在動手實踐中培養學生的數學核心素養
——以蘇科版八（下）“反比例函數”復習課教學為例

■賀洪秋

蘇科版八（下）第11章“反比例函數”是初中函數內容的重要組成部分，是介于一次函數與二次函數之間的一個過渡函數，在函數的學習過程中，起到了承前啟后的作用。本節課是本章的復習課，筆者從生活情境出發，自始至終利用同一個背景函數，層層遞進，融和了基本知識、基本技能、基本思想方法，有效地啟發和推動學生對知識的內化。在這個過程中，力求發展學生數學抽象、數學建模、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養。基于這樣的想法，筆者設計了如下環節。

一、創設情境

師：我打算周末帶家人去焦山游玩，家里沒有口罩了，我讓兒子去超市買，他回來后列了個表（如表1）。你能從學習過的一次函數和反比例函數中確定一種函數來表示其變化規律嗎？請求出它的函數表達式。

表1

【設計意圖】從學生感興趣的生活情境入手，結合時事和文化背景，讓學生感受數學就在我們身邊；對比一次函數和反比例函數特征，從數的角度進行數據分析，得到反比例函數表達式的一般形式，進而構建出反比例函數表達式的三種等價形式以及變量的取值范圍；自然地過渡到從“形”的角度解決此問題，在平面直角坐標系中描點、畫線，觀察圖形形狀，滲透“數形結合”的思想方法。

二、動手實踐

師：請同學們在平面直角坐標系中描出三個點A（1，4）、B（2，2）、C（4，1），根據三個點之間的關系，你能發現什么？

生1：我發現A、B、C三點不共線，得出它們在反比例函數圖像上。

生2：我知道該函數的圖像是雙曲線，所以圖像還有一支，在第三象限。根據雙曲線的中心對稱性，我還可以畫出另一支圖像。

生3：當k＞0時，反比例函數圖像過第一、三象限；k＜0時，反比例函數圖像過第二、四象限。

【設計意圖】反比例函數的知識要點就是它的圖像與性質。筆者通過讓學生自己畫圖，主動搭建知識框架，引出了反比例函數的對稱性、增減性等。

例1已知點A（-2，y1）、B（-1，y2）都在反比例函數的圖像上，則y1與y2的大小關系為

師：你是怎樣得到y1與y2的大小關系的？

生4：代入法、性質法、圖像法。

變式訓練1已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜0＜x2）都在反比例函數的圖像上，則y1與y2的大小關系為

變式訓練2已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）都在反比例函數的圖像上，則y1與y2的大小關系為

【設計意圖】比較大小題型可以考查學生對反比例函數性質的理解，也能檢驗學生利用圖像解決問題的能力。變式訓練1把特殊值一般化，讓學生感受利用圖像解決問題的必要性；變式訓練2要討論A、B兩點所在象限的三種情況，可培養學生的分類意識和邏輯能力。

【設計意圖】在例2中，已知一個變量的取值范圍，求另一個變量的取值范圍，目前學生用代數方法解不等式是解決不了的，只能結合圖像來研究。同時，有的問題答案是多段的，解決問題時教師要提醒學生注意臨界值能否取到以及不能漏解兩大易錯點。該類題型能夠培養學生的圖形意識和分析能力。例3若反比例函數的圖像與一次函數的圖像交于A（-4，m）、B（n，4），如圖1，你能根據題意提出一個問題并指定同學解決嗎？

圖1

【設計意圖】本題開放性的問法讓學生打開自己的思路，拓展思維，充分尊重學生的思維方式和解決問題的方法，讓學生出題考學生的設計也會讓他們更加積極地參與到活動中來。學生在提出問題的過程中更能理解題目的考點和要求，提出問題比解決問題更能訓練思維。

例4如圖2，雙曲線交矩形OCED于A、B兩點，已知點E（2，4），點A為CE的中點。

圖2

（1）求線段AB的長；

（2）在線段OA上存在一點M，當△MOB的面積等于時，求點M的坐標；

（3）是否存在一點N，使得O、A、B、N四點構成平行四邊形？若存在，請直接寫出N的坐標；若不存在，請說明理由。

【設計意圖】本題綜合性較強，是對學生掌握了基礎知識后的綜合運用與提升，也是對學生數學核心素養的檢驗。

師：你能發現反比例函數的美嗎？

生5：對稱美——圖像中心對稱。

生6：曲線美——雙曲線。

生7：簡潔美——表達式只有一個參數。

生8：距離美——圖像和坐標軸永不相交。

師：在本節課開頭，我們以買口罩過程中所涉及的“銷售問題”為背景，得到了反比例函數y及其圖像，你還能給該函數賦予其他不同的實際背景嗎？

【設計意圖】學生在數學學習的過程中發現數學之美，培養欣賞美的能力，知道數學不僅是一門理性學科，也可以很感性。

三、教學反思

本節課的每一個問題都緊緊圍繞著同一個反比例函數來探索研究，不斷延伸該反比例函數，變化出新的問題，考查了多個知識點，使學生無需重新熟悉新問題的背景，很有連貫性，大大地提高了課堂效率。同時，本節課培養學生的數學核心素養，發展建模意識，讓學生學會抓住問題本質，掌握“在生活中發現問題→抽象出函數表達式→畫出圖像→結合圖像研究性質→回歸生活解決問題”的過程。最終，在完成知識體系建構的同時，培養了學生的數學核心素養。

專家點評

“反比例函數”是初中數學的重要內容。賀老師從生活情境出發，引發學生多方面思考，提高學生核心素養，具體表現在以下三個方面：

巧妙的問題設計。問題是課堂中的重要元素，沒有問題的課堂是沒有活力的，問題串的設計是課堂教學的重要組成部分。賀老師巧妙設計問題，把知識點串聯起來。如，根據三個點之間的關系，你能發現什么？你怎么得到y1與y2的大小關系？等等。

真實情境的問題設計能有效激發學生的興趣，提升課堂效率。

頻繁的師生互動。師生互動的過程是教師和學生不斷溝通的過程，主要有三個特點：一是溝通，二是平等，三是開放。本節課的推進始終是在師生互動的方式下進行的，教師作為引導者，在平等的狀態下與學生交流，可以看出學生生成非常自然，思維始終處于活躍狀態。

多角度的問題思考。多角度思考問題就是從不同的角度、不同的方向去思考問題，以感知、記憶、聯想、理解為基礎，尋求多樣性答案的一種展開性思維方式，它在課堂教學中能培養學生創造性思維。賀老師在比較函數的大小關系時，啟發學生用代入法、性質法、圖像法等不同方式比較大小；接下來的一題多變，層層深入，使得知識結構化，網絡化；最后，從不同角度總結出反比例函數圖像的對稱美、曲線美、距離美、簡潔美。