帶有諧波減速器的框架系統速度波動抑制

陳祥文，李海濤

（1.北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京 100191；2.北京航空航天大學 寧波創新研究院，浙江 寧波 315800；3.北京航空航天大學 前沿科學技術創新研究院，北京 100191）

1 引言

控制力矩陀螺以其輸出力矩大、動態響應快、控制精度高等優點成為超敏捷衛星和大型航天器的理想執行機構［1-3］。控制力矩陀螺主要由高速轉子系統和框架系統兩部分組成。其中高速轉子系統產生角動量H，框架系統通過提供轉速ω來改變角動量H的方向，從而對外輸出力矩，陀螺輸出力矩為二者的矢量積。在控制力矩陀螺正常工作的狀態下，高速轉子系統處在穩速狀態，為陀螺提供恒定的角動量H。此時，陀螺輸出力矩的精度取決于框架系統轉速ω的精度［4］。因此，實現框架系統輸出轉速的高精度控制對于提高控制力矩陀螺輸出力矩精度具有十分重要的意義。

在航天應用當中，為滿足航天器對于體積和重量的要求，控制力矩陀螺需要在保證輸出大力矩的同時，盡可能減小其自身尺寸。因此，需要在框架系統中增加減速機構以實現這一需求。相較于其它減速機構，諧波減速器具有體積小、傳動比大、傳動精度高、結構和安裝簡單等優勢，成為控制力矩陀螺理想的減速機構。但是由于運動誤差、遲滯特性和非線性摩擦等因素，諧波減速器的輸出轉矩表現出非線性特性，使得輸出角速率存在較大波動［5］，而由于諧波減速器各組件的加工和裝配誤差導致的運動誤差是框架系統產生速率波動的主要因素［6］。Miyazaki等人認為諧波減速器運動誤差是電機端角位置偶數倍頻的正弦疊加，呈現出位置域周期性［7］。

為抑制運動誤差造成的框架系統速率波動，文獻［8］通過非線性微分跟蹤器獲取角加速度信號，實現了加速度反饋控制。Godler等人將加速度反饋與重復控制相結合以抑制負載端角速度的周期性波動［9］。但是重復控制需要一定的收斂時間，雖然在勻速狀態下可以獲得良好的控制效果，但當系統處于變速狀態時，由于收斂時間的存在，其動態響應性能較差。

為更好地抑制諧波減速器的非線性傳輸力矩，提高轉速的控制精度，一般采取前饋控制對干擾進行抑制。相較于反饋控制，前饋控制將干擾量直接引入調節裝置，按照干擾的作用對被控量進行調節，對于干擾的抑制要比反饋控制及時。在諧波減速器的相關研究中，目前常用的前饋控制方式有兩類：（1）以非線性傳輸力矩建模為基礎，基于模型的前饋；（2）將非線性傳輸力矩視為擾動，使用干擾觀測器對其觀測并在控制器中進行補償。

對于第一類方式，文獻［10］提出了一種基于Preisach模型的建模方法，通過建立柔輪輸出力矩與扭轉角之間的關系，得到諧波減速器遲滯特性模型。黨選舉等人用非線性函數代替Prandtl-Ishlinskii模型框架下Play算子的線性部分，并在此基礎上建立了神經網絡遲滯模型，提高了建模精度［11］。針對非線性摩擦，有研究人員利用采樣電流和估計的角加速度建立了庫倫+粘滯+Stribeck摩擦模型，并設計了基于該模型的前饋補償控制算法用以提高框架系統的速度控制精度［12］。文獻［13］提出了一種基于拉格朗日方程的在線建模方法，通過對諧波減速器非線性傳輸轉矩建模補償以實現對負載端轉速波動的抑制。但是建模過程中存在參數辨識困難，前期工作量大等問題。另一方面，由于諧波減速器的非線性傳輸力矩成因復雜，在建模過程中需要對一些因素進行取舍，難以實現精確建模，所以基于模型的控制方法的補償精度受到一定限制。

