一種考慮三線擺擺線質量的轉動慣量計算方法及虛擬驗證

祝恒佳，鄺晨陽，呂曉

(1.中國民航大學航空工程學院,天津 300300；2.中國民航航空地面特種設備研究基地，天津 300300)

0 前言

三線擺法作為測量物體轉動慣量的基本方法之一，因其相對簡單的實驗原理和較精確的測量結果而被廣泛應用。在車輛、航空工程領域，發動機總成轉動慣量直接影響隔振系統設計、結構件疲勞壽命分析，針對剛體轉動慣量的準確測量具有重要意義。

三線擺由上盤、下盤和3根連接上下盤的擺線組成。在實驗時，先使下盤繞質心軸偏轉一個微小角度，而后釋放使其自由運動，測出扭擺周期，根據保守系統的機械能守恒定律，計算下盤繞質心軸的轉動慣量。

通常在使用三線擺時會將其視為理想三線擺，擺線為輕質擺線，忽視其慣性參數對測量結果的影響。三線擺類似于單擺，其運動方程并非線性微分方程。而為了計算方便，常常將方程中的正弦函數近似一階線性化處理。對于理想三線擺，擺線長度越長，扭擺時下盤在豎直方向上的位移越小，依據相關的公式，不難得出擺長越長，精度越大的結論。但現實中擺線存在質量，若將繃直的擺線視為均質的剛性桿，其軸向的轉動慣量很小，而徑向的轉動慣量很大，在扭擺過程中擺線將獲得一部分機械能，并且擺線越長，其在系統中所占機械能比重也越大，對測量結果造成的誤差也隨之增大。當擺線對測量造成的影響不可忽略時，應針對擺線的影響具體分析。

為了解決三線擺的測量誤差問題，現有的辦法是在搭建三線擺之后對三線擺進行標定，改進三線擺的參數。根據唐曉峰給出的標定方法，選用兩個已知慣性參數的標準質量塊置于下盤，使其質心與上下盤質心共線，分別測出扭擺周期，進一步可獲得改進后的下盤質量和擺長。胡志強和胡勇搭建了測量動力總成的三線擺，對標定的結果進行了驗證，證實使用標定后的參數計算的轉動慣量的誤差均可達到1%以下。PREVIATI采取標定非線性微分方程參數的方法，將運動方程用泰勒公式展開到四階，用最小二乘法求得該三線擺在特定擺幅下的轉動慣量計算公式；經過實驗驗證，該方法同樣能將誤差控制在1%以下，且對于大擺角振蕩同樣具有很高的精確性。以上方法只針對特定的三線擺進行標定，更換三線擺后需要重新標定，并沒有深入討論擺線在三線擺系統中能量轉化層面的影響。并且PREVIATI的方法較為復雜，在小擺角的實驗中，運動方程高階展開帶來的精度提升并不顯著。葛宇宏、葛志利首次研究了擺線質量對測量的影響，從能量的角度對擺線的運動進行近似分析，通過哈密頓原理推導了包含擺線參數的轉動慣量計算公式，證明其公式對精度的提升作用。一般物理實驗使用的三線擺通常尺寸較小，使用細金屬絲作為擺線材料，擺線質量可以忽略不計。而發動機動力總成質量多為幾百公斤，在設計三線擺時通常會選用鋼絲繩作為擺線材料，其長度和密度均很大，勢必會對測量產生影響。

本文作者將采用不同于葛宇宏等的方法研究擺線的運動，將擺線視為直徑足夠小的剛性桿，從能量守恒的角度推導出考慮擺線質量參數的剛體轉動慣量測量的改進公式，與葛宇宏等的計算方法相比更為簡便。本文作者還研究了一種可行的三線擺建模方法，采用虛擬樣機技術在ADAMS/View環境建立三線擺虛擬實驗平臺，使用該模型對文中提出的測量改進方法進行驗證，并進一步研究了擺線的線密度和長度對測量誤差的影響規律。

1 改進的三線擺測量方法

1.1 不考慮擺線的計算方法

剛體慣性參數三線擺測量模型的原理如圖1(a)所示，和分別表示上盤和下盤半徑，為上下盤圓心距離，3根擺線的長度均為，且懸掛點之間以120°角分布。測量前，將三線擺下盤轉過微小角度，此時下盤上升微小高度，如圖1(b)所示，可得

