基于U模型的模糊免疫自抗擾控制方法研究

韓明秀，王海紅

(青島科技大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院, 山東 青島 266061)

0 引言

非線性系統(tǒng)控制是自然界和工程領(lǐng)域中最為一般的控制問(wèn)題，非線性系統(tǒng)往往具有復(fù)雜的特性，很難建立精確數(shù)學(xué)模型。為獲得良好的控制效果，提出了分段線性化法、點(diǎn)線性化法和反推法等方法，雖然這些方法可以解決部分非線性問(wèn)題，但在對(duì)非線性對(duì)象進(jìn)行線性化的過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)缺失項(xiàng)等問(wèn)題。根據(jù)非線性模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，NARMAX[1]、Hammerstein[2]等近似模型被應(yīng)用在非線性系統(tǒng)控制中，這些模型可以很好地描述非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，但隨著階數(shù)增加，參數(shù)變多，從而模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)困難，控制系統(tǒng)計(jì)算復(fù)雜[3]。

U模型是朱全民教授提出的一種非線性系統(tǒng)近似模型設(shè)計(jì)方法[4]。該方法通過(guò)設(shè)計(jì)控制器所得的系統(tǒng)偽輸入來(lái)構(gòu)造非線性方程，用牛頓迭代法求解方程得到非線性系統(tǒng)的真實(shí)輸入[5]，從而完成控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。U模型在非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的如下特點(diǎn)使其得以廣泛應(yīng)用：

1)在方法上，通過(guò)U模型方法，應(yīng)用在線性系統(tǒng)的方法可以直接應(yīng)用于非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，這顯著降低了設(shè)計(jì)復(fù)雜度并有效地提供了直接的計(jì)算算法。

2)在設(shè)計(jì)中，它首先獲得期望的受控對(duì)象輸出，然后在方程根求解中從U模型中計(jì)算出控制器輸出。

3)對(duì)于非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，它在更通用和更有效的框架內(nèi)提供了新的見解和解決方案。

自U模型提出以來(lái)，基于U模型的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法被廣泛研究，包括基于U模型的極點(diǎn)配置方法[6]，將線性極點(diǎn)配置方法通過(guò)U模型設(shè)計(jì)方法應(yīng)用到非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，使得非線性模型的動(dòng)態(tài)行為可以通過(guò)零極點(diǎn)位置進(jìn)行確定；U模型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[7-8]，利用U模型時(shí)變參數(shù)辨識(shí)的信息構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，對(duì)數(shù)據(jù)易得的非線性系統(tǒng)進(jìn)行控制；U模型自適應(yīng)控制方法[9-11]，用于控制一類未知參數(shù)的隨機(jī)非線性離散時(shí)間對(duì)象，將未知系統(tǒng)基于U模型框架對(duì)U模型表達(dá)式中的時(shí)變系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，并按極點(diǎn)配置的方法設(shè)計(jì)極點(diǎn)配置控制器，實(shí)時(shí)更新參數(shù)進(jìn)行控制器參數(shù)的適應(yīng)性修正實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)控制。U模型方法將非線性對(duì)象轉(zhuǎn)化為關(guān)于控制輸入的多項(xiàng)式形式，從而將線性系統(tǒng)的控制方法應(yīng)用在解決非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題中，可以有效提高處理非線性系統(tǒng)的能力并簡(jiǎn)化非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程[12]。

實(shí)際控制過(guò)程中，擾動(dòng)、噪聲等不確定性因素不可避免，這些不確定性影響實(shí)際工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程，因此，這也成為控制設(shè)計(jì)需要考慮的關(guān)鍵問(wèn)題。針對(duì)這一問(wèn)題，眾多學(xué)者提出了許多相關(guān)的解決方案[13-14]，其中，自抗擾控制(ADRC，active disturbance rejection control)方法將系統(tǒng)所有未知因素歸結(jié)為總擾動(dòng)，設(shè)計(jì)有兩個(gè)獨(dú)立的控制回路：滿足所需跟蹤性能的非線性狀態(tài)反饋(NLSEF, nonlinear state error feedback)控制器和估計(jì)系統(tǒng)干擾和不確定性的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO, extended state observer)，能夠解決系統(tǒng)在未知擾動(dòng)存在下的跟蹤控制問(wèn)題[15]，便于控制設(shè)計(jì)。