對于第二類利用干擾觀測器觀測非線性傳輸轉矩并補償的方式，文獻［14］提出一種基于干擾觀測器和自適應方法相結合的前饋補償方法，用以補償諧波減速器轉矩波動導致的速度波動。在此基礎上，王沖沖等人在內外回路中分別采用干擾觀測器對非線性摩擦和周期性擾動進行觀測和補償［15］。但基于傳統狀態干擾觀測器的補償方法，其觀測器增益矩陣選取困難，同時，傳統的狀態干擾觀測器設計通常集中于保證控制器與觀測器相結合之后的系統穩定性，很少關注擾動觀測精度。為簡化觀測器增益參數選取，提高觀測精度，文獻［16］使用級聯擴張狀態觀測器來替換傳統的狀態干擾觀測器，但是帶有諧波減速器的框架系統的動力學方程不滿足積分串聯形式，需要通過李導數對其進行坐標變換，增加了系統的計算復雜度。

除上述兩類方式之外，從跟蹤性能的角度出發，迭代學習控制也是一種很有效的前饋控制方式［17-19］。迭代學習控制最初由日本學者有本卓在1984年首次提出，由于其結構設計簡單、不依賴于被控對象的模型、對周期性擾動信號具有很好的抑制作用，因此得到了廣泛的應用［20］。文獻［21］通過對輸入、輸出信號的迭代學習來獲取定位系統復雜動力學的等效逆模型，實現了音圈電機電磁驅動平臺的高精度控制。Bolder等人使用迭代學習控制來調節參數化前饋控制器的自由參數，以實現系統的無靜差跟蹤［22］。同樣是針對參數化前饋控制器設計，Dai等人通過基于逆模型的迭代學習控制方法在勻速狀態下獲取前饋補償信號，以實現系統對參考信號的無靜差跟蹤，然后通過多項式對前饋補償信號進行擬合，獲取參數化的前饋控制器，從而達到在變參考狀態下的無靜差跟蹤［23］。

傳統的迭代學習控制是在時間域內進行迭代，但是運動誤差導致的速度波動是在電機端的位置域內呈周期性的，所以不能直接應用。為解決這一問題本文將位置域與迭代學習控制相結合，利用運動誤差導致的速度波動在位置域內的相位不變性［24］，在位置域內對調節誤差進行迭代學習在線建立前饋補償表，實現了變速情況下的快速響應和精確補償，提高了間驅式框架系統負載端的速度跟蹤精度。

2 間驅式框架系統速率波動分析

帶有諧波減速器的框架系統動力學方程可以表示為：

其中：ωm和ωl分別是電機端和負載端的轉速，Jm和Jl分別是電機端和負載端的轉動慣量，Bm和Bl分別是電機端和負載端的阻尼系數，Kh是諧波減速器的扭轉剛度，N是諧波減速器的傳動比；表示諧波減速器折算到負載端的扭轉角，θm和θl分別是電機端和負載端的角位置；Te表示電磁力矩，Td表示負載端的擾動力矩。

間驅式框架控制系統采用速度環和電流環雙閉環結構，負載端角速率和運動誤差θe之間的關系為：

其中：a0=N[B2B3+B2B7Bl]+KhGω(s)KmGi(s)；a1=N[B2B6+B3L+B7(JlR+BlL)+KmBlCe]；a2=N[B2B5+B6L+B7JlL+KmJlCe]；a3=N[JmJlB2+B5L]；a4=NJmJlL；B0=NKhJm；B1=B1B2+NB3L+B4Jl；B2=R+Gi(s)；B3=KhBm；B4=KhCeKm；B5=JmBl+分別是速度環和電流環PI（Proportional Integral）控制器的傳遞函數，分別是速度環和電流環的比例項系數和分別是速度環和電流環的積分項系數；分別是電機數學模型，電機端負載數學模型和負載端負載數學模型，L為定子電感，R是定子電阻，Km=1.5pψf是電機的力矩系數，ψf是電機的磁鏈系數；Ce是電機的反電勢系數。

