超導薄膜磁-熱不穩定與強非線性電磁本構的關聯性*

王垚 姜璐 周又和 薛存

1) (西北工業大學力學與土木建筑學院工程力學系,西安 710072)

2) (西北工業大學航空學院,西安 710072)

3) (蘭州大學力學與工程科學系,西部災害與環境力學教育部重點實驗室,蘭州 730000)

常規導體的電磁本構關系一般滿足線性歐姆定律,然而超導體的電磁本構關系呈現很強的非線性特征,所以與常規導體相比,超導有截然不同的電磁特性.本文基于超導材料E-J 冪次律本構關系,采用快速傅里葉變換方法(FFT),定量研究了不同環境溫度、磁場加載速率以及臨界電流密度條件下的超導薄膜磁-熱不穩定性與非線性本構的關聯性,揭示了強非線性電磁本構是導致超導薄膜磁-熱不穩定性(呈現樹狀、指狀磁通崩塌形貌)的重要因素,同時闡明了常規導體觀測不到類似的磁-熱不穩定現象的原因.另外發現由于超導薄膜抗磁性的增強導致超導薄膜邊界磁場迅速增大,較大的磁壓極易誘發磁通崩塌,所以超導薄膜內磁通崩塌閾值隨冪指數的增加而降低.最后給出了 n0-jc0 和 n0-μ0 平面內不同非線性程度下超導薄膜內磁熱不穩定狀態的分界線.

1 引言

隨著超導薄膜制備技術的成熟,由超導薄膜制備的超導濾波器、超導量子計算機、超導量子干涉儀等器件顯示出更加優越的性能[1—3].然而,在超導薄膜元件使用過程中,研究人員觀測到了磁熱不穩定現象,這在常規導體中未曾出現過.無論是常規材料還是超導材料,均滿足麥克斯韋方程組,兩類材料的不同之處在于常規導體的電流-電壓關系滿足線性歐姆定律,而超導薄膜的電流-電壓關系比較復雜,具有高度非線性的特性,其中磁通蠕動指數n決定了超導材料電磁本構非線性的程度[4].所以,超導薄膜高度非線性的電流-電壓關系可能與磁熱不穩定性相關,該特性降低了超導材料內磁通運動的穩定性.極大地限制了超導材料的實際應用[5].因此,超導薄膜的非線性特性及其內部磁熱不穩定性[6,7]引起了科研工作者的廣泛關注.

要得到超導材料的電流和磁場分布及其隨時間的演化規律,不僅需要 M axwell 方程組,還要有反映具體材料性質的E-J關系.E-J關系稱為超導材料的電磁本構,其中的參數由具體材料和服役環境決定.一般超導材料的E-J電磁本構具有復雜的強非線性特性.Bean[8]假設超導薄膜臨界電流為常數,建立了著名的Bean 臨界態模型.Kim等[9]基于Bean 模型,考慮了臨界電流的磁場依賴性,給出了Kim 臨界態模型.許多學者利用該模型解析求解了超導圓柱、超導圓盤和超導薄帶內的磁場和電流分布,以及交流損耗問題[10—12].此外,許多研究人員對不同材料的電流-電壓關系進行了大量實驗測量[13—17],研究表明,當溫度超過0 K時,超導內部磁通渦旋就會受到熱激活作用,有一定概率脫離釘扎勢束縛,由于空間變化的磁場導致磁通渦旋運動不對稱,從而整體上看磁通渦旋朝一個方向蠕動(flux creep).所以,超導非線性E-J關系與磁通蠕動有關.為描述超導體中的磁通蠕動,Anderson[18]和Kim等[19]提出了Anderson-Kim 模型,該模型能很好地解釋低溫、低場狀態下的磁通弛豫數據.Zeldov等[20]通過實驗得出釘扎勢U和電流密度存在著對數關系(U=U0ln(Jc/J)),進而提出了冪次律模型 (E=ρ0(J/Jc)n-1J/d).其中,n是與釘扎勢有關的磁通蠕動指數,決定了E-J本構的非線性程度.隨后,許多科學家測量了 B i2Sr2CaCu2O8+δ[21],YBa2Cu3O7[22,23],N b 和 V 等超導材料的V-I曲線,結果表明,采用冪次律模型能夠很好地與實驗數據符合.因此,冪次律模型被廣泛用于磁通蠕動[24,25]、磁通滲透[26—30]、交流損耗[31—35]以及超導磁熱穩定性[36—39]的理論和數值研究中.

