高一學生數學眼光測試研究

胡晉賓， 趙 月， 劉洪璐

(1.江蘇第二師范學院數學系， 江蘇 南京 210013；2.昆山市石牌中學， 江蘇 昆山 215312；3.南京師范大學附中， 江蘇 南京 210003)

一、研究緣起

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(簡稱《標準(2017)》)在課程性質中，提出了“引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”[1]的課改理念。自此“三會”被高度關注，通常簡記為數學眼光(即“數學的眼光”)、數學思維和數學語言，含義分別等價于數學觀察、數學思考和數學表達。《義務教育數學課程標準(2022年版)》(簡稱《標準(2022)》)承接并發展了相關思想，明確提出了“數學課程要培養的學生核心素養”，即會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界[2]。“三會”被寫進《標準(2022)》課程目標，作為重要理念統領數學核心素養培養。相對于數學思維和數學語言來說，數學眼光一詞大家比較陌生。數學眼光理論內涵是什么，學生數學眼光水平如何、原因何在，應該怎樣去培養數學眼光，是當下亟待研究的課題。以下結合高一學生數學眼光問卷測試，對上述問題進行相關探討。

二、內涵解讀

《標準(2022)》指出：“數學為人們提供了一種認識與探究現實世界的觀察方式。通過數學眼光，可以從現實世界的客觀現象中發現數量關系與空間形式，提出有意義的數學問題；能夠抽象出數學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結構；能夠理解自然現象背后的數學原理，感悟數學的審美價值；形成對數學的好奇心與想象力，主動參與數學探究活動，發展創新意識。”[3]為了方便理解，我們給出數學眼光的如下操作定義：“數學眼光主要指在現實與數學之間進行的思維切換，也即：立足知識儲備，關涉活動經驗，借助數學抽象和直觀想象，從現實案例‘看到’數學內涵，從數學內涵‘想到’現實案例。”[4]數學眼光是雙向的，既有看到現實案例想到數學內涵的一個側面，也有看到數學內涵想到現實案例的一個側面。圖1給出了數學“三會”與數學特點、三個基本思想的大致對應關系。從根本上來說，無論是數學眼光(數學觀察)、數學思維(數學思考)還是數學語言(數學表達)，背后內核都是“數學地思考”的能力。只不過差異在于，如果把數學整個活動看作是從現實世界提升到數學世界、在數學世界內部推進、從數學世界回饋到現實世界這樣三個發展樣態的話，那么數學眼光對準的是第一個階段，即從現實世界到數學世界這一跨越中。數學眼光是“三會”之一，不涉及后面數學思維和數學語言兩個階段。數學“三會”和數學關鍵能力、“四基”“四能”都有對應關系，其中數學眼光在高中階段主要對應的核心素養(關鍵能力)是數學抽象和直觀想象[5]。

圖1 “三會”、基本思想與數學特點對應關系

三、問卷編制

(一)模型建構

基于數學眼光內涵，研究從現實、數學、素養這三個維度建立測評框架(如圖2所示)。第一，現實維度，按照弗賴登塔爾的“現實數學”理論，“現實性(reality)”是指真實世界(real-world)和數學世界(math-world)的總和，不能望文生義地理解為真實世界、現實世界[6]。結合國際PISA測試等研究，劃分為生活情境、數學情境、科學情境三種類別，每種情境參考《課標(2017)》劃分為熟悉的、關聯的和綜合的三個水平。第二，數學維度，根據課標理念，劃分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率三種類別。第三，素養維度(關鍵能力)，對準數學抽象和直觀想象兩種類別，參照《課標(2017)》劃分為三個水平。

圖2 數學眼光的測評框架

(二)試題編制

考慮到數學眼光的雙向性質，即一方面能夠從現實案例“看到”數學內涵(正向)，另一方面能夠由數學內涵“想到”現實案例(反向)，因此測試題可以分別從現實到數學、數學到現實這兩個角度來編制。測試卷共計30道試題，涉及正向有21道試題，涉及反向有9道試題。在現實維度中，生活情境、數學情境、科學情境試題數分別為13，10，7；在數學維度中，數與代數、圖形與幾何、統計與概率試題數分別是14，12，4；在素養維度方面，預設水平 1、水平 2、水平 3 試題數分別為9，13，8。

(三)信度效度

在文獻研究基礎上，根據數學眼光內涵，從現實、素養、數學維度建立框架，并在多位同行幫助下完成初稿，之后邀請數名一線特級教師以及研究專家審閱。選取30名高一學生進行試測，回收有效問卷28份。之后根據測試答卷擬定評分標準進行數據分析，克朗巴赫Alpha系數為0.701。利用SPSS軟件進行因子分析，KMO值為0.732，巴特利特球形檢驗統計量為χ2=345.53，P=0.000(<0.01)。事后深入反思并據作答情況對測試卷做了修改完善，特別是明確要求測試時詳細寫下理由。

