培育模型意識核心素養的教學研究

張 昆

(淮北師范大學 數學科學學院， 安徽 淮北 235000)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱“課程標準”)結合《普通高中數學課程標準(2017年版)》，提出的6項具體的數學核心素養，再依據《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出的10個關鍵性“核心詞”，抽繹出了15項數學核心素養要素作為義務教育數學學科的課程目標，“模型意識”要素被列為其中的第12項[1]。為了探究“模型意識”這項核心素養要素的內涵、實用價值與教育教學價值，宜于從“課程標準”中的“模型意識”課程目標概念內涵說起。

一、“課程標準”中“模型意識”核心素養內涵及其教育教學價值

“課程標準”字斟句酌，將模型意識這項核心素養描述成，“模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑。能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數學的概念與方法予以解釋。模型意識有助于開展跨學科的綜合實踐活動，增強對數學的應用意識，是形成模型觀念的經驗基礎。”[2]在這段文字中，將“模型意識”界定為“對于數學模型普適性的初步感悟”，就是說，將“意識”解釋為某種程度上的“感悟”，對于人們理解“模型意識”核心素養概念幫助不太大，因為“感悟”還是一個比較模糊的概念。那么，關于模型意識核心素養究竟具有怎樣的內涵呢？

微生物農藥是近幾年在生物科技的推動下，將化學防治技術與生物防治技術結合起來的一種病蟲害防治技術。微生物農藥是指將能夠殺死病蟲害的微生物細菌、病毒等添加到農藥中，代替農藥中的化學成分。這樣既能夠起到保護環境的作用，還能有針對性地殺死油菜的病蟲害，且該防治技術快速有效。但是該防治技術使用成本比較高，對微生物的研究利用還不是很充分，需要根據病蟲害的變化，進一步加大研究力度，推廣微生物農藥防治技術［4］。

從語法上講，“模型意識”概念是一種偏正結構，其中的“意識”是中心詞，而“模型”是限制詞。筆者通過仔細思考與分析認識到，“意識”概念在這里的內涵具有“警醒”(警醒學習主體盡可能地選擇構建與使用“模型”這一工具探究與解決數學問題)的意思，指的是一種心理準備狀態[3]。因此，模型意識這個概念指的是學習數學知識的主體在心理上，時刻準備著構造數學模型或運用現成的數學模型的一種心理準備狀態，即在面臨與數量關系或空間形式的相關問題時，對于數學模型招之能來、來之能用的一種心理準備狀態；如果在解題主體的數學現實中，目前還不存在適應問題特點的具體數學模型時，首先，通過分析面臨問題的信息特點在現場中即興地構造出數學模型，然后，及時進行應用這種數學模型解決問題的心理準備狀態。

面臨具有具體特點的信息所組成的與數量關系或空間形式有關的問題，通過構建數學模型解決這個問題，這個數學模型就構成了數學知識。就是說，一個數學概念(特別是統攝性的數學概念)、一個數學公式、一個數學定理等，都是一個數學模型，曾經也都是為了解決具有某種特點的數學問題而構造出來的，最后由于數學模型應用的廣泛性，而成為一代一代新人的學習素材。

注：之所以以生2提供的比較這兩種“糖水”含糖量的方法為參考，是由于歷史上所形成的文化規范制約，其實，生1所構想的方法，也照樣可以解決這道題，而且顯得更為簡單。但是，從生1提供的方法中抽象出的公式，其應用范圍沒有生2這個公式廣泛且更具有普適性，因此，生2這個公式更具有基礎性與應用性。

數學知識是作為一個有價值的工具性框架，為解決現實世界中所出現的與數量關系或空間形式相關的問題服務的。把現實世界信息中涵蘊的數量關系或空間形式的問題稱為現實原型，為了解決現實生活中與數量關系或空間形式有關的問題而構造出來的數學結構形式稱為數學模型。數學模型其實具有一般性或抽象性，由于生活中存在許多與數量關系或空間形式相關問題的信息(特別是即使信息表象上具有差異)的相似性，一個具體的數學模型往往能夠解決一類問題，從而具有普適性特點，從表面上考察，有些問題之間可能相差甚遠。