磁熱不穩定現象在第二類超導體中已經被實驗觀察到[40],這一現象引起了人們開展相關實驗和理論研究的極大興趣.磁熱不穩定理論認為,第二類超導體處于臨界狀態時,其中的磁通渦旋會同時受到洛倫茲力和釘扎力作用而保持平衡.然而,當外磁場增大時,洛倫茲力會驅動磁通渦旋脫離釘扎而運動,這種磁通運動會產生大量焦耳熱,如果不能及時耗散,將會造成超導材料局部溫度的升高,而溫度的升高又會削弱磁通釘扎力,誘發更多的磁通渦旋運動,正是這樣的一個正反饋,導致磁熱不穩定性的發生.常見的磁通跳躍和磁通崩塌都是磁熱不穩定性的表現形式,其中,磁通跳躍現象常發生在超導塊材和線材中,因為在塊狀或線材超導體中產生的焦耳熱只能通過溫度梯度緩慢地傳播到邊界處釋放,這使得超導材料的溫度需要更長的時間才能恢復到工作溫度.利用實驗手段,科研工作者研究了磁通蠕動、正常狀態電阻率、工作溫度T0、磁場變化速率、樣品與外界環境的換熱條件以及溫度突變對磁通跳躍的影響[41,42].一些學者采用數值模擬方法,研究了平板和塊體中磁通跳躍對各種電磁和熱參數的敏感性[43—47].Wang等[48]提出了一種能夠數值模擬超導線圈中磁通跳躍的方案,定性地研究了 N b3Sn 線材中磁熱不穩定的主要特征.超導薄膜中的磁熱不穩定常以指狀或針狀的磁通崩塌形式出現,因為超導薄膜與基底之間存在良好的熱交換,使得薄膜中由于渦旋運動產生的焦耳熱能夠快速釋放,減小了局部溫度向四周擴散的可能.過去的幾十年中,研究人員利用磁光成像技術(MOI)和其他實驗手段,在 M gB2[49,50],Nb[51—53],YBCO[54,55],Y Ni2B2C[56]等多種超導材料內觀測到磁熱不穩定現象.Wang等[57,58]采用實驗手段研究了激光對超導薄膜磁通崩塌演化過程的影響.為了進一步分析磁通崩塌的發生機制,研究人員采用理論和數值計算方法對磁通崩塌的產生及擴展進行了大量研究[37,39,59—62].Aranson等[63,64]采用線性攝動分析方法和快速傅里葉變換法(FFT)分別對磁通崩塌的觸發條件及演化過程進行了理論數值研究.隨后,Vestg?rden等[36,37,59,60]對FFT 方法進行改進,使其可以計算有限尺寸的超導薄膜內磁通動力學行為,并研究了不同形狀的超導薄膜內磁通崩塌從成核到擴展至形成樹枝狀結構的演化過程.結果表明,雖然在一定條件下可以預測磁通崩塌發生時的磁場閾值,但其發生位置具有隨機性,難以預測.因此,一般認為引發渦旋成核的微小擾動來源于漲落效應.磁通崩塌發生期間,大量磁通穿透超導薄膜并迅速向其內部運動,通常伴隨著局部溫度、電場以及磁矩的跳躍.其發生規模及頻率與環境溫度、磁場加載速率以及熱擴散系數等多種因素有關[65—67].此后,Vestg?rden等[36,37,59,60]采用冪次律模型數值研究了不同形狀的超導薄膜內磁通崩塌的產生及演化過程.Jiang等[68]給出了缺陷誘發薄膜磁通崩塌的新機制.Zhou等[62,65—67,69]研究表明磁通崩塌相關閾值與超導材料及大小、環境溫度、外加磁場及傳輸電流等有關.然而,磁-熱不穩定與強非線性電磁本構的關聯性還不太清楚.本文采用快速傅里葉變換方法研究了具有不同磁通蠕動指數的超導薄膜內的磁通運動和磁熱不穩定性,探討了超導薄膜的本構非線性特性及其對超導薄膜磁熱不穩定性的影響規律.本文其他內容主要包括3 個部分: 首先介紹用于計算超導薄膜內磁通動力學行為及磁熱不穩定性的數值模型及方法,其次討論不同參數情形下超導薄膜內的非線性特性對磁通運動和磁熱不穩定性的影響規律,最后進行總結.