U模型作為非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中一種有效近似模型設(shè)計(jì)方法，被應(yīng)用在ADRC中，用U模型描述ADRC方法的受控對(duì)象，設(shè)計(jì)基于U模型的自抗擾(UADRC, U model based active disturbance rejection control)控制系統(tǒng)，通過(guò)設(shè)計(jì)包含被控對(duì)象逆模型的控制律,將受控對(duì)象轉(zhuǎn)換為一個(gè)單元，最小化系統(tǒng)輸入輸出之間的滯后，簡(jiǎn)化了非線性系統(tǒng)ADRC方法的設(shè)計(jì)過(guò)程。在UADRC方法中如果ESO運(yùn)行良好，受控對(duì)象也可以動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換為一個(gè)單元，并且可以減少穩(wěn)定高階積分器的難度。相反，如果ESO性能不完美，則需要更強(qiáng)大的控制器來(lái)減少不準(zhǔn)確的總干擾估計(jì)和不完美的變換或近似的影響，那么也可以獲得更好的性能。除此之外，在基于U模型的ADRC設(shè)計(jì)過(guò)程中，控制器通常不能兼顧跟蹤誤差和系統(tǒng)響應(yīng)速度[16]，因此，為解決上述問(wèn)題，在ESO設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，基于U模型方法所描述系統(tǒng)進(jìn)行擾動(dòng)觀測(cè)設(shè)計(jì)。在NLSEF環(huán)節(jié)，引入模糊免疫(FI, fuzzy immune)控制機(jī)制，將免疫機(jī)理與模糊算法相結(jié)合，設(shè)計(jì)基于U模型的模糊免疫自抗擾控制(FI-UADRC，fuzzy immune active disturbance rejection control based on U model)系統(tǒng)，通過(guò)抑制機(jī)理和反饋機(jī)理實(shí)現(xiàn)非線性智能反饋，解決穩(wěn)定性和快速性之間的矛盾[17]。

綜上所述，本文基于UADRC的抗擾性能和FI的自適應(yīng)性，給出一種FI-UADRC控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，將實(shí)現(xiàn)過(guò)程安排如下：

1)將非線性多項(xiàng)式模型轉(zhuǎn)換為U模型表達(dá)式(不是線性近似)，以降低計(jì)算難度。

2)利用系統(tǒng)控制輸入與受控對(duì)象U模型輸出來(lái)構(gòu)建擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)擾動(dòng)，進(jìn)行補(bǔ)償控制。

3)在非線性反饋環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中引入模糊免疫機(jī)制，在跟蹤控制過(guò)程中對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行抑制的同時(shí)實(shí)現(xiàn)參數(shù)自整定。

4)最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證FI-UADRC方法的有效性和優(yōu)越性。

本文的其余部分分為以下幾節(jié)。

在第1節(jié)中，給出了U模型定義并對(duì)U模型方法進(jìn)行非線性模型轉(zhuǎn)換的過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)描述。在第2節(jié)中，逐步實(shí)現(xiàn)了基于 U模型的模糊免疫控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程，包括擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)和模糊免疫控制器設(shè)計(jì)，在第3節(jié)中，對(duì)第2節(jié)相關(guān)參數(shù)設(shè)置進(jìn)行分析，并對(duì)基于U模型的模糊免疫自抗擾控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)步驟進(jìn)行概括，為應(yīng)用提供保障。在第4節(jié)中，引入相關(guān)引理進(jìn)行一系列證明，證明所提出方法的理論可行性。在第5節(jié)中，選擇已知系統(tǒng)的Hammerstein模型、CSTR動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，以展示U模型框架內(nèi)模糊免疫自抗擾控制方法的可行性。在第6節(jié)中，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)研究方法進(jìn)行總結(jié)。

1 非線性系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換

FI-UADRC控制系統(tǒng)包括非線性系統(tǒng)U模型和基于U模型的控制器。本章介紹U模型的實(shí)現(xiàn)。

對(duì)于SISO(單輸入-單輸出)非線性系統(tǒng)，基于U模型的控制原理如圖1所示。

圖1 U模型控制原理圖

f(t)(RM+1→R)為系統(tǒng)擾動(dòng)項(xiàng)，滿足Lipschitz條件且|f(t)|≤ξ,ξ∈N，基于U模型的非線性系統(tǒng)描述為：