因此，分析培育“模型意識”核心素養的數學教學設計及其課堂實施這個主題所得到了結論，能夠認識到，依據具體信息特點，選擇使用現成的數學模型封裝信息解決問題，如果沒有現成的數學模型可供選擇，而必須依據信息特點，在解決問題的現場中即興地構建出有效數學模型解決問題，這兩者都需要學習主體的創造性，這就構成了培養學生創造性的優質課程資源，這也是“課程標準”將“模型意識”作為核心素養課程目標的原因之所在。那么，在課堂教學中，如何培育學生的“模型意識”核心素養呢？

從表2中可以看出，控制終點酸度為20 g/L時，即可達到除氯的效果，當提高終點酸度時，雖然除氯效果有所上升，但上升幅度較小，考慮到除氯段終點需要調節pH，宜選擇終點酸度為20 g/L即可。根據廢電解液的起始酸度，要控制終點酸度20 g/L左右，酸化時候控制液固比為4∶1即可達到終點酸度的要求。由于液固比較低，防止漿液黏稠，酸化時控制溫度60 ℃。酸化的條件為起始酸度140 g/L，終點酸度20 g/L，液固比4∶1，酸化過程溫度60 ℃。

二、培育“模型意識”核心素養教學設計中的兩個維度

一、安慶公司接地干線網位于汽機廠房南北兩側，呈長方形布局，采用60*8mm熱鍍鋅扁鋼焊接而成，各個主建筑物均有分支接地網既獨立接地又與主干接地網可靠相連，水平接地體埋入深度大于0.8米，接地線（不含設備接地線）不得少于2點。

一方面，利用合適的數學教學素材，培育小學生的數學模型意識。小學生由于難以熟練地使用數學符號語言，培養“模型意識”核心素養更多地依靠母語語言，這就需要數學教師選擇合適的數學情境，從情境中鼓勵學生意識到涵蘊于其中的與即將出現的數學模型相關的問題，并設法幫助學生使用他們自己的語言表述問題，在明確具體問題的內涵以后，探究解決問題的思路過程，對于那些新穎的問題或者創造性的解題方法，就是構成數學模型的有價值素材，啟發學生從問題及其創造性解答過程中抽象出數學模型。數學模型的建構構成了數學模型意識的一個維度。

另一方面，使用數學模型以解決某一類數學問題構建工具性框架，因此，適合模型的數學問題就可以使用這個框架解決之，這就是數學模型的應用，在這里，特別需要注意的是，有的問題解題思路需要使用的數學模型與問題提供的信息形式往往相距甚遠，這就需要培養學生對于具體問題信息的意義轉化過程，信息是死的，但是，賦予信息以意義的解題主體的數學現實卻是活的，問題本質是依據解題主體已經掌握了的數學格局為基礎的，是數學格局賦予了問題的具體信息以具體意義(后文中的例2清楚地說明這一點)。有時，數學問題的具體表征或特點，似乎與某種數學模型沒有表面上的必然的聯系，但是卻存在著相同的本質。這種數學問題的本質與某個具體數學模型本質之間的聯系是應用數學模型的重要途徑，因此，數學模型的應用也構成了數學模型意識的另一個維度。

在數學模型意識的這兩種不同的維度中，構造數學模型的意識是應用數學模型的意識的基礎，應用數學模型的意識對于構造數學模型具有促進作用。因此，其一，在培養學生數學模型意識核心素養的教學設計及其課堂實施中，數學教師要將主要精力集中到培養學生建構具體的數學模型上去，其關鍵點就在于選擇合適的問題情境，從而刺激學生從問題情境中發現具體的問題；其二，數學教師也要充分注意，鼓勵學生將自己已經建構起來的數學模型運用于新的問題中去。

三、鼓勵學生建構數學模型及其應用的教學示例

在教學設計及其課堂實施中，如何培育學生“模型意識”核心素養，從理論上分析出了三個環節：其一，根據模型特點選擇相關的情境素材；其二，啟發學生從情境素材中，提出合適的問題，從而分析問題的結構，據此結構，構建數學模型，使用模型解決問題，這個模型便作為數學知識進入公庫；其三，通過教學設計有目的、有預設地運用這個具體的數學模型解決新的問題，從而拓展具體數學模型的應用范圍。這里以基于“濃度”概念建立數學模型的一個例子加以必要說明。