2 理論模型和方法

如圖1 所示,考慮一個寬度為w,厚度為d的正方形超導薄膜,并將該超導薄膜置于溫度始終保持為T0的基底上.當外加磁場等于零時,超導薄膜從正常態冷卻到T0,隨后,外加磁場開始隨時間逐漸增加.

圖1 (a)超導薄膜-基底系統示意圖,外加磁場隨著時間線性增加并始終垂直于超導薄膜表面,其中超導薄膜大小為w×w,數值模擬區域大小為2Lx×2Ly;(b)超導材料E-J冪次本構關系,n為磁通蠕動指數,圖中黃色填充區域對應常見超導材料的 E -J 本構范圍,常規導體對應n=1,即歐姆定律Fig.1.(a) Schematic diagram of the superconducting filmsubstrate system,where the applied magnetic field increases linearly with time and is always perpendicular to the surface of the superconducting film,where the superconducting film size is w × w and the numerical simulation region size is 2Lx × 2Ly;(b) E-J power instanton relationship for superconducting material,n is the flux creep index.The yellow filled area in the figure corresponds to the E-J instantonal range of common superconducting materials.The conventional conductor corresponds to n=1,denoting the Ohm’s law.

為了研究超導薄膜在上述零場冷卻情況下的磁熱不穩定性,通過求解Maxwell 方程并聯立E-J本構關系和熱擴散方程,得到超導薄膜內的磁場和溫度場分布.超導薄膜滿足Maxwell 方程:

其中,B=μ0H,?·J=0.假設超導薄膜厚度遠遠小于其邊長,可以認為是無限薄情形,此時電流密度j的分布可以表示為j(x,y,z)=J(x,y)δ(z),其中J(x,y) 是面電流密度,δ(z)為德爾塔函數.為了計算超導薄膜內溫度場隨著時間的變化,數值求解如下形式的熱擴散方程[36]:

式中,J ·E為焦耳熱,k和c分別為超導薄膜的熱擴散系數和比熱,h是超導薄膜與基底之間的導熱系數,d是超導薄膜的厚度.Schneider等[70]實驗發現低溫環境下 M gB2的熱傳導系數與T3成正比.Denisov等[49]假設c=c0(T/Tc)3,h=h0(T/Tc)3,κ=κ0(T/Tc)3,計算了超導薄膜的磁通崩塌閾值,計算結果與實驗相符合.Vestg?rden等[36]基于這個假設對 M gB2薄膜和Nb 膜的磁通崩塌問題展開了數值研究,獲得了與磁光成像實驗觀測一致的磁通崩塌演化過程.因此本文采用此模型對超導薄膜內溫度分布進行計算.對熱擴散方程兩邊作傅里葉變換并整理,為提高求解穩定性,取T˙(t)→(T(n+1)-T(n))/Δtn,T(t)→(T(n+1)+T(n))/2[37],這里T(n)=F[T(tn)],Δtn=t(n+1)-t(n),得到傅里葉空間的溫度場控制方程:

其中,α=κ/c,β=h/(dc),γ=1/(dc),計算完成后,對T(n+1)作傅里葉逆變換,即可求出溫度場.超導薄膜高度非線性的E-J本構關系可表示為

其中,ρ0表示薄膜內部所有被釘扎住的磁通受到洛倫茲力開始有磁通流動,但整體尚未失超時的電阻率;ρn為正常態時超導等效電阻率.一般情況下,在研究超導薄膜磁-熱不穩定性時,常取ρ0和ρn相等[36].n表示磁通蠕動指數,反映超導材料本構非線性的強弱,與溫度和磁場相關n=-U0(T)[1-B/Bc2(T)]/(kT),U0(T) 表示釘扎勢.然而,本文研究的超導薄膜磁熱穩定性主要與較小磁場(B ?Bc2(T))下的渦旋熱激活跳躍有關,且該過程伴有劇烈的溫度升高,對于這里的n來說,溫度變化占據主導地位.因此,這里忽略了磁場依賴性,采用n=n0(Tc/T),其中,n0是一個與溫度無關的參數.而且該模型可以捕捉非線性渦旋動力學的主要特征,并與大量實驗結果相符合[36,37].從數學方程角度,當n較大時,超導體表現為強非線性;當n較小時,表現為弱非線性;當n=1,則退化到常規導體的線性本構關系,即歐姆定律.如圖1(b)所示,常見超導材料的E-J本構關系都在黃色背景區域內,其特征為電流密度J接近Jc時,電壓發生突變,且隨著n的增大,E-J本構的非線性逐漸增強,當n=∞時,該E-J冪次模型退化為Bean臨界態模型.Tc表示超導薄膜的臨界溫度,Jc表示臨界電流密度,它們之間關系為[36]

在超導薄膜的磁熱穩定性研究中,Jiang等[68]通過采用磁場相關的Jc(T,B) 模型數值研究了超導薄膜邊界裂紋選擇性誘發磁通崩塌的行為,并成功揭示了實驗觀測到的缺口選擇性誘發磁通崩塌的機理.Wen等[71]分別采用磁場相關的Jc(T,B) 模型和磁場無關的Jc(T) 模型與實驗數據做對照.結果表明,采用磁場相關的Jc(T,B) 模型與實驗數據符合良好.由于本文考慮均勻的超導薄膜,且重點關注E-J非線性程度與磁熱穩定性的關聯,所以沒有改變更多的參數.實際上磁場影響了臨界電流密度大小,本文也研究了不同的臨界電流密度對磁熱穩定性的影響.

為方便問題求解,引入局部磁化函數g=g(x,y)來表示面電流密度,兩者之間滿足J=?×z?g,z?表示垂直于薄膜表面的單位向量.根據安培定律,超導薄膜內的電流密度滿足

根據畢奧-薩伐爾定律,磁場分量Bz(r) 滿足

其中,Q(r,r′) 表示格林函數;Ha表示外加磁場;Hz表示超導薄膜內部總磁場,其傅里葉變換為F(Q)=k/2,k=|k|,該式可進一步處理為

其中,F-1表示傅里葉逆變換.因此,超導薄膜內磁場演化模擬可由局部磁化函數得到

將該過程迭代求解s步后,薄膜外g˙(r,t) 變得很小(接近于零),此時 認為(r,t) 就是真實的g˙(r,t).根據g(r,t+Δt)≈g(r,t)+Δtg˙(r,t) 可求得下一時刻的磁化g(r,t+Δt).將上述過程不斷迭代,得到關于局部磁化函數的演化過程.具體過程見參考文獻[36].數值模擬區(2Lx×2Ly)離散為256×256的網格.這里,Lx=Ly=1.3×a,其中a=1.0 mm,為超導薄膜寬度的一半;d=100 nm 表示超導薄膜的厚度.超導薄膜的材料參數為Tc=9.2 K,jc0=Jc0/d=1.2×1011A/m2,ρ0=ρn=5×10-9Ω·m[38].對于熱擴散相關系數,這里選擇κ0=20 W/K·m,h0=104W/K·m2,c0=3×104W/K·m3[38].

