長導軌五自由度測量中直線度精度提升方法與優化設計

張 聰，劉文正，段發階，傅 驍，王新星

（天津大學 精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津 300072）

1 引言

多自由度測量是實現機床幾何誤差快速、高精度檢測的重要手段［1］，為補償機床空間誤差、提高加工精度提供數據支撐。對于大型機床，其最長導軌的行程往往可以達到4米以上［2］，然而測量距離的增加會影響多自由度的測量精度。多自由度測量裝置中的直線度測量單元一般基于激光準直原理研制而成，在長距離測量時，受光束漂移、角度耦合、光斑尺寸變化等影響較大［3］，將直接影響大型機床誤差測量精度。因此，對長導軌多自由度測量中的直線度測量單元進行優化設計具有重要意義。

目前，基于激光準直原理的直線度測量方法被廣泛應用于多自由度測量裝置中［4-6］，為了提高測量精度，眾多學者從不同角度進行了研究。為了抑制或補償激光光束漂移，馮其波等人［7］使用單模光纖耦合輸出的激光器作為光源，能夠有效抑制光源本身的漂移，而且結構小巧易于系統集成；殷純永等人［8］在光路結構中使用兩束足夠靠近的激光，一束用于測量，另一束用于采集噪聲，可以在一定程度上去除噪聲，但光路結構復雜，難以安裝，使用場景受限；由鳳玲等人［9］使測量光路與監測激光漂移光路完全共路，提高補償效率，對于激光器本身的漂移具有很好的補償效果，但難以補償局部空氣擾動帶來的光束漂移；朱凡等人［10］使用平動式反射鏡補償光束漂移，楊濱赫等人［11］使用帶壓電陶瓷的二維角度調整架補償光束漂移，有效提高了激光準直精度，但試驗均在1米測量距離內進行，不能克服長距離測量時空氣擾動的影響。多自由度測量裝置工作時，角度測量往往會對直線度測量產生耦合干擾，高帥［12］、崔存星［13］分別對五自由度、六自由度測量裝置測量中產生的誤差串擾進行了分析與補償，提高了測量精度，但誤差串擾模型與光路結構直接相關，當光路結構改變后，需要進行特定的分析與處理。四象限探測器（Quadrant Detector，QD）由于精度高、響應速度快等特點常被用作直線度測量傳感器，但存在非線性隨量程變大而加劇以及靈敏度受光斑尺寸影響的問題，當在固定距離下測量時，光束截面尺寸不變，標定時使用多項式擬合［14-16］可以很好地解決QD非線性的問題；當被測物移動時，光束截面尺寸變化，QD測量靈敏度隨之變化，蔡引娣等人［17］和崔存星等人［18］均按靈敏度隨距離線性變化處理，但在長距離測量時，這種處理方法的誤差很大，需要一種新的方法來解決靈敏度變化的問題。

本課題組提出了一種基于激光準直與自準直原理的五自由度測量裝置［19］，本文在此基礎上對裝置中的直線度測量單元進行了優化設計。其中，采用了望遠物鏡結構，相比于單透鏡，可以在有限空間內增加焦距至大于機械尺寸，使光束角度漂移測量更加精確；分析了角度串擾引入的直線度誤差，對直線度測量模型進行修正；提出了一種多項式擬合與三次樣條插值擬合相結合的分區間標定方法，實現QD長距離大量程下的高精度測量；最后，對優化后的直線度測量單元性能進行了試驗驗證。

2 直線度測量單元及其測量模型

2.1 五自由度測量結構中直線度測量光路

五自由度測量結構基于激光準直與自準直原理設計，采用激光器發射與探測器接收分體式結構，簡稱收發分體式結構。如圖1所示，發射端安裝在導軌基座上固定不動，接收端安裝在導軌滑塊上同時移動，實現導軌誤差測量。為了實現長導軌的五自由度測量，將位置測量傳感器全部安裝在接收端，這種結構比收發一體式結構［20］縮短一半的光程，抗干擾能力增強。

圖1 收發分體式激光五自由度測量結構Fig.1 Transceiver split laser five-degree of freedom measurement structure