商鞅變法是我國歷史上較為徹底、較為成功的改革，實現其最初提出的富國強兵的目標，為此后秦國滅亡六國、統一中國奠定了基礎。如上所述，商鞅變法中大部分內容涉及財政改革，從財政角度分析研究商鞅變法，汲取其變法的經驗教訓，對當前深化財政改革具有現實意義。

(一)設置情境構建濃度概念的公式模型

對于培育學生“模型意識”核心素養教學目標而言，一個合適的情境是非常重要的。合適情境的特點在于：其一，簡單性，這是相對于學生來說的，情境信息應該依靠學生自己的生活背景，容易理解的較為簡單的問題；其二，基礎性，雖然簡單但確是構建或運用數學模型所必不可少的問題；其三，問題性，所設置的情境確是需要經由構建合適數學模型才能解決，而不是一眼就可以看穿的情境，這才具有問題性。

教師出示情境信息：將15克蔗糖放入85克水中與將20克糖放入100克水中，哪種糖水較甜？

師：“將15克蔗糖放入85克水”記為“糖水1”，“將20克糖放入100克水”記為“糖水2”，那么是“糖水1”較甜，還是“糖水2”較甜呢？

師：大家還有其他的解法嗎？

從“模型意識”核心素養的內涵與上述的分析結論中認識到，“模型意識”體現于兩方面：一是構建模型，指的是在沒有現實數學模型可以直接利用的情況下；二是已經構建出來的模型在新領域里的應用。因此，培育學生的“模型意識”也就相應地應該分為兩方面：

數學模型的這種特點也涵蘊著如何學習數學知識的心理途徑，那就是，數學教師尋找合適的教學素材信息，啟發學生從信息中萌生出具體的數學問題，為了解決數學問題，需要選擇具體的數學模型，如果選擇不出合適的數學模型，此時，就要啟發學生首先建構出數學模型，再使用已經建構出的數學模型解決問題。因此，構建數學模型具有很重要的數學教育教學價值，這是數學教師必須要認識到的。

(二)“濃度”公式模型在建構新的數學模型中的一種應用

例1 要配置濃度為20%的葡萄糖水溶液240克，需要濃度為10%的葡萄糖水溶液與濃度為40%的葡萄糖水溶液各多少克？

根據現有文獻的做法(史宇鵬和周黎安，2007[46]；劉修巖等，2017[47])，使用區域生產函數來研究特定區域因素對區域內經濟效率的影響是較好的方法，因此本文的實證模型設定為：

師：如何求解這道題？

易非應聘到了風城日報，報社的工作她應付得來，只是，記者們都不是善茬，關系并不好處理，而且，當一名記者，和她當建筑家的理想相去甚遠。有時候易非從報社二十四樓的窗口看出去，看到都是綠樹藍天映襯的紅色屋頂，那一棟棟的房子，真像積木般小巧可愛。在建筑師眼里，房子就應該是這種感覺吧？沒當成建筑家，但站在報社大樓里，得到的也是一樣的感受。這是老天爺對我另一種方式的彌補嗎？

構成全球定位系統的衛星原本用在軍事領域。當它們環繞地球飛行時，會發送它們的時間和位置，蘭德在報告中稱它們為“太空時鐘”。GPS設備的信號至少來自4顆衛星，因此在地球的任何地方都可以精確地定位設備所在的位置。

在保證各項安全交底工作的基礎上，項目部還需要加強對安全技術管理，做好相關技術安全措施。并且在此過程當中，項目部需要嚴格執行安全生產管理制度進行開展相關作業。基于河道整治工程的特點，以及其存在的危險點而言，加強對風險較大的分項目工程進行管理，同時制定出專項的安全生產方案。并組織相關人員針對工程的實際情況，對其所制定的方案進行審核，對專項方案進行可行性研究。此外，項目部還需要做好安全管理過程控制，實現動態化管理的目標。

生5：結果正確，容易檢驗。主要計算混合前的兩種溶液所含葡萄糖的質量之和與混合溶液的葡萄糖質量是否相等。由于160×10%+80×40%=48(克)，而240×20%=48(克)，從而160×10%+80×40%=240×20%，從而得出公式①是正確的。