文獻［6］給出了諧波減速器運動誤差的一般表現形式：

其中：Ai（i=1，2，3，…，n）表示各倍頻的正弦幅值。根據運動誤差表達式（3）可以知道其引起的負載端角速率波動具有位置域周期性，將位置域頻率f?定義為：

其中，f為時間域內的頻率。對框架系統不同轉速下的速率曲線進行FFT分析，得到運動誤差在位置域中的頻譜圖，如圖1所示。

圖1 運動誤差在位置域頻譜圖Fig.1 Spectrum of motion error in position domain

由圖可知，運動誤差在不同速度下都是電機端角位置的偶數倍頻，而且集中在低頻段，其主要 頻 率 分 量 為

3 迭代學習前饋補償控制

為抑制運動誤差導致的負載端轉速波動，在傳統雙閉環控制結構中引入基于位置域迭代學習控制的前饋補償方法，通過對速度環調節誤差進行迭代獲取補償表。

傳統的迭代學習控制所解決的周期性擾動問題，通常是指在時間域內的周期性，而諧波減速器運動誤差導致的負載端速率波動在電機端的位置域內呈現周期性。針對此類問題，文獻［25］提出一種“域轉換”方法，通過該方法可以將位置域內的周期性擾動轉換為時間域的周期性擾動。本文首先在位置域內建立了迭代學習控制算法用以抑制諧波減速器負載端角速率波動，然后通過“域轉換”方法將其轉換到時間域內討論其收斂性問題。所提出的迭代學習控制方法框圖如圖2所示，其中ej為第j個位置周期內的速度調節誤差。

圖2 迭代學習控制框圖Fig.2 Block diagram of iterative learning control

根據圖2可以得到位置域中迭代學習控制表達式為：

其中：s?表示位置域中的拉普拉斯算子；Γ表示反饋增益；Φ是學習增益；α∈(0，1)為遺忘因子，用于抑制非周期性信號的影響，其大小與收斂速度負相關，為保證系統動態響應速度，α應在條件允許范圍內盡可能的小。該表達式是以位置域中的拉普拉斯算子為自變量得到的，相較于傳統的時間域中的拉普拉斯算子，二者之間只是選取變量的表達形式有所不同，其所代表的實際物理意義是一樣的。二者之間可以通過“域轉換”原理進行變換，具體變換形式為：

其中：f(t)是時間域中的函數是位置域中的函數，對求導可得：在框架系統中因 此s?和s之間的關系可以化簡為：

根據（8），可以將（5）在時間域中表示為：

使用雙線性變換法將（9）離散化為：

由于迭代學習控制律中不包含具體的拉普拉斯算子，因此（9）和（10）只需要更換自變量即可。結合迭代學習控制之后，完整的框架系統控制框圖如圖3所示，其中紅框部分可以等效為被控對象Gp（s）：

其中：Q1(s)=1+Gi(s)Gm(s)，Q2(s)=s+KhGl(s)，Q3(s)=KmCeGm(s)Gml(s)。使 用 雙 線性變換法，將Gp(s)和Gω(s)離散化為：

收斂性是迭代學習控制的主要指標之一，只有當迭代學習控制算法收斂，才能夠確保控制系統的整體穩定性，根據圖3可以得到此時系統的狀態：

圖3 基于迭代學習控制前饋的框架系統控制框圖Fig.3 Block diagram of gimbal system based on iterative learning feedforward control

其中：uj(z)、uc，j(z)和us，j(z)分別是第j個時刻 迭代學習前饋的輸出、速度環控制器的輸出和Gp(z)的參考。根據（14），可以得到：

將（14）中第5式與（15）相結合，通過遞推的方式可以得到第j個時刻的速度調節誤差表達式：

為了盡可能減少阻尼等與速度相關的擾動的影響，使得速率波動的位置域周期性更加明顯，從而獲取準確的補償表，系統需要運行于勻速狀態。因此（16）式的右側第二項為一恒值常量，系統的收斂條件可以表示為：

在參數選取時，首先根據噪聲抑制效果與迭代次數之間的關系確定遺忘因子，然后通過極點配置和收斂條件獲取參數選取范圍，最后通過仿真和試驗效果確定參數取值。

在實際系統中，補償信號會在迭代過程中引入遺忘因子難以完全抑制的非周期性噪聲。多次迭代后，當調節誤差中周期性波動的幅值小于噪聲的幅值時，繼續迭代會放大噪聲，使得補償效果變差。為此，本文通過如下停止條件來確定迭代停止時刻。

當條件（18）成立時，迭代學習控制算法停止迭代，前饋補償表建立。前饋補償量根據當前電機端角位置查表獲取，不受參考指令變化的影響，確保了框架系統在變速條件下的動態性能。

4 仿真驗證

為驗證所提方法的有效性和可行性，利用Matlab/Simulink對該方法進行了仿真驗證，仿真中框架系統的主要參數如表1所示。

表1 間驅式框架系統的主要參數Tab.1 Main parameters of intermediate drive gimbal system

考慮到運動誤差導致的負載端轉速波動主要集中在低頻段，仿真中施加的擾動模型如下：

圖4給出了不同迭代次數下的補償信號。通過該圖可以發現，隨著迭代次數的增加，補償信號逐漸趨于穩定。這是由于迭代學習控制輸出補償信號是對同一角位置下的速度調節誤差不斷累積得到的，隨著迭代次數增加，速度調節誤差逐漸減小，補償信號的變化逐漸趨于平緩。