(1)

其中:y(t)∈R和u(t-1)∈R為在離散時(shí)刻t∈(1,2，…)系統(tǒng)的輸出、輸入信號(hào)；j代表系統(tǒng)階數(shù)，M代表u(t-1)的最高階，參數(shù)αj(t)∈RM+1為過(guò)去時(shí)刻輸入和輸出的函數(shù)(u(t-2),…,u(t-n),y(t-1),…y(t-n))。

U(t)為通過(guò)設(shè)計(jì)Gc所得的系統(tǒng)的偽輸入，是包含了非線性系統(tǒng)真實(shí)輸入的非線性方程，可以通過(guò)求解U(t)=y(t)獲得，通常采用牛頓迭代算法，算法描述如下：

uk + 1(t-1)=uk(t-1)-

(2)

其中:k是迭代的次數(shù)，k>0，uk+1(t)是從uk(t)迭代獲得的。可以看出，在非線性系統(tǒng)U模型的轉(zhuǎn)換過(guò)程中，系統(tǒng)控制輸入取自牛頓迭代公式的解，基于U模型的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)不要求在設(shè)計(jì)中對(duì)非線性對(duì)象模型進(jìn)行線性化，只是使用線性設(shè)計(jì)方法直接設(shè)計(jì)基于非線性對(duì)象U模型的控制系統(tǒng)[18]，因此，非線性系統(tǒng)U模型的變換不會(huì)丟失原被控對(duì)象的任何信息，保證了模型的高精度。

綜上所述，U 模型與牛頓迭代公式越匹配，控制效果越好，當(dāng)轉(zhuǎn)換后的系統(tǒng)模型完美匹配時(shí)，Gu=1，系統(tǒng)輸出可以趕上系統(tǒng)輸入。在實(shí)際控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中，完美匹配是很難做到的，主要原因是：迭代算法的度數(shù)是有限的，模型不能完全匹配。因此需要設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行控制。

設(shè)計(jì)控制器時(shí)，可以先用線性控制方法設(shè)計(jì)U(t)，然后用牛頓迭代算法求解，最后輸入到實(shí)際對(duì)象中得到實(shí)際輸出，下面將基于U模型設(shè)計(jì)方法展開Gc的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

2 FI-UADRC控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

基于U模型的模糊免疫自抗擾控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程主要分為兩部分：ESO環(huán)節(jié)和NLSEF環(huán)節(jié)。

本章將基于系統(tǒng)，在ESO環(huán)節(jié)觀測(cè)擾動(dòng)f(t)，實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)抑制補(bǔ)償控制；用FI控制方法設(shè)計(jì)NLSEF環(huán)節(jié)得到U(t)，經(jīng)反饋補(bǔ)償獲得U1(t)，通過(guò)式求解U1(t)=y(t)獲得控制率跟蹤期望輸出r(t)，實(shí)現(xiàn)如下控制目標(biāo)：

e(t)→0

(3)

且|e(∞)|≤ζ,ζ∈N。詳細(xì)實(shí)現(xiàn)如下所述。

2.1 ESO(擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器)設(shè)計(jì)

擾動(dòng)因素在非線性系統(tǒng)控制過(guò)程中不可避免，為實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，針對(duì)抵抗擾動(dòng)這一控制需求，設(shè)計(jì)有ESO環(huán)節(jié)對(duì)總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，從而保證控制系統(tǒng)對(duì)未知干擾具有足夠的魯棒性[19]。

針對(duì)系統(tǒng)中擾動(dòng)項(xiàng)f(t)，設(shè)計(jì)系統(tǒng)偽輸入U(xiǎn)1(t)，使得：

(4)

基于U模型的自抗擾控制思想中，受擾動(dòng)影響的系統(tǒng)輸出y可以描述為：

(5)

采用如下所示的ESO環(huán)節(jié)對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)[20]：

(6)