該光路結構可以測量俯仰角、偏擺角、滾轉角、水平直線度與垂直直線度共五個自由度。激光器（LD）發出的光束經平面鏡1（M1）反射后，經分光鏡1（BS1）后被分為兩束光。其中，透射光經分光鏡2（BS2）后又被分為兩束光，一束光照射在四象限探測器1（QD1）上，測量水平直線度和垂直直線度，另一束光經凸透鏡1（L1）聚焦在位置敏感探測器1（PSD1）上，測量俯仰角與偏擺角；反射光經平面鏡2（M2）反射后與經BS1的透射光平行，照射在四象限探測器2（QD2）上，測量垂直直線度，結合QD1測得的垂直直線度解算出滾轉角。

構成直線度測量單元的基本元件包括LD、M1、BS1、BS2與QD1，如圖2所示。當只產生直線度時，光斑在QD1上坐標變化為（X，Y），QD1四個通道輸出光電流，并轉換成電壓用于計算，水平直線度和垂直直線度測量模型表示為：

圖2 直線度測量單元光路Fig.2 Optical path of straightness measurement unit

其中，X、Y是關于電壓的函數，需要經過標定后確定，標定方法將在下一節討論。

2.2 光束漂移測量光路結構及補償模型

長距離測量時，發射端的光束角度漂移對直線度測量產生嚴重的干擾，需要更精密的光路測量漂移量。在發射端末端增加望遠物鏡結構，如圖3所示，光束經分光鏡3（BS3）反射后先后經過凸透鏡2（L2）、凹透鏡3（L3）聚焦在位置敏感探測器2（PSD2）上，從而測量光束角度漂移。

圖3 光束角度漂移測量光路安裝圖Fig.3 Installation diagram of beam angle drift measurement optical path

望遠物鏡的焦距大于機械尺寸，相比于單透鏡，可以在相同安裝空間內獲得更長的焦距，根據自準直測量原理知，當PSD2位置測量精度相同時，透鏡焦距越長，角度測量精度越高，因此，望遠物鏡可以達到更高的測角精度，望遠鏡光路如圖4所示。設L2的焦距為f2、L3的焦距為f3、L2與L3之間的距離為d，則望遠物鏡的組合焦

距f表示為：

當光束角度漂移θy、θz時，如圖5所示，PSD2上 聚 焦 的 光 點 坐 標 變 化(ΔzPSD2，ΔyPSD2)，LD到QD1的光程為l1+l2，則水平直線度和垂直直線度測量時光束角度漂移的補償模型Δδx1、Δδy1為：

圖5 光束角度漂移測量示意圖Fig.5 Schematic diagram of beam angle drift measurement

2.3 角度串擾誤差分析及補償模型

五自由度測量時各自由度之間產生串擾，需要分析角度測量對直線度測量產生的串擾誤差，構建補償模型并修正直線度測量模型。以水平直線度為例，光束透過BS2照射到QD1上，BS2是平行平板，假設接收端此時無水平直線度誤差，當接收端偏擺角變化εy時，光路以QD1中心旋轉εy，光線透射后出現偏移，如圖6（a）所示，設玻璃折射率為n，BS2邊長為h，其他角度對直線度測量的影響可以忽略。同理，當進行垂直直線度測量時，俯仰角εx產生串擾誤差，如圖6（b）所示。水平直線度、垂直直線度角度串擾誤差補償模型Δδx2、Δδy2為：

圖6 角度串擾誤差示意圖Fig.6 Schematic diagram of angular crosstalk error

其中：接收端偏擺角εy、俯仰角εx由PSD1基于自準直原理測得。PSD1測量結果εy'、εx'中包含接收端角度和光束漂移角度，經PSD2補償后即可得到εy、εx，表示為：

