聲衍射相移對深海會聚區焦散結構的影響*

張海剛 馬志康 龔李佳? 張明輝 周建波

1) (哈爾濱工程大學,水聲技術重點實驗室,哈爾濱 150001)

2) (哈爾濱工程大學,海洋信息獲取與安全工業和信息化部重點實驗室,哈爾濱 150001)

3) (哈爾濱工程大學水聲工程學院,哈爾濱 150001)

4) (西北工業大學航海學院,西安 710072)

本文從射線-簡正波理論出發,推導了計及衍射相移時聲線跨距、傳播時延與群速度的表達式,在此基礎上給出了一種包含衍射相移影響的深海會聚區焦散結構計算模型.對典型深海聲道中第一個上會聚區的仿真研究表明: 高頻條件下純折射(refracted-refracted,RR)型會聚區有3 條焦散線,海面反射(refracted surfacereflected,RSR)型會聚區有4 條焦散線.通過與高頻結果對比,低頻條件下計及衍射相移后發現,界面反射相移引起的水平位移使RR 型焦散線向靠近聲源的方向水平偏移,使RSR 型聲線額外多產生數條焦散線,而聲波以非均勻波形式傳播時產生的位移使RR 型焦散線向遠離聲源的方向水平偏移.頻率升高后,聲衍射效應減小,焦散結構趨于經典射線理論的計算結果.本文給出的模型物理意義清晰,計算簡便準確,彌補了經典射線理論在低頻條件下適用性不強的缺陷.

1 引言

深海的大深度特征使聲速剖面大體上呈現穩定的二元分層結構[1],在溫躍層呈負梯度分布,在深海等溫層呈正梯度分布,這種聲速結構有利于聲波在水中折射反轉,形成深海會聚區效應.對會聚區聲傳播損失、焦散結構以及傳播時延的準確預報一直是水聲學研究的重點,深海的大深度特征容易滿足射線聲學的高頻近似條件,使射線方法被廣泛用于研究會聚區的聲場特性.Hale[2]最先用射線方法研究了會聚區的空間位置及場強增益.Brekhovskikh[3]給出了焦散線與聚焦因子的計算方法.Urick[4]對不同聲源深度下會聚區的焦散結構進行了研究.張仁和[5-7]提出適合快速計算的廣義相積分理論,并解決了Wenzel-Kramers-Brillouin (WKB)近似下聲強在會聚區發散的問題.Bongiovanni等[8]將溫度參數嵌入射線模型,研究了海水溫度對會聚區寬度與位置的影響.在2014 年的南海實驗中,大深度(3146 m)矢量水聽器接收到了下反轉點會聚區的聲信號[9],隨后樸勝春等[10]用射線-簡正波理論研究了實驗中下反轉點會聚區的焦散結構及傳播損失大小.對會聚區的形成機理有了充分認識后,海洋環境對會聚區的影響也逐步得到了重視.張青青等[11]分析南海北部的聲傳播實驗數據,發現跨海溝條件下聲場有特殊的會聚效果.張鵬等[12]在南海實驗中觀察到了不同于深海折射型會聚區的海底反射型聲會聚現象,進一步研究了起伏海底地形對會聚區位置與聲強的影響.楊帆等[13]利用譜系聚類方法將北大西洋聲速剖面分為六類,研究了不同類型聲速剖面下的會聚區聲場特征.中尺度渦、內波與鋒面等海洋動力學過程也會改變會聚區的位置與傳播損失[14-16].此外,對于遠距離聲傳播,地球曲率對會聚區位置、傳播損失以及傳播時延有顯著影響[17].

上述工作主要側重于研究中高頻段會聚區的形成機理及海洋環境對會聚區的影響,當聲波頻率變低時,會聚區的位置也會隨頻率改變而發生明顯變化.Guthrie等[18]曾在實驗中觀察到13.89,111.10 Hz 兩個頻率下的會聚區位置不一致.此外,張海剛等[19]進一步研究發現,低頻時會聚區位置由聲波頻率與聲源深度決定,經過理論推導給出了不同聲源深度下會聚區發生水平偏移時對應的頻率上限,但沒有揭示發生該現象的物理機理.上述現象很難用經典射線理論解釋,因為經典射線理論不包含與頻率有關的衍射項,計算得到的焦散結構與實際情況不符[20].簡正波理論雖然是波動方程的精確解,但計算結果沒有射線理論簡潔直觀,無法描述會聚區的空間幾何特征.高頻時將本征函數通過WKB 近似與聲線等效可以一定程度兼顧簡正波與射線理論的分析優勢[21],但頻率變低時這種等效關系會發生明顯失真[22,23].目前尚未見到低頻條件下深海會聚區焦散結構形成機理的研究.

經典射線分析方法的局限性在淺海波導(高頻近似條件不容易滿足)中尤為明顯,但研究發現用反射相移可以修正聲線的跨距與時延[24-26].Murphy 與Davis[27,28]還發現聲線反轉點靠近波導界面時會因聲衍射而產生反射相移,并進一步研究得到一個修正的射線理論(modified ray theory,MRT).MRT 可以解釋聲線反轉點靠近波導界面時的特殊聲會聚現象[20].當聲線反轉點遠離波導界面時,MRT 中聲波經過反轉點時的相移變為經典射線理論中的-π/2 常數相移(高頻條件下的理想近似).但本文的研究表明,低頻時聲波經過反轉點的相移看做常數時不能有效補償聲線的跨距、傳播時延與群速度,因此MRT 對聲線參數的修正仍然存在理論上的誤差.受上述研究啟發,為了能在低頻條件下準確計算會聚區的焦散結構,本文在MRT 基礎上,利用非均勻平面波在反轉點引入一個函數相移去補償經典射線在反轉點忽略的水平位移與相應時延,從而使深海波導中的聲線與簡正波能在低頻條件下通過WKB 方法建立準確的等效關系.在此把MRT 中反轉點靠近波導界面時引起的反射相移與在反轉點引入的函數相移統稱為聲衍射相移.研究發現只有同時計及這兩種聲衍射相移后才能準確修正深海波導中聲線的跨距、傳播時延與群速度,在此基礎上給出了一種適合在低頻條件下計算深海會聚區焦散結構的模型,最后通過研究完整深海聲道中不同類型會聚區在低頻時的焦散結構,揭示了低頻時會聚區焦散結構的形成機理.相關結論對研究深海低頻遠程聲傳播規律與解決深海低頻遠程聲探測問題有一定參考價值.