其中:z1,z2為ESO觀測(cè)輸出，分別描述系統(tǒng)輸出y和總擾動(dòng)f的觀測(cè)量，ε1為系統(tǒng)輸出的觀測(cè)誤差，β1,β2為ESO的可調(diào)參數(shù)，和仿真步長(zhǎng)h有關(guān)[20]。為消除影響，將U1設(shè)計(jì)為：

U1=U-z2

(7)

將式(7)代入式(3)則有：

(8)

擾動(dòng)補(bǔ)償過(guò)程如圖2所示。

圖2 擾動(dòng)補(bǔ)償過(guò)程示意圖

綜上所述，理想情況下當(dāng)ε=0時(shí)，f對(duì)系統(tǒng)的影響能夠通過(guò)式(6)進(jìn)行完全補(bǔ)償。ε=f-z2為擾動(dòng)觀測(cè)誤差，同樣，當(dāng)ε1=0時(shí)系統(tǒng)誤差通過(guò)期望輸出r(t)和系統(tǒng)輸出的觀測(cè)值z(mì)1描述如下所示：

e(t)=r(t)-z1

(9)

在自抗擾方法的實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中法發(fā)現(xiàn)，ε1，ε可以通過(guò)選擇合適的觀測(cè)器帶寬w0來(lái)盡可能減小，規(guī)避因ESO設(shè)計(jì)不當(dāng)對(duì)控制效果產(chǎn)生的不良影響[21]。

2.2 FI控制器設(shè)計(jì)

在基于U模型的自抗擾方法中，非線性反饋控制環(huán)節(jié)參數(shù)整定過(guò)程自適應(yīng)性較差，不能兼顧動(dòng)態(tài)性能和靜態(tài)性能、期望值跟蹤和擾動(dòng)抑制之間的協(xié)調(diào)關(guān)系[16]，為此引入模糊免疫機(jī)制[17]。免疫控制是利用免疫系統(tǒng)對(duì)抗原的適應(yīng)性調(diào)節(jié)功能，達(dá)到良好的控制效果。因此，控制系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性。

免疫系統(tǒng)對(duì)于入侵抗原的響應(yīng)迅速而穩(wěn)定。一方面抗體要快速消除外來(lái)入侵，另一方面抗體濃度不能太高，所以必須控制抗體濃度。免疫系統(tǒng)可以產(chǎn)生抗體來(lái)抵抗入侵的抗原，抗體是問(wèn)題的關(guān)鍵。生物的免疫系統(tǒng)由淋巴細(xì)胞和抗體分子組成，淋巴細(xì)胞主要由T細(xì)胞和B細(xì)胞組成，T細(xì)胞分為TH(輔助細(xì)胞)和TS(抑制細(xì)胞)。當(dāng)抗原進(jìn)入體內(nèi)并被周圍細(xì)胞消化后，T細(xì)胞會(huì)收到信息然后刺激B細(xì)胞產(chǎn)生抗體來(lái)消除抗原。抗原增多，TH細(xì)胞增多，TS細(xì)胞減少，從而產(chǎn)生較多的B細(xì)胞。相反，TH細(xì)胞變少，TS細(xì)胞增多，B細(xì)胞減少。很快，免疫反饋系統(tǒng)在抑制機(jī)理和反饋機(jī)理的共同作用下會(huì)趨于平衡[22]。第j代的抗原數(shù)量可以等效于控制系統(tǒng)第t個(gè)采樣時(shí)刻的給定值與輸出值的偏差e(t)，第j代抗原刺激產(chǎn)生的TH細(xì)胞數(shù)量為TH(j)，TS細(xì)胞對(duì)B細(xì)胞的抑制作用為TS(j)，則第j代B細(xì)胞所受刺激為：

S(j)=TH(j)-TS(j)

(10)

其中：TH(j)=k1e(t),TS(j)=k2g(Δs(j))e(t)，第j代B細(xì)胞濃度S(j)相當(dāng)于第t個(gè)采樣時(shí)刻的模糊免疫控制器輸出U(t)，則有：

U(t)=(k1-k2g(U(t),ΔU(t))e(t)=

K(1-ρg(U(t),ΔU(t))e(t)

(11)

