利用極限的保號性解決與極值點有關的函數問題

鄧啟龍

(廣東省中山紀念中學 528454)

與極值點有關的函數問題,近年來頻頻出現在高考試題中,例如2018年北京卷理科數學第18題和2018年全國Ⅲ卷理科數學第21題.特別是2018年全國Ⅲ卷理科數學第21題,該題題目簡潔,但難度很大,官方的參考答案思維巧妙,邏輯嚴密,很難想到.本文通過深入探究,利用極限的保號性解決此類與極值點有關的函數問題.

首先給出本文要用到的幾個引理.

引理1,2,3是由函數極限的保號性得到的結論.接下來利用以上引理來解決幾個典型的與極值有關的函數問題.

例1(2018年北京卷理18第(2)問)設函數f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.

解法1f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex

=(ax-1)(x-2)ex.

由f(x)在x=2處取得極小值得?δ>0,當x∈(2-δ,2)時,f′(x)<0,當x∈(2,2+δ)時,f′(x)>0.

[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex≥e2.

得(x-2)2exa+(3-x)ex-e2≥0.

由洛必達法則,得

于是f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增,沒有極值點,不符合題意.

即f(x)>f(2).

例2(2018年全國Ⅲ卷理21第(2)問)已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.若x=0是f(x)的極大值點,求a.

即(2+x+ax2)ln(1+x)-2x≤0.

得x2ln(1+x)a+(2+x)ln(1+x)-2x≤0.

當x∈(0,δ)時,

由洛必達法則,得

當x∈(-1,0)時,h′(x)>0,當x∈(0,1)時,h′(x)<0.于是h(x)在(-1,0)上單調遞增,在(0,1)上單調遞減.

所以當x∈(-1,1)時,h(x)≤h(0)=0.

所以當x∈(-1,1)時,f(x)≤0.

由x=0是f(x)的極大值點得?δ>0,當x∈(-δ,0)時,f′(x)>0,當x∈(0,δ)時,f′(x)<0.

易得?x∈(-1,0)∪(0,+∞)時,

則?δ>0,當x∈(-δ,0)時,g(x)>0,當x∈(0,δ)時,g(x)<0.

由洛必達法則，得

當x∈(-1,1)時,h′(x)≤0,于是h(x)在(-1,1)上單調遞減.

又h(0)=0,所以當x∈(-1,0)時,h(x)>0,當x∈(0,1)時,h(x)<0.

解法3f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x

由x=0是f(x)的極大值點易得x=0也是g(x)的極大值點,于是?δ>0,當x∈(-δ,0)時,g′(x)>0,當x∈(0,δ)時,g′(x)<0.

不妨設0<δ<1,則當x∈(-δ,0)時,a2x2+4ax+6a+1>0,當x∈(0,δ)時,a2x2+4ax+6a+1<0.

由引理3，得

當x∈(-1,0)時,g′(x)>0,當x∈(0,1)時,g′(x)<0.

于是g(x)在(-1,0)上單調遞增,在(0,1)上單調遞減.

所以當x∈(-1,1)時,g(x)≤g(0)=0.

通過以上例題可以發現,解決此類與極值點有關的函數問題的關鍵,是先將已知條件轉化為極值點x0的某去心鄰域上f(x)或f′(x)的不等式,然后通過類似分離參數的方法構造包含參數的函數,利用引理2或引理3得到參數的取值范圍,并說明取值范圍的充分性.