全文分為5 節,第2 節為幾種聲傳播模型及其之間的聯系;第3 節分析經典射線理論在計算低頻聲場參數時的誤差,給出聲衍射相移的定義,并用聲衍射相移修正聲線跨距、傳播時延與群速度,在此基礎上給出一種適合在低頻條件下計算深海會聚區焦散結構的模型;第4 節研究低頻條件下完整深海聲道中會聚區的焦散結構,揭示其形成機理;第5 節為本文結論.

2 深海聲道模型與基本聲傳播理論

2.1 深海聲道模型

全文只考慮距離無關的深海聲道模型,海深H=5000 m,海底為液態半無限空間,海底聲速cbot=1700 m/s,縱波衰減αbot=0.6 dB/λ,λ為聲波波長,海底密度ρbot=1.7 g/cm3,海水密度ρsea=1 g/cm3.聲速分布由Munk 模型[1]給出,其一般形式為

式中C1為聲道軸聲速;ε=BγA/2=7.41×10-3,B=1300 m為標度深度,γA=1.14×10-5m—1為絕熱環境下的聲速梯度;η=2(z -z1)/B為量綱一的距離參數,z1為聲道軸深度.z1取1200 m,C1取1500 m/s,得到圖1 所示Munk 聲速剖面,共軛深度為4117 m,共軛深度到海底的垂直距離為深度余量.

圖1 Munk 聲速剖面Fig.1.Munk sound speed profile.

2.2 基本聲傳播理論

聲場的譜積分表示有非常明確的物理意義與理論分析優勢.對時間因子為e-jωt的簡諧點源聲場,ω為角頻率,利用Fourier-Bessel 變換與Hankel函數的漸近展開式在柱對稱坐標系下求解Helmholtz方程得[29]:

式中,p(r,z) 表示水平距離r、深度z處的聲壓;水平波數kr=ω/cp,cp為相速度;i為虛數單位.

用WKB 近似表示深度函數Z(kr,z) :

式中,+表示上行波,—表示下行波;π/4為高頻時用三角函數近似Airy 函數時引入的相位修正項,所以高頻近似下聲波經過反轉點時相位變化為-π/2;A為幅度系數,z0為聲源深度,kz為垂直波數,其表達式為

其中,k(z)=ω/c(z)為介質波數.將(3)式代入(2)式得到射線理論方程[29]:

假設聲源在聲道軸上方,則上述積分的相位可寫為

式中j表示聲線走過的跨距個數,a,b分別為上下反轉點深度.根據穩相點條件[6,7,27]:

得到聲線走過的水平距離,即

式中,c0為聲源處聲速;θ0為聲線出射掠射角,

為簡化后文公式推導,記上反轉點到聲源與接收器的水平距離以及聲線跨距分別為

根據等相位面條件[30],忽略相速度的頻散效應,求得聲線傳播時延:

則聲線在一個跨距內的傳播時延為

聯立(10c)式與(12)式得到聲線的群速度:

至此得到聲線的出射掠射角、跨距、傳播時延與群速度的表達式,可以看到,經典射線理論中這些物理量均與頻率無關.

只考慮環路積分的離散譜(krn=ω/cpn,cpn為離散化的相速度)貢獻時,(2)式變為簡正波級數解[29]:

式中,φn為本征函數,n為簡正波階數.按照WKB方法[21],本征函數可寫為

式中B1與B2為幅度系數,kzn為離散的垂直波數.將(15)式代入(14)式得到第n階模態的相位表達式:

可以發現(16)式與(6)式具有相同的形式,根據WKB 近似方法,每階模態被表示為一個上行波與一個下行波,聲波走過的跨距、傳播時延與群速度分別由(10)式—(13)式確定.

簡正波的相長干涉周期等效為對應聲線的跨距[21],其表達式為

簡正波的群速度可以通過本征函數在深度方向對聲速剖面的加權平均獲得[31]:

在水中ρ=ρsea,在海底ρ=ρbot.聯立(17)式與(18)式得到簡正波相長干涉周期內的傳播時延:

從(17)式—(19)式可以看出,相較于(10)式—(13)式,簡正波解包含了頻率的影響.

3 考慮聲衍射相移影響的射線理論

3.1 經典射線理論對聲線跨距、傳播時延與群速度的計算誤差

從聲線跨距、傳播時延與群速度三個角度來討論經典射線理論在處理低頻聲場時的局限性,本文中的聲線參數特指這3 個物理量.根據相速度的大小可以把在圖1 波導中傳播的聲線分為3類[19]:1500.0 m/s＜cp＜ 1538.6 m/s為不與波導界面相互作用的純折射(refracted-refracted,RR)型聲線;1538.6 m/s＜cp＜ 1553.6 m/s為經海面反射到達海底前折射反轉(refracted surface-reflected,RSR)型聲線;1553.6 m/s＜cp＜ 1700.0 m/s為海面海底反射(surface-reflected bottom reflected,SRBR)型聲線.

圖2 給出了30 Hz 與100 Hz 時具有相同相速度的兩階本征模態以及聲線軌跡,兩條水平虛線表示聲線上下反轉點所在的深度.從圖2(a)與圖2(b)可以看出,模態幅值在上下反轉點外側并不立刻為0,而是隨深度呈指數關系衰減為0,這部分聲能以非均勻平面波的形式傳播[6],并且頻率越高,非均勻平面波隨深度衰減的速度越快,模態的吉布斯現象[32]越明顯.從圖2(c)可以看出,聲線在上下反轉點與兩條水平虛線相切,表明經典射線理論描述的聲場中,在反轉點外側沒有額外的聲能到達,有聲區與聲影區的界限清晰明顯.

