七種方法求解直線方程

盧會玉

(甘肅省嘉峪關市第一中學 735100)

高考對直線方程的考查也是比較常見，但是一般都是選擇或者填空題.有時用相關的平面幾何的知識解決問題是非常快捷的，有時用適合題目特點的一些方法也是比較合適.本文對一道涉及角平分線的題進行了深入的分析和探究，用七種方法揭秘這種類型問題的解法.

1 試題呈現

題目已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(2,3),B(-2,0),C(2,0),則∠A的平分線所在直線l的方程為____.

2 試題解析

解法1(利用角平分線的性質求解)易知直線AB的方程為3x-4y+6=0，直線AC的方程為x=2.

設M(x,y) 是l上任意一點，則由點M(x,y)到兩直線AB,AC的距離相等，得

化簡,得2x-y-1=0 ，或x+2y-8=0(易知斜率為負的舍去).

故所求直線l:2x-y-1=0.

解法2(利用角平分線的性質及線性規劃知識求解)易知直線AB的方程為3x-4y+6=0，直線AC的方程為x=2.

化簡,得2x-y-1=0，即為所求.

圖1

則容易求得l:2x-y-1=0.

解法4(利用平面幾何知識求解)依題意可知，直線l必過△ABC的內切圓的圓心，設內切圓的圓心為P，半徑為r(如圖2).

圖2

又由|AB|=5,|BC|=4,|AC|=3可知，△ABC為直角三角形.

所以P(1,1).

由直線l過P(1,1)和A(2,3)，

容易求得l:2x-y-1=0.

解法5(利用等面積法求解)依題意可知，直線l必過Rt△ABC的內切圓的圓心，設內切圓的圓心為P，半徑為r.

由直角三角形可知

所以6r=6.即r=1.則P(1,1).

由直線l過P(1,1)和A(2,3)，

容易求得l:2x-y-1=0.

解法6(利用等面積法求解)設l與x軸的交點為D(x0,0)，則點D到直線AB的距離d=|DC|=2-x0(如圖3).

圖3

又|BD|=x0+2，則

則容易求得l:2x-y-1=0.

則tan∠BAD=tan(∠ADC-∠ABD)

故所求直線l:2x-y-1=0.

以上七種解法，有的靈活運用了角平分線的定義、點到直線的距離公式、線性規劃等知識；有的巧用了三角形內角平分線和圓的切線性質，利用了內切圓半徑r與Rt△ABC的三邊關系；有的靈活運用了等面積法，從而快捷地求得內心的坐標及直線l的方程；有的利用了三角函數知識解決了問題.應該說不同的方法打開不同的思維通道，能給人很多啟發.