(1)

式中：

=-=-(-)

(2)

′=′-′′=-(+-2cos)

(3)

圖1 三線擺模型示意

對于分母項，由于微小高度遠小于，可得

+′=2-≈2

(4)

將式(2)—式(4)代入式(1)，則

(5)

忽略空氣阻力，將三線擺系統視為保守系統，在扭擺過程中機械能守恒，定義平衡位置的勢能為0，忽略扭擺過程中豎直方向的平動動能，列出能量守恒公式

(6)

式中：表示下盤關于質心的轉動慣量；表示下盤的質量；為機械能常數。當下盤轉到最大轉角，此時動能∑=0，勢能∑達到最大，根據式(5)中和的關系，有

(7)

聯立式(6)和式(7)，將d單獨放在等式左邊，可得

(8)

對式(8)兩邊積分，得到周期的計算公式

(9)

整理可得實驗中被測剛體的轉動慣量

(10)

實驗測量中需測量空載時下盤回轉周期，從而計算下盤的轉動慣量；然后測量帶被測物體下盤的周期，由此算出下盤和物體總轉動慣量，減去下盤的即為被測物體的轉動慣量

(11)

式中：為被測剛體質量；為下盤質量；為物體關于質心的轉動慣量。在測量時應確保被測剛體質心位于下盤的旋轉軸線上，如圖2所示。

圖2 三線擺實驗簡圖

1.2 考慮擺線的計算方法

當被測剛體較大，為了滿足承載要求，擺線可能設計得較粗，此時擺線質量對被測剛體轉動慣量測量結果的影響不能忽略。考慮在低速運動狀態下，擺線始終保持拉伸繃直狀態，可將擺線當做桿進行分析計算，擺線上的各點速度大小呈線性分布，如圖3所示，最下端點的速度即為下盤外徑線速度，最上端點與上盤連接，速度為0。在微小擺角的情況下，認為速度方向始終垂直于桿方向。下盤擺動角速度為，半徑為，有

=

(12)

圖3 擺線速度分布

設桿的線密度為，微元d的動能為

(13)

當下盤轉過角度，微元的重力勢能為

(14)

對式(13)和式(14)兩邊積分，得到單根擺線的動能和勢能分別為

(15)

(16)

綜上，列出能量守恒公式

(17)

當下盤轉動到最大角度，此時動能∑=0，勢能∑達到最大，有

(18)

類似地，聯立式(17)和式(18)并積分，整理可得改進后的被測剛體轉動慣量為

(19)

實際測量物體時需要測量空載和負載兩種情況下周期，與上一小節所述方法類似，被測物體的轉動慣量為

(20)

和式(11)相比，式(20)在計算被測剛體轉動慣量時考慮了擺線參數的影響，其中“”表示單根擺線的質量。

2 ADAMS仿真虛擬驗證

2.1 三線擺虛擬樣機模型

如圖4所示，在ADAMS/View中建立三線擺虛擬樣機測試平臺，上盤和下盤材質均勻分布，半徑均為600 mm，上下盤間距6 000 mm，通過3根擺線相連接，擺線連接點在上下圓盤上呈120°分布。李永波、魏禹將圓柱形繩索離散為若干小段通過彈性襯套相互連接，研究繩索的動力學特性。擺線用Cable模塊進行建模，由于該模塊要求繩索至少需要穿過1個滑輪，故將3個滑輪固定于上盤，3根Cable上端連接于上盤中心位置并與上盤固定，如圖5所示。滑輪與Cable上半段跟隨上盤運動，實際上不因參與扭擺而影響測量結果。設計下盤最大載質量1 000 kg左右，所需擺線最小破斷拉力大于10.2 kN。選用鋼絲繩作為擺線材料，根據GB/T 9944—2015可知公稱直徑8.0 mm的6×19-WSC鋼絲繩最小破斷拉力為36.1～40.1 kN，參考質量為25.8 kg/100 m，具體參數見表1。