四、數據統計

(一)測試組織

正式測試選取江蘇省兩所四星級學校高一學生210名，其中甲校男生60名、女生45名，乙校男生58名、女生47名。(兩校各1個重點班、1個普通班)。測試時間45分鐘。共收回問卷190份，其中169份有效。進行審閱和編碼后，導入EXCEL和SPSS中進行數據分析。

(二)評分示例

鑒于部分試題會出現空白以及出現一些與題目無關的答案，因此在素養水平的基礎上增加零級水平，并參照數學核心素養水平劃分，由低到高賦值為0，1，3，5分，測試卷滿分為150分。具體評分示例如下。

試題：(1)拉面師傅拉面時將1根粗面團一分為二，再由2根到4根、到8根，……由此聯想到的數學知識是什么？為什么？(2)你還能舉出相似的例子嗎？越多越好。

分析：本題考查從現實案例中抽象出數學知識的能力，屬于數與代數領域，要求發現數字變化規律，同時將之總結為底數為2的冪指數，并且聯想到生活中含有數字翻倍增長特點的案例。評分如表1。

表1 評分標準舉例

(三)描述統計

測試描述性統計數據，如表2所示。數學眼光最小值為42分，最大值為106分，分數差距較大，沒有學生獲得滿分，平均分為65.25。同時，標準差13.442，波動較大，意味著測試樣本數學眼光差異較大。偏度為0.608，大于0，呈正偏態，說明數據的分布具有較長的右尾，高于均值的數據居多。峰度為0.276，大于0，說明分布呈高狹峰，在平均值左右的數據頻數較大。大體上看，水平1和水平2的試題得分率大部分在50%左右，但是水平3的試題得分率明顯低于其他2個水平，最高得分率為41.8%，最低得分率僅為20.2%。由此說明高一學生數學眼光處于中低等水平，層次高的學生較少。數學眼光水平處于水平2的學生人數最多，占總人數的46.7%；水平1的學生占比為24.5%，人數較多；居于水平3的學生較少，僅占22.3%；還有6.5%的高一學生，數學眼光處于零水平(0分)。

表2 數學眼光描述統計

(四)性別差異

首先按照性別進行統計(表格從略)，表明男生測試卷總分略高于女生。其次分析學生在每道測試題的得分情況，發現女生在水平1的測試題平均分高于男生得分，但男生在水平3試題得分高于女生，其他2個水平試題得分情況不相上下，再次驗證男生數學眼光水平略高于女生，同時發現男生與女生數學眼光水平差異主要體現在水平1和水平3上。再次對測試卷總分進行分析，發現“方差方程的Levene檢驗”中Sig的值大于0.05，所以方差相等，再看“均值方程的t檢驗”中Sig的值，小于0.05。因此男生與女生數學眼光有顯著差異，并且男生數學眼光水平略高于女生。

(五)班型差異

對不同班型做統計分析發現(表格從略)，實驗班學生中處于水平0、水平1和水平2的人數占比都小于普通班，但實驗班達到水平3的人數占總人數的25.3%，而普通班達到水平3的人數占總人數的19.9%。進一步對不同班型學生的各個測試題得分及總分間的差異進行獨立樣本t檢驗，從各個測試題得分來看，除了第17題以外，實驗班學生在其他各題平均分均高于普通班；再從測試卷的總分來看，實驗班學生的平均分高于普通班學生。因此，總體上高一實驗班學生數學眼光比普通班學生強。再從測試卷的總分來說，“方差方程的Levene檢驗”中Sig的值大于0.05，表明方差相等，再看“均值方程的t檢驗”中Sig的值，小于0.05。因此，實驗班與普通班學生的數學眼光存在顯著差異，并且實驗班學生數學眼光水平高于普通班學生。

(六)知識差異

學生數學眼光按照數學知識維度進行統計，如表3所示。可以發現圖形與幾何知識得分最高，每道題均分為2.3948。這表明高一學生在圖形與幾何的知識方面，有著較好的數學眼光。同時，觀察3個維度得分的標準差，發現圖形與幾何的標準差低于其他2個維度，意味著在這一維度得分比較穩定，水平差距不大。

表3 不同數學知識描述統計

為了進一步了解不同性別和班型學生是否在3個知識領域存在數學眼光差異，根據數學眼光得分將每位按照性別進行班型差異做分析，結果如表4和表5所示。從中可以看出，男生平均分始終高于女生，實驗班學生平均分也高于普通班學生。由表4發現，男生與女生在各個內容維度得分均不存在顯著差異。由表5發現，實驗班與普通班學生在3個知識領域得分存在顯著差異。綜上可知，在3個數學知識領域維度，男生比女生具有較好的數學眼光，但差異不明顯；實驗班學生數學眼光高于普通班學生，且存在顯著差異。

