巧思維切入 妙技巧類比
——一道離心率的求解

廖 昕

(甘肅省蘭州市第三中學 730000)

涉及圓錐曲線離心率的求值或取值范圍問題，變化多端，破解時往往思維多樣、策略多變、技巧多樣，解決問題時或一種策略獨領風騷，或多種策略齊心協力，或另辟蹊徑，合理轉化，巧妙破解．

1 問題呈現

此題以雙曲線為問題背景，通過雙曲線的兩個焦點與一個頂點，以及雙曲線上的一個點，組成一個復合的三角形，利用相關內角之間的相等、倍數關系等合理構建，進而確定雙曲線的離心率的值．

2 問題破解

解法1(三角函數定義+余弦定理法)

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

圖1

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

利用余弦定理有

由cos∠MAF2+cos∠MAF1=0，可得

整理,得c2-ac-4a2=0.

即e2-e-4=0.

解法2 (余弦定理法)

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

利用余弦定理有

整理得(c-a)(c2-ac-4a2)=0.

即c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法3(相似三角形法)

圖2

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

如圖2，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，過點A作AH⊥MF1，垂足為點H，則有

易得Rt△MF1N∽Rt△AF1H.

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法4(勾股定理法)

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，過點A作AH⊥MF1，垂足為點H，則有

利用勾股定理，在Rt△AMN中，可得

又在Rt△F1MN中，可得

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法5(二倍角公式法)

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，則有

而∠MF2A=2∠MF1A，結合二倍角公式可得

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法6(二倍角三角形性質法)

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

則有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

在△MF1F2中，∠MF2A=2∠MF1A，

結合二倍角三角形性質，可得

(3a+c)2=(c+a)(c+a+2c).

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

3 變式拓展

探究1 保留題目創新情境，改變圓錐曲線的類型，將原來的雙曲線問題類比到橢圓問題，保留相關條件以及角之間的關系，同樣可以確定橢圓的離心率問題，得到以下相應的變式問題．

解析因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，則有|AM|=|MF2|=|F1F2|=2c.

結合橢圓的定義，可得

|MF1|=2a-|MF2|=2a-2c.

在△MF1A中，∠MAF2=2∠MF1A，

結合二倍角三角形性質，可得

(2a-2c)2=2c(2c+a+c).

整理，得c2+5ac-2a2=0.

探究2保留題目的創新背景，改變題目部分條件，以等腰三角形以及對應的線段長度等為背景來創設，進而確定相應雙曲線的離心率．

圖3

解析結合雙曲線的定義，可得

|MF1|=2a+|MF2|=5a，解得|MF2|=3a.

如圖3，取AF2的中點N，由△F2MA是以∠AMF2為頂角的等腰三角形，可知MN⊥F1F2.

利用勾股定理，可得

整理，得c2+ca-8a2=0.

4 解后反思

4.1 思維發散，方法歸納

破解以雙曲線為載體的圓錐曲線問題，利用圓錐曲線的定義確定相應的線段長度，利用條件中角之間的關系，可以考慮從解三角形思維、平面幾何思維、三角函數思維、特殊三角形思維、解析幾何思維以及圓錐曲線的定義思維等來切入，結合平面幾何、余弦定理、三角函數以及距離公式等知識，歸納相應的方法來分析，達到解決問題的目的．

4.2 探究拓展，能力提升

涉及圓錐曲線的問題，可以在一定條件下加以合理類比，進而挖掘、探究，得到與之相關的其他問題，拓展思維，從而全面提升思維能力、解題能力，提升數學品質，提高數學能力，培養核心素養．