圖2(c)聲線上下反轉點外側的箭頭表示實際聲場中存在的非均勻波,非均勻波在深度方向具有一定的分布范圍.定義從上下反轉點到非均勻波幅值衰減為0 的深度范圍分別為

式中δ為Dirac 函數:

從(18)式可知,非均勻波的幅值對群速度有一定的加權貢獻,低頻時εa與εb較大,經典射線理論忽略了這部分非均勻波的加權貢獻,所以對群速度的計算會產生較為明顯的誤差.當聲波到達反轉點時,以非均勻波的形式水平傳播一段距離,經典射線忽略了這部分水平位移的影響,對聲線傳播距離與傳播時延也會產生較為明顯的誤差.

此外,當反轉點靠近波導界面時,非均勻波會先于反轉點與波導邊界面接觸,以圖2(c)中下反轉點外的非均勻波為例,假如在藍色虛線的位置有一個虛擬的海底界面,此時一部分非均勻波已經侵入海底,侵入的部分用εbot表示.侵入波導界面的非均勻波將根據波導界面的性質發生相應的反射,此時將產生額外的反射相移,低頻時這部分相移對聲線參數也會有明顯貢獻,Murphy 與Davis[27,28]對這部分內容做了詳細討論,但并沒有考慮到εa與εb對聲線參數產生的影響.

圖2 不同頻率下的本征函數與聲線軌跡示意圖 (a) 30 Hz 時的RR 型模態;(b) 100 Hz 時的RR 型模態;(c) 與本征函數對應的聲線軌跡Fig.2.Eigenfunctions at different frequencies and schematic diagram of a sound ray trace: (a) RR mode at 30 Hz;(b) RR mode at 100 Hz;(c) a ray corresponding to the eigenfunction.

通過總結得到3 種聲波經過反轉點時的物理圖像:

1) 經典射線: 入射波→反轉點→反射波→產生-π/2 常數相移;

2) MRT: 入射波→反轉點→反轉點靠近波導界面時,非均勻波經波導界面反射而引起相應的水平位移→反射波→在-π/2 常數相移基礎上計及了額外的反射相移(圖2(c)中εpr與εbot的貢獻,εpr表示上反轉點外非均勻波侵入海面(經海面反射)的部分);

3) 本文: 入射波→反轉點→以非均勻波形式水平傳播一段距離→反射波→在MRT 基礎上計及了聲波以非均勻波形式傳播時產生的相移(圖2(c)中εa與εb的貢獻).

圖3(a),(c),(e)分別為不同頻率下射線方法與簡正波方法對聲線跨距(相長干涉周期)、傳播時延與群速度的計算結果.由于射線解與頻率無關,不同頻率下的射線計算結果一致,如圖3 中黑色實線所示.以簡正波的結果為真值,圖3(b),(d),(f)分別為不同頻率下射線方法對跨距、傳播時延與群速度的計算誤差.圖3 每幅子圖中左側黑色虛線表示海面聲速1538.6 m/s,右側虛線表示海底聲速(水中)1553.6 m/s,相速度由小到大接近波導界面聲速時表明聲線反轉點在逐漸靠近波導界面.以30 Hz為例,當1500 m/s＜cp＜ 1527 m/s 時誤差均小于0,在其他相速度區間誤差大于0,當相速度接近波導界面時,誤差達到極大值.可以預見,當頻率逐漸升高時,εa與εb逐漸減小,誤差整體上將趨于零.

圖3 不同頻率下經典射線理論與簡正波理論的計算結果以及經典射線理論的計算誤差 (a) 聲線跨距;(b) 距離誤差;(c) 傳播時延;(d) 傳播時延誤差;(e) 群速度;(f) 群速度誤差Fig.3.Calculation results of classical ray theory and normal mode theory at different frequencies and the calculation errors of classical ray theory: (a) Ray skip distance;(b) distance error;(c) traveling time;(d) traveling time error;(e) group velocity;(f) group velocity error.

3.2 聲衍射相移

通過3.1 節的分析可知,低頻時非均勻波對聲場參數有著重要影響,首先其幅度對群速度有直接的加權貢獻,其次聲波經過反轉點時以非均勻波形式水平傳播一段距離,進而影響到聲線的水平位移與時延.通過觀察非均勻波在深度方向的分布范圍εa與εb以及圖3(b),(d)發現,聲波經過反轉點時以非均勻波形式水平傳播的距離與相應時延與εa,εb有著一致的變化規律,之間相差一個與聲速梯度有關的常數,通過數值尋優確定常數的取值后,在此結合模態本征函數定義上下反轉點外聲波以非均勻波形式水平傳播時產生的相移分別為

式中c′(a)與c′(b) 分別為上下反轉點處的聲速梯度.

根據MRT,反轉點靠近絕對軟邊界(海面)時引起的反射相移可以寫為[27]

靠近海底阻抗邊界時引起的反射相移可以寫為[28]

(23)式中Ai與Bi分別表示Airy 函數與Biry 函數,τ為Airy (Biry) 函數宗量,當反轉點在波導內部時:

當反轉點超出波導邊界時需要將聲速剖面進行延伸,此時

τ=0 表示反轉點恰好位于波導邊界,|τ|越大表示反轉點離波導邊界越遠.在(24c)式與(24d)式中,|τ|越小還可理解為聲波的入射角越大.根據MRT理論,聲波以大入射角入射到界面時也將產生反射相移[27,28],但τ的取值與頻率有關,不同頻率下的大入射角入射條件也不同.為了方便敘述,在此給出一個聲波滿足大入射角入射的判據:

對于任意頻率的聲波,當τ滿足(25)式時,認為聲波以大入射角入射到波導界面,此時根據該頻率下τ的取值范圍就可以確定聲線入射角(或相速度)的取值范圍.

κ的取值與反轉點與波導界面的相對位置有關:

很明顯,無法用經典射線理論解釋(22)式與(23)式的產生機理.1974 年,Murphy 和Davis[27,28]把(23)式的產生歸結為聲衍射效應.反轉點外的非均勻波通常被認為是聲能在影區的泄漏,被視為一種聲衍射效應,通過引入復射線或衍射聲線可合理解釋影區內的聲場[33,34].為了敘述方便,在此把(22)式與(23)式合并稱為聲衍射相移.聲衍射相移影響聲場參數的顯著特點是: 隨頻率升高相移對聲場參數的影響逐漸減小,當頻率足夠高時衍射相移的影響通常可以忽略.