3 結果分析與討論

由于超導材料E-J本構關系表現為高度非線性,其中與釘扎勢有關的磁通蠕動指數n決定了超導非線性的程度[4].因此,首先探究了磁通蠕動指數n對垂直外加磁場下超導薄膜的磁通運動和磁熱不穩定性的影響.圖2 給出了參數n0分別為3,15,26 情形下的超導薄膜在基底溫度為2.5 K,磁場加載速率為5 T/s 的環境中的磁通穿透及磁熱不穩定性.初始時刻,薄膜處于邁斯納態,隨著外加磁場的逐步增加,薄膜邊緣處的磁場逐步增大,當外加磁場較小時(μ0Ha=1.8 mT),磁通從超導薄膜邊界平滑(smooth)地向薄膜內部運動,并且磁通穿透速度隨著磁通蠕動指數的增大而顯著減小.這是由于較小的磁通蠕動指數意味著較低的釘扎勢,磁通更容易脫離釘扎向薄膜內部運動,超導體抗磁能力越弱.當n=1 時,(4)式即為描述常規導體的歐姆定律.在垂直外加磁場下,磁通會迅速穿透常規導體薄膜,并均勻地分布.當外加磁場增加至一定值時,由圖2 可知,n0較小時,磁場平滑滲透(smooth penetration)進入超導薄膜,直至接近完全穿透,系統始終處于磁熱穩定狀態.隨著n0增加到一定范圍,超導薄膜內出現磁熱不穩定行為,磁通在超導薄膜邊界成核,并迅速擴展進入薄膜內部,形成樹枝狀圖案.此外,對比圖2(b),(d)和(f) 可以發現,隨著n0的增大,磁通崩塌規模不斷減小,且發生頻率隨之增加.這是由于n0越大,超導薄膜抗磁性越強,外部磁壓得不到釋放,很快達到臨界值,而且微小擾動對局部電場的影響越大,越容易發生磁通崩塌.在發生磁通崩塌時,n0越小,短時間內磁擴散速度越大,磁擴散區域也就越大,表現為磁通崩塌規模越大.

圖2 通過數值模擬得到不同參數 n0 下的超導薄膜分別在外加磁場為μ0Ha=1.8 mT ((a),(c),(e))和 μ0Ha=4.0 mT((b),(d),(f))時的磁場分布.背景溫度 T0=2.5 K,磁場變化率為5 T/sFig.2.Flux distributions of superconducting thin films with different parameter n0 at the applied magnetic fields ofμ0Ha=1.8 mT ((a),(c),(e)) and μ0Ha=4.0 mT ((b),(d),(f)).The substrate temperature is T0=2.5 K and the ramp rate is μ0 H˙a=5 T/s.

為了進一步研究磁通蠕動指數對磁通崩塌閾值的影響,數值計算了不同參數n0下超導薄膜內磁通崩塌閾值.圖3(a)為磁通崩塌閾值隨參數n0的變化曲線,其中曲線下方區域對應超導薄膜內磁通平滑穿透階段,曲線上方區域對應磁熱不穩定階段.在背景溫度場為2.5 K,磁場加載速率為5 T/s的環境下,當磁通蠕動指數較小時(參數n0＜11),無論外加磁場有多大,超導薄膜內始終沒有磁熱不穩定現象發生.隨著磁通蠕動指數增大,薄膜內開始有磁熱不穩定行為發生,并且第一次出現磁通崩塌行為的磁場閾值會逐漸降低.這是由于當磁通蠕動指數較大時,超導薄膜抗磁性增強,在相同磁場環境下,該超導薄膜邊界處磁壓更強.此外較大的n0意味著超導薄膜E-J非線性較強,在較低磁場下,超導薄膜內溫度、電場或電流等受到微小擾動時,電流-電壓突變更明顯,導致超導體內的磁通狀態更加不穩定.因此,當磁通蠕動指數較大時,即使外加磁場較小,也會使得超導薄膜的磁通狀態容易發生突變,誘發磁通崩塌.圖3(b)和圖3(c)所示為不同磁通蠕動指數下的最大溫度曲線和磁化曲線,由于在磁通崩塌過程中,超導薄膜內部溫度場的峰值出現在崩塌位置.因此,這里僅考慮超導薄膜內部的最大溫度,磁通每發生一次崩塌就伴隨著磁化曲線的一次跳躍和溫度的急劇升高,磁通跳躍的頻率與溫度急劇升高的頻率基本一致.在磁通蠕動指數較小的時候(參數n0=3),沒有磁通崩塌行為發生,也就沒有溫度的突變,磁化曲線也較為平滑,所以磁通蠕動指數n必須足夠大(參數n0＞11)才能夠觀測到磁熱不穩定性.隨著磁通蠕動指數增大,開始有磁通崩塌行為發生,而且磁通蠕動指數越大,磁通崩塌行為發生得越頻繁,磁化曲線表現為高頻次、小幅度跳動,發生磁通崩塌行為時的最大溫度相對較小,觸發第一次磁通崩塌行為時對應的磁場閾值更小.