其中：f1為L1焦距，(ΔzPSD1，ΔyPSD1)為PSD1上光點坐標變化。經補償后的直線度測量模型為：

3 長距離直線度測量標定方法

3.1 QD理論測量模型

理想情況下，單模光纖耦合激光器輸出的光束可以看做高斯光束，基于高斯光束建立QD測量模型，如圖7所示。光束傳播過程中的截面半徑是雙曲線，可以表示為［1］：

圖7 基于高斯光束的QD測量模型Fig.7 QD measurement model based on Gaussian beam

其中：ω0為束腰半徑，z為傳播距離，z0為束腰位置，λ為激光波長。

光斑照射在QD上后，獲得四通道電壓，分別為u1、u2、u3、u4，可以計算出光斑的相對位置［21］：

光斑位置與其相對位置之間具有非線性關系，認為光斑光強是標準的高斯分布，QD感光面積足夠大且象限之間縫隙的影響忽略不計，進行推導［21］，可得：

其中：erf-1（·）為誤差函數的反函數。以x方向為例，QD上光斑位置與其相對位置關系如圖8所示，隨著測量范圍變大，非線性加劇。

圖8 QD上光斑位置與相對位置關系（x方向）Fig.8 Relationship of the spot position and its relative position on QD（x-direction）

3.2 固定距離下標定方法

由式（7）、（9）知，固定距離下，光束截面半徑不變，測量靈敏度不變，QD的非線性隨著量程增加而加劇。實際測量時，光束不是理想的高斯光束，光斑位置與相對位置的關系不嚴格遵循式（9），本文使用多項式描述該函數關系。

水平直線度與垂直直線度的標定方法一致，以水平直線度為例進行說明。搭建固定距離下的直線度標定系統，如圖9所示，使用激光干涉儀線性測量功能提供標準值，位移臺提供水平方向的微小位移，接收端和線性反射鏡同時固定在位移臺滑塊上隨之移動，遵循阿貝原則，共同測量水平直線度。

圖9 固定距離下直線度標定系統Fig.9 Straightness calibration system at fixed distance

在QD測量范圍內，測量n個點用于多項式擬合，消除測量非線性，標定精度要求亞微米級別，四階多項式擬合即可滿足要求，多項式階數增加，一定程度上可以提高標定精度，本文以四階多項式為例進行說明，在測量距離L處的擬合結果表示為：

其中：A4，L、A3，L、A2，L、A1，L為擬合的多項式系數，常數項暫時歸零，即認為相對位置為零處是零點，長距離標定時通過零偏校正統一處理。

3.3 長距離分區間標定方法

距離改變后，光束截面尺寸變化，QD靈敏度改變，需要重新標定。長距離測量時，為了應對QD靈敏度變化的問題，提出一種分區間標定方法。

首先，將整個測量距離劃分為多個區間，如圖10所示，區間劃分的越多，標定精度越高，但工作量也越大。然后，對區間邊界位置的QD分別進行標定，得到對應的多項式：

圖10 長距離標定區間劃分示意圖Fig.10 Schematic diagram of calibration interval division under long distance

最后，對各區間內的多項式系數進行求解，由于多項式系數沒有明顯的特征，使用三次樣條插值法進行擬合。以四次項系數為例，將其看做一個與測量距離相關的函數，定義為：A4=R(L)是區間［L1，Ln+1］上的函數，節點為L1＜L2＜L3＜…＜Ln+1及 相 應 的 函 數 值 為A4，L1、A4，L2、A4，L3、…、A4，Ln+1，若函數S(L)滿足：

（3）在 每 個 區 間［Li，Li+1］上，其 中i=1、2、3、…、n，S(L)是次數不超過3的多項式。則稱S(L)是函數R(L)以L1、L2、L3、…、Ln+1為節點的三次樣條插值函數。由于理想高斯光束的截面半徑為雙曲線，在束腰和遠端的截面半徑變化率近似常數，因此使用自然邊界條件進行求解，即：

結合節點處函數值、一階導數連續、二階導數連續的條件，求解出唯一的三次樣條插值函數，進而可以獲取區間內任意測量距離下的四次項系數。同理，利用三次樣條插值法求解出三次項系數、二次項系數、一次項系數。

激光在長距離傳播時，光斑分布均勻性發生變化，不再嚴格中心對稱，因此QD測量的零點不共線，造成零偏，如圖11所示。

圖11 長距離QD測量零偏示意圖Fig.11 Schematic diagram of QD measurement zero offset under long distance