設(shè)參數(shù)K(1-ρg(U(t),ΔU(t))=K*，通過(guò)一般系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性對(duì)參數(shù)變化進(jìn)行分析：在系統(tǒng)響應(yīng)上升到達(dá)穩(wěn)態(tài)值之前，為了加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，參數(shù)K*的初始值應(yīng)該比較大。同時(shí)，為盡量避免超調(diào)，當(dāng)誤差值e(t)逐漸減小時(shí)，參數(shù)K*也應(yīng)隨之減小。在響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值上升到達(dá)峰值之前的階段，為了增加控制器的抑制作用，減小系統(tǒng)的超調(diào)量，應(yīng)逐漸減小參數(shù)K*。從峰值回落到穩(wěn)態(tài)值的階段，為了使系統(tǒng)的實(shí)際輸出快速回到期望點(diǎn)，避免大慣量，應(yīng)逐漸減小參數(shù)K*。在從峰值回落到期望值的慣性調(diào)節(jié)階段，為了減小誤差e(t)，參數(shù)K*應(yīng)該增加，這與響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值上升到達(dá)峰值之前的階段相同。綜上所述，K*隨誤差e(t)的變化規(guī)律為：當(dāng)e(t)→±∞時(shí)，K*取最大值。e(t)=0時(shí)，K*取最小值；K影響K*的變化區(qū)間，K*的變化率可以通過(guò)改變?chǔ)褋?lái)調(diào)整。

由以上分析可以看出，免疫機(jī)制將控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化為參數(shù)K,ρ的調(diào)節(jié)，K影響系統(tǒng)響應(yīng)速度，間接影響穩(wěn)態(tài)誤差，ρ影響系統(tǒng)的穩(wěn)定度。由此可以看出，模糊免疫控制的優(yōu)勢(shì)是可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)K,ρ來(lái)解決響應(yīng)速度和超調(diào)之間的沖突，犧牲了系統(tǒng)復(fù)雜度，但提升了控制器自適應(yīng)能力[23]。

3 FI-UADRC參數(shù)設(shè)置

基于上述分析，為實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)抑制和跟蹤控制兩個(gè)控制目標(biāo)，將模糊免疫與基于U模型的自抗擾控制方法相結(jié)合，采用U模型的控制方法對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行處理所得的FI-UADRC控制系統(tǒng)框架如圖3所示。

圖3 FI-UADRC控制系統(tǒng)框架圖

基于U模型的模糊免疫自抗擾控制系統(tǒng)控制方程有：

(j=1,2,…,n-1)

(12)

系統(tǒng)可調(diào)節(jié)參數(shù)有模糊免疫控制環(huán)節(jié)的K,ρ,g(*)和ESO環(huán)節(jié)的β1,β2。有仿真研究表明β1,β2分別和仿真步長(zhǎng)h以及1/5h2成反比[24]。利用模糊規(guī)則可以逼近任意非線性函數(shù)，本文設(shè)計(jì)一個(gè)二維的模糊調(diào)節(jié)器來(lái)逼近非線性函數(shù)g(*)，U(t),ΔU(t)的取值范圍[25]可得：

(13)

設(shè)計(jì)U(t),ΔU(t)={1，-1}，模糊子集為“正”(P)和“負(fù)”(N)，則模糊比例因子[25]為：

設(shè)計(jì)g(*)的模糊集域?yàn)閧1,0,-1}，模糊集為“正”(P)，“零”(Z)和“負(fù)”(N)。模糊推理采用Zadeh的模糊邏輯AND操作，并采用常用的mom反模糊化方法得到g(*)[26]，則有：

-1≤g(*)≤1,K>0,ρ>0

(14)

根據(jù)模糊語(yǔ)言規(guī)則，當(dāng)U(t)和ΔU(t)正向增加時(shí)，為了減小超調(diào)，應(yīng)使g(*)減小從而增大K*。當(dāng)U(t)和ΔU(t)都處在中間值時(shí)，為了防止偏差ΔU(t)急劇變化，加快系統(tǒng)響應(yīng)，應(yīng)使g(*)增大從而減小K*。當(dāng)偏差ΔU(t)減小時(shí)，應(yīng)適當(dāng)增大g(*)，保持系統(tǒng)穩(wěn)定。綜上，模糊規(guī)則設(shè)置如下：

采用三角形隸屬度函數(shù)且所有隸屬度函數(shù)都定義在整個(gè)(-∞,+∞)區(qū)間，如圖4～5所示。

圖4 U(t),ΔU(t)隸屬度函數(shù)