圖3 (a)磁通崩塌閾值隨著參數 n0 的變化規律,曲線下方表示薄膜保持磁熱穩定狀態,曲線上方表示薄膜出現磁熱不穩定;(b)不同 n0 下超導薄膜的最大溫度隨外加磁場的變化;(c)不同 n0 下的磁化曲線圖.數值模擬的背景溫度為T0=2.5 K,磁場變化率為5 T/sFig.3.(a) The threshold field for the onset of flux avalanches in superconducting films with different n0.The lower region indicates the film is in magneto-thermal stable state,while the upper region indicates the thermomagnetic instability.(b) Maximum temperature and (c) magnetic moment in superconducting films as a function of increasing applied field for three different n0.The substrate temperature is T0=2.5 K and the ramp rate is μ0 H˙a=5 T/s.

由于超導磁通蠕動指數n=n0(Tc/T) 是關于溫度的函數,因此,薄膜的背景溫度會影響超導本構關系的非線性程度,從而影響超導的磁熱穩定性.圖4 給出了不同背景溫度下參數n0分別為3,18,29 時超導薄膜內部的磁通分布.結果表明,當背景溫度較低時(T=1.5 K),即使n0較小(n0=3),超導薄膜內也發生磁通崩塌行為,但隨著背景溫度的升高,在較小的n0下,磁場從超導薄膜邊緣始終平滑地向薄膜內部滲透,直至接近完全穿透超導薄膜.但n0增加到一定值時(如n0=18),在相同溫度和外加磁場下,超導薄膜內部有磁通崩塌行為發生(見圖4(e),(f),(i)),當n0相同時,可以發現在相同外加磁場下,超導薄膜內的磁通崩塌數量隨著溫度的升高而減少,磁通崩塌由針狀逐漸變為樹枝狀結構,其規模隨著溫度逐漸增大,該現象與實驗結果一致[72].

圖4 數值模擬了不同溫度場下(T0=1.5,2.5,3.0 K),參數 n0 為3,18,29 時的超導薄膜在相同磁場 μ0Ha=3.1 mT 下的磁場分布Fig.4.Distribution of magnetic field Bz in superconducting fillms at the same applied field μ0Ha=3.1 mT with n0=3,18,29 and T0=1.5,2.5,3.0 K.

超導體的臨界電流密度是材料內部釘扎勢強弱的表現,而內部釘扎勢必然會影響超導薄膜內磁通蠕動.因此,為了進一步研究臨界電流密度對薄膜內磁通崩塌的影響.計算了參數n0=20,零場臨界電流密度jc0分別取 6×1010,1 2×1010和24×1010A/m2情形下超導薄膜在外加磁場為1.6和6.2 mT 下的磁通分布.由圖5(a),(c),(e)可知,臨界電流密度的大小決定了超導薄膜抵抗磁通穿透的能力,在相同外加磁場下,臨界電流密度越大,超導薄膜內的磁通穿透深度越小,意味著超導薄膜的抗磁能力越強.此外,臨界電流密度也會影響超導薄膜的磁熱不穩定性.如圖5(b),(d),(f)所示,相同磁場下,當臨界電流密度較小時,磁場會平滑滲透進入超導薄膜,直至接近完全穿透,薄膜始終處于磁熱穩定狀態.隨著臨界電流密度增大到一定值,薄膜內出現磁通崩塌行為,且磁通崩塌的規模隨著臨界電流密度的增大而減小,崩塌頻率隨之升高.