3.3 采用衍射相移修正聲線的跨距、傳播時延與群速度

重新利用穩相點條件,得到上下反轉點處聲波以非均勻波形式傳播時的水平位移ra與rb,以及海面海底反射相移引起的聲線水平位移rpr與rbot:

重新利用等相位面條件,得到上下反轉點處聲波以非均勻波形式傳播產生的時延ta與tb,以及海面海底反射相移對傳播時延的貢獻tpr與tbot:

圖4(a)中藍色點線為30 Hz 時ra的取值情況,由(22a)式與(27)式可以看出,ra的大小與聲速梯度以及非均勻波是否接觸波導界面有關.根據非均勻波是否接觸波導界面將相速度區間分為兩種,當1500 m/s＜cp＜ 1519 m/s 時,非均勻波不與海面接觸.當cp＞ 1519 m/s 時,非均勻平面波開始接觸海面,相速度越大非均勻波經海面反射的部分越多,ra迅速呈線性減小.當cp=1538.6 m/s時,上反轉點與海面相切,非均勻平面波全部經海面反射,ra=0.圖4(a)中黑色虛線表示30 Hz時rb的取值情況,當1500 m/s＜cp＜ 1544 m/s 時,非均勻波不與海底接觸.當cp＞ 1544 m/s 時,非均勻波開始接觸海底,隨著相速度增大,rb迅速呈線性減小.當相速度cp=1553.6 m/s 時,下反轉點與海底相切,非均勻平面波全部經海底反射,rb=0.圖4(a)中紅色實線與綠色虛線分別表示100 Hz 時ra與rb的取值情況,曲線隨相速度的變化規律與30 Hz 時一致,只是由于頻率變高,非均勻波的分布范圍ε1變小,對傳播距離的貢獻變小,同時接觸界面時的相速度變大.當相速度cp＞1530 m/s 時上反轉點外非均勻平面波開始接觸海面,cp＞ 1550 m/s 時下反轉點外非均勻平面波開始接觸海底.

圖4 不 同頻率 下聲衍 射對距 離與時 延的貢 獻 (a) ?a 與 ?b對傳播距 離的貢 獻;(b) ?a 與 ?b對傳播時 延的貢 獻;(c) ?pr 與 ?bot 對傳播距離的貢獻;(d) ?pr 與 ?bot 對傳 播時延的貢獻;(e) Δr;(f)ΔtFig.4.Contribution of sound diffraction to propagation distance and traveling time at different frequencies: (a) Contribution of?a and ?b to propagation distance;(b) contribution of ?a and ?b to traveling time;(c) contribution of ?pr and ?bot to propagation distance;(d) contribution of ?pr and ?bot to traveling time;(e) Δr;(f) Δt.

圖4(c)中藍色點線為30 Hz 時rpr的取值,根據上文分析,當1500 m/s＜cp＜ 1519 m/s 時聲波不接觸海面,沒有產生反射相移.當cp＞ 1519 m/s時,非均勻波開始接觸海面產生反射相移,隨著相速度增大,非均勻波經海面反射的部分增加,rpr迅速增加.當cp=1538.6 m/s 時,非均勻波完全經海面反射,rpr達到最大.隨著相速度繼續增大,當1538.6 m/s＜cp＜ 1568.0 m/s 時,聲波滿足大入射角入射條件(25a)式.根據MRT 可知,大入射角入射時仍然會產生海面反射相移[27,28],隨著相速度增大,聲波入射角逐漸變小,rpr呈指數減小.當cp＞ 1568 m/s 時,τ的絕對值較大,大入射角入射條件被破壞,聲波近似在海面發生鏡反射,此時rpr=0.圖4(c)中黑色虛線表示30 Hz 時rbot的取值大小,當1500 m/s＜cp＜ 1544 m/s 時,聲波不接觸海底,此時rbot=0.當cp＞ 1544 m/s 時,非均勻波開始接觸海底產生反射相移,隨著相速度增大,非均勻平面波經海底反射的部分增加,rbot迅速增加.當cp=1553.6 m/s 時,非均勻波完全經海底反射,rbot達到最大.同理,當1553.6 m/s＜cp＜1556.0 m/s時,可以認為聲波以大入射角入射到海底,滿足(25b)式,此時伴隨有海底反射相移的產生,隨著相速度增大,聲波入射角變小,rbot近似呈指數減小.當相速度大于1556 m/s 后,大入射角入射的條件被破壞,rbot=0.圖4(c)中紅色實線與綠色虛線分別為100 Hz 時rpr與rbot的取值情況,相較于30 Hz,rpr與rbot整體上變小,產生反射相移的相速度區間變窄,當1530 m/s＜cp＜ 1556 m/s時由?pr產生相應的水平位移,在1550 m/s＜cp＜1555 m/s 時由?bot產生相應的水平位移,但整體變化規律與30 Hz 時一致.

圖4(e)中紅色點劃線與藍色虛線分別為30 Hz與100 Hz 時用衍射相移計算得到的一個跨距內的傳播距離誤差:

隨著相速度增大,兩種衍射相移對距離的貢獻此消彼長,Δr的符號也在不斷改變.以30 Hz為例:①當1500 m/s＜cp＜ 1519 m/s 時,θ0較小,上下反轉點離波導邊界面足夠遠,反轉點外的非均勻波不會觸碰波導邊界面,在該區間內模態與相應聲線均不受波導邊界面的影響,此時ra ＞0,rb ＞0,rpr=rbot=0,所以 Δr＜0;② 當1519.0 m/s＜cp＜1538.6 m/s 時,θ0變大,上反轉點外的非均勻波開始觸碰海面產生反射相移,相速度增大時非均勻平面波經海面反射的部分增加,rpr增大,深度余量的存在使該相速度區間內下反轉點離海底仍然足夠遠,下反轉點外側的非均勻波不會與海底相互作用,此時ra ＞0,rb ＞0,rpr＞0,rbot=0;當1519 m/s＜cp＜ 1527 m/s 時,ra+rb ＞rpr,Δr＜0;當cp=1527 m/s 時,ra+rb=rpr,Δr=0;當1527.0 m/s＜cp＜ 1538.6 m/s 時,ra+rb＜rpr,Δr ＞0;③當1538.6 m/s＜cp＜ 1544.0 m/s 時,θ0進一步增大,上反轉點消失,聲線在海面滿足大入射角入射條件(25a)式,隨著相速度增大,入射角逐漸減小,rpr逐漸減小,該相速度區間內下反轉點仍然離海底較遠,不產生海底反射相移,此時ra=0,rpr＞rb ＞0,rbot=0,Δr ＞0;④ 當1544.0 m/s＜cp＜1553.6 m/s 時,下反轉點外側的非均勻波開始觸碰海底,隨著相速度增加,下反轉點外非均勻波經海底反射的部分增加,rbot增大,此時ra=0,rb ＞0,rpr＞0,rbot＞0,rb＜rpr+rbot,Δr ＞0;⑤ 當1553.6 m/s＜cp＜ 1556 m/s 時,聲線在海底滿足大入射角入射條件(25b)式,隨著相速度增大,入射角逐漸減小,rbot逐漸減小,此時ra=0,rb=0,rpr＞0,rbot＞0,Δr ＞0;⑥ 當1556 m/s＜cp＜1568 m/s 時,聲線在海底不滿足(25b)式,此時ra=0,rb=0,rpr＞0,rbot=0,Δr ＞0;⑦當cp＞1568 m/s 時,聲線在海面不滿足(25a)式,此時ra=0,rb=0,rpr=0,rbot=0,Δr=0.

與圖3(b)相比,圖4(e)的計算結果整體上符合真實誤差,但需要強調的是,理想情況下,圖4(c)與圖4(d)中曲線的兩個峰值都應該出現在兩條垂直虛線的位置,但30 Hz 條件下,簡正波階數較少,相速度(水平波數)之間離散程度較大,導致圖4(c)與圖4(d)中30 Hz 對應的曲線峰值略微偏離實際位置.同時由于邊界參數在深度方向的不連續性,在數值差分求解(27)式與(28)式時會產生比較明顯的誤差,與圖3(b)相比,圖4(e)中紅色點劃線第一個峰值偏小約0.2 km,第二個峰值偏小約2.1 km.當頻率變大后,簡正波階數增加,相速度(水平波數)近似隨階數連續變化,計算誤差變小,如圖4(c)與圖4(d)中100 Hz 對應的曲線峰值均準確出現在垂直虛線的位置,邊界參數的不連續性對計算結果的影響也會降低,與圖3(b)相比,圖4(e)中藍色虛線第一個峰值偏小約0.1 km,第二個峰值偏小約0.8 km,計算誤差明顯減小.

圖4(b),(d),(f)為不同頻率下聲衍射相移對傳播時延的貢獻,聲線走過一個跨距的傳播時延誤差為

除數值差異外,傳播時延曲線隨相速度的變化規律與圖4(a),(c),(e)中的規律一致,在此不再贅述.為便于下文定性分析焦散結構的空間分布特性,表1 整理了ra,rb,rpr,rbot與 Δr在不同頻率下,不同相速度區間內的取值符號.

表1 不同頻率下,不同相速度區間內 ra,rb,rpr,rbot 與 Δr 的取值符號Table 1.Values of ra,rb,rpr,rbot and Δr in different phase velocity range at different frequencies.

利用(29)式與(30)式對(10c)式與(12)式補償后分別得到修正后的聲線跨距與傳播時延:

聯立(31)式與(32)式,可以得到衍射相移補償后的群速度:

圖5(a),(c),(e)中紅色圓圈為30 Hz 時對聲線跨距、時延與群速度的修正結果,藍色實線為相同頻率下簡正波的計算結果.根據對圖4 的誤差分析可知,由于邊界參數在深度方向的不連續變化以及低頻時簡正波離散程度較大,相速度接近波導聲速時的補償誤差較大,導致圖5(a),(c),(e)中靠近垂直虛線的個別點的修正結果不理想,除此之外,其他點與簡正波的計算結果均擬合較好.當頻率升高后,簡正波階數增加,相速度(水平波數)近似隨階數連續變化,邊界參數不連續性的影響下降,靠近垂直虛線的點的擬合誤差變小,見圖5(b),(d),(f).

圖5 不同頻率下利用衍射相移對聲場參數的修正結果 (a) 30 Hz 時的聲線跨距;(b) 100 Hz 時的聲線跨距;(c) 30 Hz 時的傳播時延;(d) 100 Hz 時的傳播時延;(e) 30 Hz 時的群速度;(f) 100 Hz 時的群速度Fig.5.Correction results of sound field parameters by diffraction phase shift at different frequencies: (a) Ray skip distance at 30 Hz;(b) ray skip distance at 100 Hz;(c) traveling time at 30 Hz;(d) traveling time at 100 Hz;(e) group velocity at 30 Hz;(f) group velocity at 100 Hz.

通過分析總結可知,經典射線理論的計算誤差由兩個方面引起: 1) 反轉點遠離波導界面時,聲波經過反轉點以非均勻平面波的形式傳播一段距離,此時有相應的相移產生,忽略(22)式會對相位的計算結果產生誤差;2) 反轉點靠近波導界面時伴隨有反射相移產生,忽略(23)式對相位的計算結果也會產生誤差.只有同時計及這兩種衍射相移才能準確修正經典射線理論在計算聲線跨距、傳播時延與群速度時的誤差,通過與簡正波的計算結果對比驗證了(27)式—(33)式的有效性.

3.4 考慮衍射相移影響的深海會聚區焦散結構計算模型

為便于討論,首先對會聚區簡單地進行分類.根據經典射線理論,在圖1 所示的完整深海聲道中,單頻點源產生的聲強可以寫為[3]

式中,I0為單位距離上的聲強.接收器在聲線反轉點時滿足[5]:

所以在反轉點(34)式變為無窮大,產生一次焦散,形成反轉點會聚區.接收器在焦散線上時滿足[3]:

(34)式再次變為無窮大,形成焦散線會聚區.此外,按照聲線類型的不同可以把會聚區分為RR 型會聚區與RSR 型會聚區,根據會聚區相對于聲道軸的位置,又可分為上會聚區與下會聚區.