圖5 g(*)隸屬度函數(shù)

綜上所述，F(xiàn)I-UADRC控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)過(guò)程為：

Step1：根據(jù)第4節(jié)中所給方法選擇g(*)模糊集，定義圖4、5輸入輸出隸屬度函數(shù)，建立表1所示的模糊控制表，根據(jù)模糊規(guī)則進(jìn)行模糊推理得出g(*)；

表1 g(*)模糊規(guī)則表

Step2：將Step1所得g(*)代入式(11)求得控制器輸出U(t)，同式(6)代入式(7)，求得擾動(dòng)補(bǔ)償后的控制器輸出U1(t)；

Step3：由式(6)所得z1,z2作為擴(kuò)張觀測(cè)反饋量，對(duì)擾動(dòng)f進(jìn)行補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)式(4)；

Step4：根據(jù)U(t),ΔU(t)按表3規(guī)則，修正式(2)參數(shù)g(*)，更新U1(t)；

Step5：將所得U1(t)代入式(4)；

Step6：由牛頓迭代法求解式(4)得u(t-1)。

下面將基于以上設(shè)計(jì)思路，選用非線性系統(tǒng)模型做U模型轉(zhuǎn)換，進(jìn)行系統(tǒng)分析和仿真實(shí)驗(yàn)。

4 系統(tǒng)分析

從圖2可以看出，當(dāng)Gu=1時(shí)系統(tǒng)為線性，閉環(huán)系統(tǒng)輸出取決于r(t),ε(t),ε1(t)。對(duì)于觀測(cè)的系統(tǒng)輸出誤差ε1和總干擾誤差ε有以下引理：

引理1：存在觀測(cè)帶寬w0，使得當(dāng)f變化率有界時(shí)，ε1,ε在有限時(shí)間內(nèi)是有界的[27]。估計(jì)誤差的界限與觀測(cè)帶寬成反比。

引理2：對(duì)于一個(gè)工程系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，它的力量總是有限的，因此，可以合理地假設(shè)總擾動(dòng)的變化率是有界的。

基于引理1、2及文獻(xiàn)[16]，|ε(t)|≤σ,|ε1(t)|≤σ，σ>0，從而ε(t),ε1(t)是圖2所示閉環(huán)系統(tǒng)的有界輸入信號(hào)。設(shè)ε(t)=σsinωt,ε1(t)=σsinω1t,r(t)=A·1(t)(A和1(t)分別表示信號(hào)幅度和單位階躍信號(hào))，則有：

(15)

穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為：

(16)

從而有：

(17)

由式(17)可以看出，穩(wěn)態(tài)誤差同觀測(cè)誤差成正比，同時(shí)，分別與ρ,K成正比和反比。為實(shí)現(xiàn)式控制目標(biāo)，適當(dāng)增大ρ可以減小系統(tǒng)超調(diào)量，通過(guò)提高ESO估計(jì)能力也可以減小誤差，本文取w0=1/2h[28]來(lái)減小觀測(cè)誤差的影響。

5 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證FI-UADRC控制系統(tǒng)的有效性和優(yōu)越性，做如下仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行說(shuō)明。

仿真1：為驗(yàn)證U模型方法可以簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)中的計(jì)算過(guò)程，采用文獻(xiàn)[6]中4.1所示Hammerstein模型進(jìn)行仿真。

(18)

首先將式轉(zhuǎn)換為U模型形式：

y(t)=α0(t)+α1(t)u(t-1)+

α2(t)u2(t-1)+α3(t)u3(t-1)

(19)

α0(t)=0.5y(t-1)+1+0.3x(t-2),α1(t)=1,α3(t)=0.2。

將式(12)與(19)聯(lián)立，通過(guò)式(2)進(jìn)行迭代可得非線性系統(tǒng)真實(shí)控制輸入u(t-1)。

仿真步長(zhǎng)為1，K=0.3，ρ=0.3。假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)g(t)=0.1 sin(0.03πt),仿真結(jié)果如圖6、7所示。

圖6 系統(tǒng)輸出y(t)與期望輸出r(t)

圖7 系統(tǒng)控制輸入u(t-1)

