(bào)),2015(03):132—138.