圖4 不同迭代次數下的補償信號Fig.4 Compensation signal under different iteration times

在系統中不存在非周期性噪聲的情況下，隨著迭代次數的增加，在補償信號的作用下，負載端速率波動逐漸趨于零，不同迭代次數下的負載端速率波動如圖5所示。

當系統中存在非周期性噪聲時，補償效果與迭代次數之間不再是正相關，通過在仿真中增加高斯白噪聲模擬系統噪聲，補償信號仿真結果如圖6所示。

通過圖6中的結果可以發現，在噪聲存在的情況下，補償效果在第15次迭代時最佳，之后隨迭代次數的增加補償效果變差。這是由于隨著迭代次數的增加，負載端轉速中噪聲的幅值逐漸增大并最終超過周期性的轉速波動，使得噪聲對補償信號的作用遠高于周期性擾動的作用。換言之，補償信號中噪聲的含量隨著迭代次數的增加而升高，最終淹沒周期性補償信號。仿真結果表明，當系統中存在噪聲時，為保證補償信號的準確性，迭代的次數必然是有限的，而且有限次的迭代在一定程度上節省了系統資源，提高了系統的運行效率。

圖6 含有噪聲時不同迭代次數下的補償信號Fig.6 Compensation signal under different iteration times with noise

5 試驗結果

本研究的試驗平臺是基于單框架磁懸浮控制力矩陀螺工程樣機的試驗系統，如圖7所示。框架控制系統是基于DSP芯片TMS320F28377D實現的數字控制系統。永磁同步電機用于輸入力矩，諧波減速器將輸入力矩放大。負載端的角位置通過23位精度的雙通道旋轉變壓器檢測，并對該角位置進行后向差分獲取轉速用于速度閉環控制。電機端的角位置通過編碼器來檢測，用于電流坐標變換。系統的主要參數與仿真中的參數一致。

圖7 基于單框架磁懸浮控制力矩陀螺的試驗平臺Fig.7 Experimental platform based on single gimbal magnetic levitation control moment gyro

為檢驗誤差補償表對速度波動的抑制效果，將在10°/s勻速條件下建立的補償表加入到系統中，試驗結果如圖8所示。可以發現，加入補償表之后，在各自轉速條件下，速度波動被分別抑制掉了31.8%（5°/s）和40.9%（10°/s）。試驗結果表明，所提方法獲取的補償表可以有效地補償諧波減速器運動誤差導致的轉速波動，提高轉速控制精度。

圖8 勻速狀態下補償前后速度Fig.8 Speed before and after compensation at constant speed

圖9給出了基于所提方法的正弦跟蹤曲線及跟蹤誤差，正弦參考速度曲線為3sin（6πt）（°）·s-1。從圖中可以發現，補償后的跟蹤誤差被抑制了30.5%（從4.07°/s下降到2.83°/s）。同時，跟蹤誤差中的二倍頻（圖9中紅框內）被有效補償。試驗結果表明基于位置域迭代學習控制建立的補償表在動態條件下依然具有良好的轉速波動抑制效果，這是由于所提方法在補償表建立完成之后，迭代停止，補償值根據電機端角位置查表獲取，即使參考指令變化也無需重新學習，極大地提高了系統的動態響應性能。另一方面，從圖8和圖9的補償效果可以看出在噪聲特性不變的情況下，所建立的誤差補償表具有一定的普適性。

圖9 正弦跟蹤速度曲線及跟蹤誤差Fig.9 Sinusoidal tracking speed curve and tracking error

6 結論

本文在分析了諧波減速器運動誤差的基礎上，提出了基于位置域迭代學習控制的前饋補償算法，用于對諧波減速器運動誤差造成的負載端角速率波動進行抑制。同時對位置域迭代學習控制算法進行了分析，給出了算法的收斂條件和迭代停止條件。最后，通過仿真和試驗驗證了所提方法的有效性和可行性。試驗結果表明，在施加了基于位置域迭代學習控制方法建立的補償表之后，框架系統負載端速度波動量被抑制了30 %以上，所提方法為進一步提高帶有諧波減速器的框架系統的速度控制精度提供了良好的基礎。