使用激光干涉儀直線度測量功能校正QD測量零偏，如圖12所示。五自由度測量裝置與激光干涉儀同時測量一長導軌的直線度，發射端與激光干涉儀直線度反射鏡固定不動，接收端與激光干涉儀沃拉斯頓棱鏡同時放置在長導軌的滑塊上隨之移動，共同測量長導軌的直線度，激光干涉儀測量值與QD測量值的差值是主要由激光干涉儀測量誤差、QD測量零偏、QD測量局部非線性誤差等造成的。其中，激光干涉儀測量誤差主要由本身測量精度、安裝誤差導致，下文分析了安裝時未遵循阿貝原則導致的阿貝誤差并提出了補償方法，而激光干涉儀自身測量精度引入的誤差無法消除，在分析QD測量不確定度時應考慮其影響，本文旨在介紹標定方法，不再贅述；QD測量非線性經多項式擬合與三次樣條插值擬合后得到改善，遠小于QD測量零偏的影響，因此，認為激光干涉儀與QD測量值的差值主要由測量零偏引起的。

圖12 QD測量零偏校正示意圖Fig.12 Schematic diagram of QD measurement zero offset correction

受安裝空間限制，激光干涉儀的測量不符合阿貝原則，沃拉斯頓棱鏡安裝在QD1正下方，只存在Y方向的阿貝偏位，因此使用電子水平儀測量滑塊的滾轉角，結合阿貝偏位補償激光干涉儀的阿貝誤差，使QD測量零偏校正得更加準確。在節點處測量得到校正值，將其作為式（11）的常數項：

其中，XM，Li為修正阿貝誤差后的激光干涉儀測量值。同理，利用三次樣條插值法求解出區間內任意測量距離下常數項，完成最終的標定。

4 試驗驗證與分析

搭建了五自由度測量裝置，如圖13所示。其中LD選用單模光纖耦合輸出的激光器（PL-FP-633-A-1-SA-14BF，LD-PD），激 光 波 長λ=633 nm，配合光纖準直器（TC18APC-633，Thorlabs）輸 出 準 直 光 束，并 選 用M1（RAP112-A，Lbtek）轉折光束方向。BS1和BS2選用非偏振分束鏡（BS1255-A，Lbtek），邊長h=12.7 mm，折射率n=1.52。QD1選用低噪聲、高精度的四象限探測器（S5981，Hamamatsu）。望遠物鏡結構中L2選用f2=50 mm的凸透鏡（BCX10310-A，Lbtek）、L3選 用f3=-25 mm的 凹 透 鏡（CC10305-A，Lbtek），L2與L3之間距離d=31 mm。PSD2選用低噪聲、高精度的位置敏感探測器（DL16-7，First Sensor）。

在中國計量科學研究院的80 m長度標準裝置實驗室內（溫度17±0.5℃，氣壓98.9～101.8 kPa，濕度20%）進行了標定及其他測試。選取該標準裝置的5 m行程作為試驗對象（長導軌），測量裝置的發射端放置在長導軌平臺上固定不動，接收端放置在長導軌滑塊上進行移動，發射端與接收端之間用風琴防護罩連接，減弱空氣擾動對光路的影響。

4.1 直線度標定試驗

直線度測量單元的最遠測量距離設定為5 m，以1 m處為起點，間隔1 m劃分區間，則節點為1 m、2 m、3 m、4 m、5 m，長導軌的測量距離可以通過位置反饋傳感器實時獲取，分別在節點處進行標定。如圖14所示，激光干涉儀（SJ6000，Chotest）、接收端、位移臺同時固定在長導軌滑塊上，滑塊移動到對應節點位置固定不動，由位移臺提供微小位移，激光干涉儀與接收端同時測量。標定范圍為±400 μm，間隔40 μm左右測量一次，共21個點。

圖14 固定距離下標定試驗Fig.14 Calibration experiment at fixed distance

固定距離下的標定結果如圖15所示，最大殘差標準差（SD）不超過0.3 μm，因此使用四階多項式擬合可以滿足測量精度要求，多項式系數見表1。

圖15 固定距離下標定結果Fig.15 Calibration results at fixed distances

表1 固定距離下標定所得的多項式系數Tab.1 Polynomial coefficients obtained from calibration at fixed distance