圖4 三線擺虛擬樣機模型

圖5 滑輪-繩索建模

表1 三線擺參數

被測剛性質量塊的質心位于下盤軸線上，如圖6所示。從模型中能直接獲取其慣性參數作為基準值：質量=561.672 kg，關于質心軸的轉動慣量=2.434×10kg·mm，以此對此改進的三線擺測量方法進行驗證。考慮小角度下的扭擺情況，令=5°，設置步長0.001 s。在上盤的質心處添加一個旋轉驅動，設置階躍函數，使上盤在0.1 s內產生5°的角位移，帶動下盤扭擺，獲取空載和負載兩種工況下的扭擺周期和，由此計算物體的轉動慣量。

圖6 被測剛體質量塊模型

2.2 三線擺測量仿真分析

(1)不考慮擺線慣性

將Cable參數中的Inertia開關設為off，此時擺線質量為零即=0，仿真得到下盤角位移-時間曲線,如圖7所示。

圖7 角位移變化曲線(忽略擺線質量)

取前10個周期，通過空載和負載工況下盤角位移的峰值時間，可計算得到和分別為3.475 s和1.852 s，代入公式(11)，有

(21)

(2)考慮擺線慣性

將Cable參數中的Inertia開關設為on，仿真得到的下盤的角位移-時間曲線見圖8。同樣地，根據前10個周期的峰值時間，可獲得和分別為3.970 s和1.984 s。代入式(11)，得

=2504×10kg·mm

(22)

(23)

式中：為在模擬現實工況下根據公式(11)的計算結果；為誤差。而將和代入式(20)，已知=1.548 kg，得

=2469×10kg·mm

(24)

(25)

式中：為改進后根據公式(20)的計算結果；為誤差。

結果表明文中提出的改進的三線擺測量方法可有效降低剛體轉動慣量的測量誤差。

圖8 角位移變化曲線(考慮擺線質量)

3 擺線參數影響分析

根據式(19)和(20)可知，若假設擺線直徑相同、材質均勻，則對測量結果產生影響的擺線參數包括線密度和長度。下面通過仿真對這兩個參數分別進行靈敏度分析虛擬實驗。

3.1 線密度ρ

在三線擺虛擬樣機模型中，保持擺線長度為6 000 mm，更改材料密度參數，進行多次仿真。下盤和物體總質量約為600 kg，鋼絲繩破斷拉力需在6 kN以上，由此設置擺線模型的參考質量區間為10～60 kg/100 m，仿真結果見表2。可以看出，改進前、后的測量結果誤差與擺線的線密度近似呈線性關系：

=(127157-0003 19)×100

=(63506-0001 35)×100

式中：的單位為kg/mm。

若要提高測量的精度，應在不影響結構安全的情況下盡量選擇線密度更小的擺線材料。另外觀察到改進后的公式相較于不考慮擺線影響的測量結果誤差下降50%左右，即便是該范圍內最大線密度60 kg/100 m的鋼絲繩，測量誤差也從改進前的7.391%下降為3.689%，對精度的提升十分明顯。

表2 不同ρ值下的仿真結果

3.2 擺線長度L

保持擺線的線密度為25.8×10kg/mm不變，更改擺線長度，進行多次仿真實驗。設置擺線長度區間為2 000～8 000 mm，仿真結果見表3。可以看出，在實際測量中，擺線并非越長越好。在≤3 000 mm時，擺線越長，所引起的測量誤差越小；超出這個范圍，誤差隨著的增大而增大，但改進后的公式對于誤差的降低作用依然明顯。針對該模型參數，最佳的擺線長度在3 000 mm附近，分析結果可以指導實驗設計。

表3 不同L值下的仿真結果

4 結論

基于能量守恒定律推導了考慮擺線質量參數時的三線擺剛體轉動慣量計算方法。在ADAMS/View中建立了測量大質量物體轉動慣量的三線擺虛擬樣機測試模型，通過虛擬實驗驗證三線擺計算方法的正確性，并揭示了擺線線密度和長度對測量精度的影響規律。整體上，改進后的計算方法比不考慮擺線影響的測量結果誤差約降低50%左右。為了提高三線擺法測量精度，可在許可范圍內盡可能選取較小的擺線密度和最優的擺線長度，文中方法可指導實驗平臺設計。