圖5 通過數值模擬得到了外加垂直磁場分別為μ0Ha=1.6,6.2 mT 時,不同臨界電流密度下的超導薄膜內磁場分布Fig.5.Magnetic flux distribution in supercondeucting films with different critical current densities at μ0Ha=1.6,6.2 mT.

圖6 給出了超導薄膜磁通崩塌閾值隨臨界電流密度的變化曲線.可以看出,超導薄膜磁通崩塌閾值隨著臨界電流密度的增大呈指數降低,當臨界電流密度增大到一定程度后,超導薄膜閾值變化逐漸減小,這與線性攝動分析結果一致[73].

圖6 超導薄膜內磁通崩塌閾值隨臨界電流密度 jc0 的變化.曲線上方表示超導薄膜內磁熱不穩定區域,曲線下方表示超導薄膜內保持磁熱穩定狀態Fig.6.The threshold field μ0Ha for the onset of flux avalanches as a function of critical current density jc0 The lower region indicates the film is in magneto-thermal stable state,while the upper region indicates the thermomagnetic instability.

由前面的分析可知,磁通蠕動指數和臨界電流密度都會影響薄膜磁通崩塌行為.因此,通過計算多個不同臨界電流及n0的超導薄膜的磁通閾值,獲得了n0-jc0平面內超導薄膜磁熱穩定性范圍圖,圖7 給出了n0與臨界電流密度共同調控時超導薄膜保持磁熱穩定狀態的界限.青色區域表示超導薄膜保持磁熱穩定狀態,磁通始終平滑穿透超導薄膜,直至接近完全穿透超導薄膜.黃色區域表示超導薄膜在勵磁過程中出現了磁熱不穩定現象.結果表明,適當降低臨界電流密度和減小磁通蠕動指數都能有效提高超導薄膜的磁熱穩定性.在二者同時調控時,這兩個因素間有一定的關聯,在磁通蠕動指數較大時,減小臨界電流密度有助于提高超導薄膜磁熱穩定性.實質上,臨界電流密度和磁通蠕動指數都反映著超導薄膜內釘扎勢的大小.當超導薄膜內臨界電流密度較大或磁通蠕動指數較大時,超導薄膜退磁效應較強,相同外加磁場下超導薄膜外部磁壓較大,因此容易誘發磁通崩塌,對應磁通崩塌閾值較低.

圖7 n0 -jc0 平面內超導薄膜磁熱穩定性/不穩定性的范圍及分界線,圖中黃色區域表示薄膜磁熱不穩定,青色區域表示薄膜保持磁熱穩定狀態,誤差棒表示分界線的精度Fig.7.Thermomagnetic stability/instability diagram in the n0-jc0planes.Yellow and green denote the regions of flux avalanches and smooth penetration.The error bars show the accuracy of the dividing lines.

圖8 分別給出了外加磁場以2,9,15 T/s 的加載速率增加至1.8 mT (圖8(a),(c),(e))和4.0 mT(圖8(b),(d),(f))時,超導薄膜內的磁通分布.如圖8(a)和圖8(b)所示,在外磁場變化速率較低(2 T/s)時,超導薄膜具有良好的磁熱穩定性,磁場能緩慢地滲透進入超導薄膜,不會出現磁通崩塌現象.隨著外磁場變化率的增大,超導薄膜內部開始出現磁熱不穩定,而且磁通崩塌的形貌由開始的樹枝狀崩塌轉變為針狀崩塌,崩塌頻率顯著升高,這是由于薄膜內磁通崩塌行為的發生是磁擴散和熱擴散相互競爭的結果.在較大的磁場變化率下,磁擴散速度大于熱擴散速度,外磁場以渦旋的形式滲透進入超導薄膜的過程中,由于渦旋運動造成運動路徑上局部溫度急劇升高,削弱了局部釘扎,使得外部磁場沿著前面渦旋運動路徑迅速進入超導薄膜,來不及向周圍擴散,宏觀表現為磁通崩塌形貌分叉較少,呈針狀崩塌.