為了研究聲源在聲道軸以上形成的RR 型上會聚區,張仁和[6]在1982 年根據上反轉點到聲源與接收器的距離以及聲線跨距總結出了以下4 類RR 型折射聲線:

圖6 中紅色曲線為j=1 時聲源深度500 m,接收深度1000 m 時4 類RR 型折射聲線示意圖,水平虛線表示接收深度.可以發現,r1與r2均有一個上反轉點和一個下反轉點,r3只有一個下反轉點,r4有兩個上反轉點和一個下反轉點.這個思路很容易推廣到RSR型聲線,j=1 時,對于RSR 型聲線,r1與r2均有一次海面反射和一個下反轉點,r3只有一個下反轉點,r4有兩次海面反射和一個下反轉點,如圖6 中藍色虛線所示.

圖6 聲源深度500 m,接收深度1000 m 時的四類折射聲線示意圖 (a) r1;(b) r2;(c) r3;(d) r4Fig.6.Schematic diagram of four types of refracted rays where source depth is 500 m and receiver depth is 1000 m: (a) r1;(b) r2;(c) r3;(d) r4.

結合圖6 中四類聲線的特征,利用(27)式與(29)式對(37)式修正后得:

從(38)式可以看出,ra與rb使聲線與聲源之間的水平距離增加,rpr與rbot使聲線與聲源之間的水平距離減小.當Lz=0 時,(38)式就是修正后反轉點會聚區的位置.當聲線滿足條件(36)式時,則可以得到修正后的焦散線會聚區位置.可以預見,衍射相移的引入將重新改變經典射線理論中會聚區的位置,當頻率逐漸升高使衍射相移可以忽略時,(38)式退化為(37)式.

4 低頻條件下會聚區的空間分布特征

反轉點會聚區的位置計算相對簡單,本節主要以第一個上會聚區為例,(37)式與(38)式中j取1,說明如何用第3.4 節的方法計算低頻條件下的焦散線,并討論衍射相移對焦散線的影響.

4.1 低頻條件下RR 型會聚區的焦散線

圖7為聲源深度500 m,接收深度800 m 時不同頻率下RR 型聲線在不同出射掠射角θ0下的水平距離.高頻時衍射相移的影響可以忽略,從圖7中的黑色實線(Ray 表示高頻)可以看出,r2與r3類聲線各有一個滿足(36)式的極小值點,如圖7(b)與圖7(c)中黑色箭頭所示,這表明在該深度r2與r3類聲線將分別在54.9 km 與43.7 km 處發生交會形成焦散點.圖7(b)黑色實線上54.9 —56.2 km范圍內的每個距離處都有兩條出射掠射角不同的r2類聲線到達,這兩條聲線由于聲程的不同將發生相長或相消(或介于二者之間)干涉,距離小于54.9 km 的區域為沒有聲線到達的聲影區,焦散點也通常被理解為有聲區與聲影區的一個邊界點[33].與圖7(b)類似,圖7(c)黑色實線上43.7—45.4 km范圍內的每個距離處也有兩條聲程不同的r3類聲線到達.任何頻率下r1與r4類聲線在該深度均沒有滿足(36)式的點,如圖7(a)與圖7(d)所示,在該深度不形成焦散點.

圖7 聲源深度500 m,接收深度800 m 時不同頻率下RR 型聲線在不同出射掠射角下的水平距離 (a) r1;(b) r2;(c) r3;(d) r4Fig.7.The horizontal distance of RR rays under different initial grazing angles at different frequencies when sound source depth is 500 m and the receiver depth is 800 m: (a) r1;(b) r2;(c) r3;(d) r4.

頻率為30 Hz 時,對于r2類聲線,由表1 知,受衍射相移的影響,當1509.5 m/s＜cp＜ 1527.0 m/s(聲源處聲速為1509.5 m/s,根據折射定律,對應0°＜θ0＜8.7°)時,rbot=0,ra+rb ＞rpr＞0,使當θ0=8.7°時,ra+rb=rpr,使(8.7°＜θ0＜11.2°)時,rbot=0,rpr＞ra+rb ＞0,使根據上述分析可知,圖7(b)中紅色點線與黑色實線在θ0=8.7°時相交: 當0°＜θ0＜8.7°時,紅色點線在黑色實線上方;當8.7°＜θ0＜11.2°時,紅色點線在黑色實線下方.30 Hz 時r2類聲線在θ0=2.9°時出現一個極小值當1527.0 m/s＜cp＜ 1538.6 m/s 55.3 km,如圖7(b)紅色箭頭所示,比黑色實線的極小值略大,這表明該焦散點會在高頻結果的基礎上向遠離聲源的方向水平偏移.當j=1 時,r3類聲線由于只受rb的影響,所以圖7(c)中紅色點線始終在黑色實線上方,并且在θ0=3.8°時有一個極小值44 km,比黑色實線的極小值略大.同理,該焦散點相比于高頻結果會向遠離聲源的方向水平偏移.頻率為100 Hz 時,聲線的水平距離受衍射相移的影響變小,計算結果更加趨近于高頻情況,如圖7 藍色點線所示,但聲線的整體變化規律仍然與30 Hz 時一致,在此不過多贅述.

按照圖7 的方法,遍歷海面至聲道軸(1200 m)整個深度求焦散點得到不同頻率下RR 型會聚區的焦散線,如圖8(a)所示.圖8(a)中黑色實線為高頻條件下RR 型會聚區的焦散線,其中r1類聲線在海面至聲源深度(500 m)之間形成一條焦散線,r2類聲線在聲源深度至聲道軸之間形成一條焦散線,這兩條焦散線在聲源深度相交,形成一個尖點聚焦[33,35],r3類聲線在海面至聲道軸之間形成一條焦散線.圖8(a)中紅色點劃線與藍色虛線分別為30 Hz 與100 Hz 時考慮衍射相移后的RR 型焦散線,因為頻率變低后簡正波的離散程度變大,簡正波對應射線的上反轉點深度并不能在0—1200 m 范圍內連續變化,所以相較于經典射線解,低頻時r1類焦散線與r3類焦散線距離海面仍有一段距離.