利用三次樣條插值法求解出區間內任意測量距離下多項式系數：

為了證明該方法的有效性，在2.5 m和3.5 m處與激光干涉儀進行對比試驗。代入式（14）～（17），求得2.5 m和3.5 m處的多項式：

為了證明該方法在長導軌直線度測量時的優越性，與直接使用線性插值法［18］進行對比，測試結果如圖16所示。試驗結果表明，使用分區間三次樣條插值法（Spline）的誤差明顯小于線性插值法（Linear）的誤差，誤差標準差在0.3 μm以內，因此在固定測量距離下可以實現高精度測量。

圖16 標定效果測試結果Fig.16 Calibration effect test results

五自由度測量裝置在實際使用中，移動端隨被測導軌滑塊移動，對于長導軌直線度測量，高斯光束光強分布不再嚴格的中心對稱，使得QD的測量零點存在偏位且不能忽略，因此使用激光干涉儀（Renishaw，XL-80）、電子水平儀（Auleadson，DEG-I）進行了零偏校正試驗，如圖17所示。利用式（13）求得多項式的常數項，見表2。

表2 QD測量零偏校正值Tab.2 Zero offset correction value of QD measurement

圖17 QD測量零偏校正試驗Fig.17 QD measurement zero deviation correction experiment

4.2 角度串擾誤差補償驗證試驗

試驗時使用的長導軌精度高，角度誤差小于2″，對直線度串擾影響可以忽略。為了測試角度串擾誤差補償的效果，使用旋轉臺（ZX110-200，Lyseiki）模擬長導軌的偏擺角εy，如圖18所示，旋轉臺從-60″到60″轉動，每次轉動約12″，共11個測量點，對水平直線度測量造成串擾誤差，對比補償前、補償后的水平直線度測量結果，從而驗證串擾誤差補償效果，如圖19所示。試驗結果表明，偏擺角對水平直線度測量產生串擾誤差，補償前水平直線度測量誤差在±1.4 μm以內，存在斜率，補償后消除了斜率，即偏擺角產生的串擾誤差，水平直線度測量誤差在±0.2 μm以內，其中還包含其它誤差因素，因此，補償后串擾誤差可忽略不計。

圖18 角度串擾誤差模擬試驗Fig.18 Simulation experiment of angular crosstalk error

圖19 角度串擾誤差補償測試結果Fig.19 Test results of angle crosstalk error compensation

4.3 穩定性試驗

在測量距離5 m處進行了穩定性測試，測試時間為3 h，同時記錄未補償和補償光束角度漂移的直線度數據，結果如圖20所示。試驗結果表明，光束角度漂移對直線度測量產生誤差，補償后穩定性在±0.5 μm以內，效果顯著。同時注意到，測量數據仍然有漂移，分析可能的主要因素有環境溫度變化造成光束傳播路徑上折射率梯度變化，造成光束偏折；測量接收端受溫度影響，產生熱變形；激光器長時間工作后，激光光強分布變化等。

圖20 直線度測量穩定性測試結果Fig.20 Straightness measurement stability test results

5 結論

本文針對長導軌五自由度測量裝置中直線度的精密測量要求，對直線度測量單元進行了優化設計。首先，在光路中增加了望遠物鏡結構，建立了光束角度漂移補償模型；然后，分析了角度串擾對直線度測量引入的誤差，建立了角度串擾誤差補償模型；最后，提出了一種多項式擬合與三次樣條插值擬合相結合的QD分區間標定方法，解決了長距離下QD非線性及靈敏度變化的問題。試驗結果表明：在5 m長導軌上、±400 μm量程內，與激光干涉儀測量結果對比，標定后QD測量誤差標準差小于0.3 μm，相比于線性插值法標定具有明顯優勢，角度串擾補償與光束漂移補償均具有良好的效果，其中角度對直線度的影響可忽略不計，3小時內直線度漂移小于±0.5 μm，實現了長導軌直線度的精密測量。