表4 不同性別學生在知識維度水平差異

表5 不同班型學生在知識維度水平差異

(七)學業相關

為了解高一學生數學眼光與數學成績之間關系，根據數學眼光得分和上學期數學學業成績，采用Pearson相關分析方法，得到如表6所示結果。可以發現：高一學生數學眼光與數學學業成績的相關系數為0.504，且顯著性0.000<0.05，屬于較顯著正相關。通過各個水平上數學眼光相關性分析可知，數學眼光越強，數學學業成績越好。

表6 數學眼光與數學學業成績相關分析

五、結果剖析

(一)數學抽象概括能力不強

在面對具體情境時，許多學生無法舍棄和數學無關的非本質屬性，抽象出數學概念及相應知識，因此導致得分偏低。測試第28題如下：(1)某科技小組去戶外探險，通過危險的濕地時人有可能陷進去爬不出來，他們急中生智想到了利用鋪墊木板的方式獲得通過，利用什么數學知識可以解釋這種做法的原因？理由是什么？(2)這種數學知識還能解釋哪些現象？理由是什么？回答正確的學生都能從壓強的公式抽象出反比例函數，水平不高的學生答案往往是壓強與面積有關，但具體的數學函數關系卻概括不出來。導致學生概括能力不足的原因很大程度上在于，數學教學中現實情境和數學知識切換不自然，數學知識本質揭示不充分。很多學生發散思維不佳，因此測試中未見該題以下數學眼光回答案例：旋轉臺燈的亮度調節，收音機的音量改變，電壓一定時電流和電阻關系，距離一定時平均速度和時間關系，釣魚時怎樣握桿省力氣(杠桿原理)，滑雪時為啥要用滑雪板，物理學中的波義爾馬略特定理，磨刀鋒利后切割更加省力(磨刀不誤砍柴工)背后的數學內核，等等。

(二)數學直觀想象水平偏弱

通過對錯誤答案分析發現，學生能夠利用已有經驗，從新問題中抽象出一些熟悉的數學知識，但是部分學生遇到陌生的或改編的試題，無法想到與正確答案有關的知識點。從圖形與幾何維度的試題作答情況分析，發現很多學生的直觀想象水平不高，從而導致失分嚴重。這有可能和日常教學中，過于重視邏輯推理和計算，忽視形象思維和想象有關。測試第8題如下：(1)因為三角形具有穩定性，所以這種屬性被廣泛地應用到生活中。除了前面所說的晾衣架之外，你能再舉出幾個三角形穩定性的例子嗎？越多越好。(2)理由是什么？很多學生往往只是記住了教材中的案例，但是不能學以致用，不會見異思遷，很難展開想象。實際上，以三角形的穩定性為例，就有自行車撐子停車、空調外機安裝固定、攝影器材三角鼎立、太陽能熱水器結構性焊接、步兵射擊采用跪姿等案例。對比四邊形就沒有這樣的穩定性，因此自動伸縮門一般都是平行四邊形結構等。

(三)數學活動經驗積累缺少

六、教學建議

(一)注重“四基”素養教學

數學“四基”指的是，數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，它們是數學學習和發展的一個整體系統。從廣義的教育心理學上來說，上述“四基”都是純度不同的知識。學生通過數學活動，積累基本活動經驗，有的沉淀為基礎知識，有的物化為基本技能，有的上升為基本思想。在這個過程中，學生逐漸獲得數學核心素養。其中，數學眼光在高中階段主要對應數學抽象和直觀想象。測試表明，數學知識與數學眼光高度相關。數學“三會”包括數學眼光，都是建基在數學“四基”和素養的基礎上的。因此要把數學“四基”和核心素養教學，落實到日常教學之中去。只有這樣，數學“三會”才能落地生根。

(二)強調應用創新意識

數學學習無疑應該強調學以致用，在繼承基礎上才能不斷推陳出新。數學“三會”中明確指出，數學眼光要“觀察現實世界”。結合前面理論框架，這種“現實”實際上對應數學應用，劃分為生活、數學和科學應用等，應該和數學進行雙向性互動切換。這種強調現實的理念既能激發學生學習興趣，也能溝通生活數學、學校數學和純粹數學之間的關聯。天長日久的浸潤，日積月累的熏陶，學生逐漸養成帶著數學眼光觀察現實世界的習慣，從而不斷形成伴隨終生的數學應用和創新意識。

(三)倡導多種思維互補

眾所周知“數學是思維的科學”，一般說來數學思維主要有邏輯思維、形象思維和直覺思維之分。既往數學學習和研究中，以演繹推理為主的邏輯思維占據主導地位。數學邏輯思維循規蹈矩，形象直覺思維創意無限。在數學學習和發明創造過程中，數學形象和直覺思維無處不在。數學眼光強調的是學科味道的數學觀察，它是看到現實想到數學后“一觸即發”的專業敏感，或者是看到數學想到現實后“條件反射”的學科本領。在這數學眼光的發生過程中，表現更多的是數學形象思維和直覺思維，因此它們對于數學眼光的培養至關重要。在日常教學中應該兼顧不同思維形式，強調數學思維品質培育。▲