由仿真1過(guò)程可以看出，U模型表達(dá)形式可以從已知模型轉(zhuǎn)換而來(lái)，充分利用了基于模型的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的已有研究成果。U模型方法所描述的系統(tǒng)是包含系統(tǒng)真實(shí)控制輸入的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)，基于這種多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)，采用牛頓迭代方法求解非線性數(shù)學(xué)方程就能求取系統(tǒng)控制輸入，求解過(guò)程簡(jiǎn)單。且所得的控制輸入平滑，系統(tǒng)輸出能較好跟蹤期望輸出，保證了良好跟蹤控制效果。

仿真2：為體現(xiàn)FI-UADRC控制方法的優(yōu)越性，采用FI-UADRC，UADRC兩種方法對(duì)CSTR動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。其中y描述反應(yīng)釜輸出，u表示反應(yīng)物流量，描述為反應(yīng)釜控制輸入。在控制器和被控系統(tǒng)之間加入零階保持器，CSTR動(dòng)態(tài)過(guò)程取采樣周期Ts=0.05，采用U模型方法可以描述為[29]：

y(t)=0.8606y(t-1)-0.0401y2(t-1)+

0.0020y3(t-1)+[0.0464-0.045y(t-1)+

0.0034y2(t-1)]u(t-1)+

[-0.0012+0.0013y(t-1)]u2(t-1)

(20)

K=0.2，ρ=0.3，h=0.1，設(shè)擾動(dòng)具有g(shù)(t)=5sin(0.5t)形式,UADRC參數(shù)設(shè)置同文獻(xiàn)[16]，控制效果對(duì)比如圖8～9所示。

圖8 CSTR系統(tǒng)輸出y(t)和期望輸出r(t)

從圖8可以看出，F(xiàn)I-UADRC控制系統(tǒng)在持續(xù)擾動(dòng)下仍能較好地跟蹤期望輸出軌跡，相較于UADRC，調(diào)節(jié)時(shí)間短，跟蹤誤差小，具體數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 FI-UADRC與UADRC動(dòng)態(tài)性能對(duì)比數(shù)據(jù)

如圖9所示，兩種方法的系統(tǒng)誤差均收斂到0，但在期望值發(fā)生大的跳變時(shí)，兩種方法的系統(tǒng)誤差均出現(xiàn)一定波動(dòng)，而基于U模型的模糊免疫自抗擾控制系統(tǒng)相對(duì)于改進(jìn)前的U模型自抗擾方法對(duì)于系統(tǒng)本身的劇烈變化反應(yīng)迅速，在較短時(shí)間內(nèi)回復(fù)穩(wěn)態(tài)值。由仿真2實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，基于免疫控制的自適應(yīng)調(diào)節(jié)功能，基于U模型的模糊免疫自抗擾控制系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性。

圖9 FI-ADRC控制CSTR過(guò)程系統(tǒng)誤差e(t)

綜合上述仿真實(shí)驗(yàn)分析，基于U模型的模糊免疫自抗擾控制方法求取系統(tǒng)控制輸入過(guò)程簡(jiǎn)單，并且能夠較為準(zhǔn)確的跟蹤理想輸出，且在擾動(dòng)存在的情況下，能夠有效抵抗擾動(dòng)對(duì)非線性系統(tǒng)的不良影響，使控制輸入較為平滑。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)一類非線性系統(tǒng)擾動(dòng)抑制問(wèn)題，引入U(xiǎn)模型方法進(jìn)行被控對(duì)象建模，有效降低了非線性系統(tǒng)控制律求解的計(jì)算難度。結(jié)合模糊免疫控制算法和U模型自抗擾控制方法提出基于U模型的模糊免疫自抗擾控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，對(duì)系統(tǒng)不確定性以及外部擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)抑制，改進(jìn)U模型自抗擾控制方法的非線性反饋環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)擾動(dòng)下的精確跟蹤控制。通過(guò)仿真對(duì)比驗(yàn)證，可以看出基于U模型的模糊免疫自抗擾控制方法抗擾性能優(yōu)于U模型自抗擾控制方法，跟蹤誤差更小，反應(yīng)速度更快，有效抑制擾動(dòng)影響的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了跟蹤控制。