圖8 聲源深度500 m (a)不同頻率下RR 型會聚區的焦散線;(b) 3 kHz 時的傳播損失;(c) 100 Hz 時的傳播損失;(d) 30 Hz 時的傳播損失Fig.8.Source depth is 500 m: (a) RR caustics at different frequencies;(b) transmission loss at 3 kHz;(c) transmission loss at 100 Hz;(d) transmission loss at 30 Hz.

從圖8(a)還可以看出,低頻時r2與r3類焦散線均在黑色實線的右側,頻率越低距離黑色實線越遠.30 Hz 時r1類焦散線在0—155 m (100 Hz時為0—90 m)深度范圍內在黑色實線左側,在155—500 m (100 Hz 時為90—500 m)深度范圍內在黑色實線的右側.以30 Hz 時的焦散線為例進行分析.當1527.0 m/s＜cp＜ 1538.6 m/s 時,對應聲線上反轉點深度范圍為0—155 m,參考表1,此時rpr的極大 值會 使r1類聲線產生新的焦 散點,這些焦散點距離聲源的水平距離相較于高頻結果更近.當1509.5 m/s＜cp＜ 1527.0 m/s 情況下,對應聲線上反轉點深度的范圍為155—500 m,此時ra+rb ＞rpr＞0,rbot=0,使＞r1.因 此,在0—155 m 范圍內,r1類焦散線主要受rpr影響,與高頻結果相比距離聲源更近,在155—500 m 范圍內,r1類焦散線主要受ra與rb的影響,在高頻結果的基礎上向遠離聲源的方向水平偏移.遍歷整個深度,r2類焦散線均主要受ra與rb的影響,可以參考圖7(b),所以修正后的r2類焦散線在高頻結果基礎上向遠離聲源方向水平偏移.根據(38c)式可知,當j=1 時r3類焦散 線只受rb的影響,所以r3類焦散線也會在高頻結果基礎上向遠離聲源的方向水平偏移.頻率升高后,衍射效應減小,焦散結構趨于(37)式的計算結果,如圖8(a)中藍色虛線所示.

圖8(b)—(d)為不同頻率下RR 型會聚區的傳播損失,把3 kHz 的聲場視為高頻聲場,圖中曲線為對應頻率下的焦散線,可以看出,在不同頻率下焦散線均準確出現在偽彩圖中低傳播損失的橙紅色高亮區域.根據對圖7(b)與圖7(c)的分析可知,由于在焦散線右側一定距離范圍內的每個距離點均有兩條聲程不同的聲線到達,偽彩圖會呈現出亮暗相間的干涉圖案.從圖8(c)與圖8(d)中還可以看出,在焦散線外側仍有部分聲能延伸到影區內,這是因為低頻時聲能并不能完全限制在聲線管束中傳播,會通過衍射效應泄漏至聲線管束外側,這些聲能隨頻率升高以及離開聲線管束中心的距離迅速衰減,通過復射線理論[33,34]可對其進行合理地解釋.

焦散線作為有聲區與聲影區的分界線,其變化規律影響著會聚區的行為.從圖8(a)可以看出,接收深度100 m 時,頻率越低,r3類焦散線與聲源的水平距離越遠,r1類焦散線在30 Hz 時距離聲源最近,3 kHz 時其次,100 Hz 時距離聲源最遠,接收深度800 m 時,頻率越低,r3類和r2類焦散線均與聲源的水平距離越遠.

選取圖8 中100 m 與800 m 兩個深度的傳播損失進一步驗證(38)式的有效性.圖9(a)為不同頻率下接收深度100 m 時的傳播損失,最左側波峰受r3類焦散線的約束,其中3 kHz,100 Hz 與30 Hz 時波峰橫坐標分別為54.3,54.9,55.5 km,頻率越低波峰距離聲源的水平距離越遠.圖9(a)中最右側波峰受r1類焦散線約束,其中3 kHz,100 Hz 與30 Hz 時波峰橫坐標分別為62.9,63.5,61.6 km,可以看出,30 Hz 時波峰距離聲源最近,3 kHz 時其次,100 Hz 時波峰距離聲源最遠.圖9(b)為不同頻率下接收深度800 m 時的傳播損失,最左側波峰受r3類焦散線約束,3 kHz,100 Hz 與30 Hz 下波峰的橫坐標分別為43.9,44.9,46.1 km.圖9(b)最右側波峰受r2類焦散線約束,3 kHz,100 Hz 與30 Hz 下波峰的橫坐標分別為55.5,56.4,57.4 km,這表明在接收深度800 m 時,頻率越低這些傳播損失曲線波峰距離聲源越遠.經分析,圖9中傳播損失曲線波峰位置隨頻率的變化規律與圖8(a)中焦散線位置隨頻率的變化規律一致.

圖9 聲源深度500 m 時不同頻率下RR 型會聚區的傳播損失 (a) 接收深度100 m;(b)接收深度800 mFig.9.Transmission loss curves of RR convergence zones at different frequencies when source depth is 500 m: (a) Receiver depth is 100 m;(b) receiver depth is 800 m.

4.2 低頻條件下RSR 型會聚區的焦散線

圖10為聲源深度500 m,接收深度800 m 時不同頻率下RSR 型聲線在不同出射掠射角下的水平距離.從圖10 黑色實線可以看出,高頻時四類聲線各有一個極小值,如黑色箭頭所示,根據(37)式可知,在該深度時r1,r2,r3與r4類聲線將分別在59.4,62.0,51.3,68.4 km 處形成焦散點.

圖10 聲源深度500 m,接收深度800 m 時不同頻率下RSR 型聲線在不同出射掠射角下的水平距離 (a) r1;(b) r2;(c) r3;(d) r4 Fig.10.The horizontal distance of RSR rays under different initial grazing angles at different frequencies when sound source depth is 500 m and the receiver depth is 800 m: (a) r1;(b) r2;(c) r3;(d) r4.

