構(gòu)建“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”模型 巧解追及相遇問題

李京軍 牛金鑫

(山東省淄博市臨淄中學(xué))

追及相遇是日常生活中一類比較典型的運(yùn)動(dòng)問題,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).學(xué)生在分析此類問題時(shí),常會(huì)在尋找物體間的位移關(guān)系、時(shí)間關(guān)系和速度關(guān)系的過程中,顧此失彼,錯(cuò)誤頻出.其實(shí),認(rèn)識(shí)到運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,以其中一個(gè)物體為參考系,通過構(gòu)建“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”模型,可使該類問題的求解過程簡潔明快,達(dá)到事半功倍的效果.下面結(jié)合例題進(jìn)行說明,以期能夠?qū)ψx者有所啟發(fā).

1 模型構(gòu)建

1.1 問題情境

為了打擊超載、超速、酒駕等違法行為,在成都的三環(huán)路川蒙立交路段,一輛值勤的警車停在匝道邊督查車輛超速、超載情況.當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊有一輛勻速行駛的貨車嚴(yán)重超載時(shí),立即啟動(dòng)警車去追趕,假設(shè)超載貨車的速度為v0＝54km·h－1,警車做加速度大小為a＝5m·s－2的勻加速直線運(yùn)動(dòng),不計(jì)警員的反應(yīng)時(shí)間和警車的啟動(dòng)時(shí)間.

(1)警車追上超載貨車前,兩車相距的最遠(yuǎn)距離為多少?

(2)警車啟動(dòng)后多長時(shí)間追上超載貨車?

分析這是一道常見的水平方向的追及相遇問題,常見的求解方法有過程分析法、解析法、圖像法等.在運(yùn)用常規(guī)思路進(jìn)行求解時(shí),學(xué)生往往會(huì)在位移關(guān)系的尋找、函數(shù)關(guān)系的解析和運(yùn)動(dòng)圖像的轉(zhuǎn)換中出現(xiàn)諸多問題.

有沒有其他的分析方法,可避免這些問題的出現(xiàn)呢?

1.2 運(yùn)動(dòng)類比

1)豎直上拋運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

豎直上拋運(yùn)動(dòng)的初速度v0豎直向上,加速度為重力加速度g,方向豎直向下,其運(yùn)動(dòng)性質(zhì)為有往復(fù)的勻變速直線運(yùn)動(dòng);運(yùn)動(dòng)過程包含勻減速上升和勻加速下降兩個(gè)對(duì)稱的過程,如圖1所示.

圖1

2)警車相對(duì)貨車的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

以貨車為參考系,警車具有水平向左的初速度v0和水平向右的加速度a,其相對(duì)貨車的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)亦為有往復(fù)的勻變速直線運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)過程包含向左勻減速和向右勻加速兩個(gè)對(duì)稱過程,如圖2所示.

圖2

1.3 建構(gòu)模型

通過前面的類比分析不難看出,警車相對(duì)貨車的運(yùn)動(dòng)與豎直上拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是相同的.這里通過巧選參考系,從相對(duì)運(yùn)動(dòng)的角度可將警車的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”.注意模型構(gòu)建后所涉及的位移、速度和加速度均為相對(duì)位移、相對(duì)速度和相對(duì)加速度.

1.4 解決問題

(1)警車運(yùn)動(dòng)到“豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)”時(shí),兩車相距最遠(yuǎn),最遠(yuǎn)距離

(2)警車返回到“豎直上拋運(yùn)動(dòng)的初始位置”時(shí),警車追上貨車,所用時(shí)間

2 模型應(yīng)用

例1第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日在北京開幕.越野滑雪是冬奧會(huì)的一個(gè)重要項(xiàng)目,若某次比賽中運(yùn)動(dòng)員甲以v1＝10 m·s－1的速度向終點(diǎn)滑行,在他后方x0＝32m 處的運(yùn)動(dòng)員乙的速度為v2＝8m·s－1,此時(shí)乙將以加速度a2＝1m·s－2開始沖刺.設(shè)乙開始沖刺時(shí)為0時(shí)刻,運(yùn)動(dòng)員的沖刺過程均可視為勻變速直線運(yùn)動(dòng).

(1)乙追上甲前距離甲的最遠(yuǎn)距離為多少?

(2)4s末乙距甲的距離為多少?

解析以甲為參考系,乙相對(duì)甲具有向后的初速度

向前的加速度

乙相對(duì)甲做“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”.

(1)當(dāng)乙運(yùn)動(dòng)到“豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)”時(shí),與甲相距最遠(yuǎn),最遠(yuǎn)距離

(2)t＝4s時(shí),由“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”的規(guī)律可知,乙距甲的距離

例2如圖3所示,離地面足夠高處有一豎直空管,管長為l＝0.2 m,M、N為空管的上、下兩端,空管以恒定的速度v0向下做勻速直線運(yùn)動(dòng),同時(shí)在空管下端距離d＝0.25m 處有一小球開始做自由落體運(yùn)動(dòng),g取10m·s－2.

圖3

(1)若經(jīng)過t0＝0.2s,小球與N點(diǎn)等高,求空管的速度大小v01;

(2)為了使小球在空管內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長,求空管的速度v02的大小和這個(gè)最長時(shí)間.

圖4

解析以空管為參考系,小球具有豎直向上的初速度v0和豎直向下的加速度g,可視為小球相對(duì)于空管做“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”,其運(yùn)動(dòng)過程示意圖如圖4所示.

(1)小球與N點(diǎn)等高時(shí),有

(2)當(dāng)小球做“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”的最高點(diǎn)與空管的M端等高時(shí),小球在空管內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長.

小球與M點(diǎn)等高時(shí),則有

故小球在空管內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間

點(diǎn)評(píng)本題涉及的是豎直方向的追及相遇問題,情境新穎,運(yùn)動(dòng)過程較為復(fù)雜.從常規(guī)思路進(jìn)行分析求解,需要有較強(qiáng)的空間想象能力和一定的綜合分析能力.這里通過改選參考系,構(gòu)建小球的“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”模型,將多物體的運(yùn)動(dòng)過程轉(zhuǎn)化為單一物體的運(yùn)動(dòng)過程,從而在動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化和結(jié)合中使問題得以順利解決.

從本質(zhì)上來講,追及相遇問題歸根結(jié)底是相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題,因此,在很多情況下,認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,合理選擇參考系,可使復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程和問題情境變得簡潔而清晰,從而在參考系的轉(zhuǎn)化和運(yùn)動(dòng)模型的重新構(gòu)建中,有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)物理規(guī)律的深度理解,豐富學(xué)生的解題思路,真正提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.而模型的構(gòu)建、歸類和應(yīng)用作為物理學(xué)的重要內(nèi)容,也必然是新高考中突出考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn).

(完)