師：記需要“濃度為10%的葡萄糖水”為“葡萄糖水3”，需要“濃度為40%的葡萄糖水”為“葡萄糖水4”。大家仔細思考，看看要配置濃度為20%的葡萄糖水溶液240克，究竟需要“葡萄糖水3”多，還是需要“葡萄糖水4”多？

師：非常好。生3的假設對于探究這種問題的思路具有重要作用。那么，生3是如何萌生出這樣的假設的？這種假設對于解決這道題具有怎樣的啟示呢？

2011年版《全日制義務教育語文課程標準》指出：“語文課程是實踐性課程，應著重培養學生的語文實踐能力，而培養這種能力的主要途徑也應是語文實踐。”“應該讓學生多讀多寫，日積月累，在大量的語文實踐中體會、把握運用語文的規律。”可見，培養學生寫作能力應通過大量實踐去達到目標。

生3：我想假設“葡萄糖水4”的濃度為30%的話，那么需要“葡萄糖水3”與“葡萄糖水4”的質量正好相等，即“葡萄糖水3”與“葡萄糖水4”都是120克。但是，由于實際上“葡萄糖水4”的濃度為40%，因此，如果也取120克的話，那么配置出來的葡萄糖水濃度就大于20%了。由此認識到，需要“葡萄糖水3”的質量應該大于120克，需要“葡萄糖水4”的質量應該小于120克。……

師：生4所得到的解題結果正確嗎？如何檢驗呢？

生：……(省略號表示學生思維的暫時中斷)

注：通過這種教學設計及其課堂實施活動過程，首先，鼓勵學生探究構建了公式①這個數學模型的心理過程；其次，運用公式①這個模型獲得了解決這道題的答案；最后，運用已經定義的濃度概念公式進行檢驗，驗證所求得的答案是正確的，從而驗證了公式①這個數學模型是正確的。

(三)公式①這一數學模型的再應用

在探究例1的解題思路時，成功地構建出了公式①這一數學模型，在真實意義上(即具有溶質、溶劑與溶液形成的濃度問題)應用是有效的，那么在一些從表面上看似不是真實的濃度問題中，是否也能夠應用呢？回答是肯定的，這里再舉一個例子加以說明。

例2 (我國古代《孫子算經》中的問題31的變形題)兔子野雞三十九，一百條腿地上走，多少野雞多少兔？

師：如何解決這個問題？

生：……

在技術扶持上，各縣（市）每年定期對民間資本參與建設的項目施工人員和管理人員開展經濟林種植、中藥材栽培、水利水保工程施工、運行及生產管理技術常規培訓，同時從相關部門抽調技術骨干作為科技特派員，帶薪、帶職、脫產，全面負責項目實施管理的技術指導和服務工作。岑鞏縣還采取行政領導和技術人員負責相結合的辦法，實行行政領導掛靠包干，技術人員跟班作業，為投資者在項目建設管理中提供全程技術服務。

注：從例1與例2內容的表象上考察，這是兩種性質完全不同的問題，但是，啟發學生經由設想與想象，幫助他們將這兩種不同類型的問題建立起意義上的聯系與關系，從而將例2這種“雞兔同籠”問題轉化為例1的這種濃度問題，利用公式①這一數學模型成功地解決了例2這個問題。由此，解題主體可以深深地體會到，數學模型具有一般性與普適性的特點。

四、結束語

“課程標準”將“模型意識”作為課程目標的15項核心素養之一，絕非偶然，這是因為數學知識總是以數學模型的方式表現出來的，一個數學概念、一個數學公式、一個數學運算法則、一個數學定理，都是數學模型。考察本文中關于“濃度”的定義，公式①是數學模型。數學問題的語言表達的本質是什么？這種意義主要是由解題主體的數學現實賦予的，從而可以將例2這種本來似乎與“濃度”概念沒有關系的問題形式，想象成了“濃度”問題，從而利用公式①簡潔而巧妙地獲得了例2的解答結果。這也說明了數學模型應用的廣泛性，數學問題的本質也是解題主體而賦予的。對此，廣大數學教師應該思之再思，慎之又慎，最大限度地利用教科書或課外的數學教學素材，培育學生的數學核心素養。▲