對比圖7 與圖10 可以發現一個明顯的不同,RR 聲線受衍射相移影響后,極值點的個數與類型并沒有改變,而RSR 聲線受衍射相移影響后除了出現極小值以外,還出現了極大值,這就使RSR型焦散線會比RR 型焦散線更復雜.受rbot影響,低頻時圖10 中的聲線均主要有兩個極值點.r1,r2,r3與r4類聲線在θ0=13.3°(r4多受一 次rpr影響,θ0=13.2°)時分別出現極大值61.1,63.5,55.9,68.7 km,在θ0=13.6°時分別出現極小值58.7,61.0,53.7,66.1 km.頻率為30 Hz 時,簡正波的離散程度進一步變大,同時衍射相移對聲線距離的影響進一步變大,但與100 Hz 時類似,四類聲線均主要有兩個極值點產生,如圖10 中紅色箭頭所示.

圖11(a)為遍歷海面至聲道軸求焦散點得到的不同頻率下RSR 會聚區的焦散線,可知所有焦散線均覆蓋海面至聲道軸的整個深度.高頻時r1,r2,r3與r4類聲線各形成一條焦散線,如圖11(a)中黑色實線所示,其中r1與r2類聲線的焦散線在聲源深度處相交,r1與r4類、r2與r3類聲線的焦散線在海面處相交.

低頻時r1,r2,r3與r4類聲線各主要形成兩條焦散線,如圖11(a)中藍色虛線與紅色點劃線所示.圖11(b)為3 kHz 時的傳播損失偽彩圖,黑色實線為高頻時RSR 會聚區的焦散線,可以看出,焦散線準確出現在圖11(b)中傳播損失較低的橙紅色高亮帶狀區域.圖11(c)與圖11(d)分別為100 Hz與30 Hz 時的傳播損失,圖中曲線為對應頻率下的焦散線,其中30 Hz 時RSR 型模態個數非常少,水平波數的離散程度較大,模態之間無法有效發生相長干涉產生清晰的“聲線路徑”,所以傳播損失在深度方向呈現出極大值與極小值點交替出現的波動特征(模態本征函數在深度方向零點與極大值點交替出現的特征),導致圖11(d)中沒有出現與焦散線一一對應的高亮帶狀條紋,但焦散線的分布范圍仍與圖11(d)中的低傳播損失區域符合.

圖11 聲源深度500 m (a)不同頻率下RSR 型會聚區的焦散線;(b) 3 kHz 時的傳播損失;(c) 100 Hz 時的傳播損失;(d) 30 Hz時的傳播損失Fig.11.At the source depth of 500 m: (a) RSR caustics at different frequencies;(b) transmission loss at 3 kHz;(c) transmission loss at 100 Hz;(d) transmission loss at 30 Hz.

為進一步說明問題,圖12 給出了接收深度800 m 時不同頻率下RSR 型會聚區的傳播損失,由于30 Hz 時RSR 型會聚區的射線特征并不明顯,在此以100 Hz 與3 kHz 的傳播損失對比分析.頻率為3 kHz 時,圖10 中高頻條件下的四個焦散點導致傳播損失曲線出現四個波峰,如圖12 中灰色曲線所示.在圖12 中52.5 km 與56 km 之間藍色虛線出現三個波峰兩個波谷,該區域為r3型聲線形成的會聚區,根據圖10(c)可以對此做出合理解釋.圖10(c)中藍色點線的極大值55.9 km 可視為r3型會聚區的右邊界,極小值53.7 km(根據對圖4(c)的分析可知,邊界參數在深度方向的不連續性導致對rbot最大值的計算結果會偏小,所以極小值的計算結果會偏大1 km 左右)可視為r3型會聚區的左邊界,在左右邊界之間的距離上有兩條甚至三條聲線到達,這些聲線發生之間根據聲程差的不同發生相長或相消干涉(或介于兩者之間),在該區域形成三個波峰兩個波谷.對圖12 中其余三個會聚區內聲場的分析類似,不再反復說明.

圖12 聲源深度500 m,接收深度800 m 時不同頻率下RSR型會聚區的傳播損失Fig.12.Transmission loss curves of RSR convergence zones at different frequencies when source depth is 500 m and receiver depth is 800 m.

5 結論

為了能在低頻條件下準確計算會聚區的焦散結構,本文結合簡正波理論,從物理層面詳細分析了低頻時經典射線理論產生誤差的原因,推導了考慮衍射相移時聲線跨距、傳播時延與群速度的表達式,給出了一個適合在低頻條件下計算會聚區焦散結構的模型,最后通過一個典型數值算例說明如何使用該模型計算深海會聚區的焦散結構,并分析了低頻時會聚區焦散結構的形成機理.經總結,全文主要結論如下.

1) 通過與簡正波的計算結果對比,只有同時計及界面反射相移以及聲波經過反轉點以非均勻波形式水平傳播時引起的相移才能準確修正經典射線理論中聲線的跨距、傳播時延與群速度.在此基礎上給出了一種計及衍射相移影響的深海會聚區焦散結構計算模型,該模型物理意義清晰,計算簡便準確,當頻率逐漸升高使衍射效應可以忽略時,退化為經典射線理論中的模型.

2) 對完整深海聲道中第一個上會聚區進行了理論分析,研究表明: 高頻條件下(衍射相移被忽略),RR 型會聚區有三條焦散線,RSR 型會聚區有四條焦散線.當在低頻條件下計及衍射相移后,界面反射相移引起的水平位移會使RR 型會聚區的焦散點在高頻結果基礎上向靠近聲源的方向水平偏移,使RSR 型聲線額外多產生數條焦散線.而聲波經過反轉點以非均勻波形式水平傳播時的位移會使RR 型會聚區的焦散點在高頻結果的基礎上向遠離聲源的方向水平偏移.頻率升高后,聲衍射效應減小,會聚區的焦散結構逐漸趨于經典射線理論的計算結果.

以上工作雖然以完整深海聲道環境為前提,但同樣適用于不完整深海聲道.未來將重點利用對時延與群速度的修正結果研究深海聲場的低頻寬帶干涉結構與波導不變量取值分布,揭示其形成機理.