圖8 磁場變化率為μ0=2 T/s,μ0=9 T/s,μ0=15 T/s 情形下的薄膜內磁場分布 (a),(c),(e) 表示外加磁場加載到1.8 mT 時的薄膜內部磁場分布;(b),(d),(f)表示外加磁場加載到4.0 mT 時的薄膜內部磁場分布.背景溫度場為T0=2.5 KFig.8.Magnetic field distribution in thin film at μ0Ha=1.8 mT ((a),(c),(e)) and 4.0 mT ((b),(d),(f)) for μ0=2,9 and 15 T/s.The substrate temperature is T0=2.5 K.

超導薄膜內部磁通崩塌行為的發生,與磁通蠕動指數和外磁場變化率都是相關的.因此,本文數值計算了多個不同n0及μ0下超導薄膜內的磁通運動,獲得了n0-μ0平面內超導薄膜磁熱穩定性區域范圍(如圖9),給出了不同n0及μ0下超導薄膜保持磁熱穩定狀態的界限.圖中青色區域表示薄膜內始終保持磁熱穩定狀態,不會有磁通崩塌現象出現,黃色部分表示薄膜內發生了磁通崩塌行為.結果表明,減小磁通蠕動指數和降低外磁場變化速率都能有效提高超導薄膜磁熱穩定性,在磁通蠕動指數較大的情況下,即使外磁場變化速率很小,也有可能誘發磁通崩塌行為,這是由于磁通蠕動指數越大,表示超導非線性越強,由(4)式和(5)式及線性攝動分析可知,當磁通蠕動指數較大時,即使受到很小的擾動,都有可能造成電流-電壓關系突變,從而誘發磁通崩塌.

圖9 n0-μ0 平面內超導薄膜磁熱穩定性/不穩定性的范圍及分界線,黃色區域表示薄膜內部磁熱不穩定,青色區域表示薄膜保持磁熱穩定狀態,誤差棒表示分界線的精度Fig.9.Thermomagnetic stability/instability diagram in the n0-μ0planes.Yellow and green denote the regions of flux avalanches and smooth penetration,respectively.The error bars show the accuracy of the dividing lines.

4 結論

本文采用FFT 理論研究了超導薄膜電場-電流的非線性特性,以及具有不同非線性強度的超導薄膜內磁熱不穩定性.考慮了不同溫度、磁場加載速率和臨界電流密度下,磁通蠕動指數n對超導薄膜內磁通運動及磁熱不穩定性的影響.與常規導體的線性歐姆定律不同,超導薄膜具有非線性E-J材料本構,且非線性程度隨著磁通蠕動指數n的增加而增強.結果表明,當n0較大時,超導薄膜內磁通釘扎作用較強,超導薄膜抗磁性強,磁通較難穿透超導薄膜向其內部運動而導致邊界磁場較大.因此,超導薄膜內的磁通崩塌閾值和崩塌規模隨著n0的增大而降低,崩塌頻率隨之升高.此外,在不同n0下,超導薄膜閾值及形貌等均受溫度、磁場加載速率以及臨界電流密度的影響.通過計算多個不同環境及材料參數下超導薄膜內的磁通運動演化過程,分別給出了n0-jc0和n0-μ0平面內超導薄膜的磁熱不穩定性范圍,得到了不同E-J材料本構的非線性強度下超導薄膜磁熱穩定/不穩定狀態的分界線.