賞析新情景數列問題

張子芳

(甘肅省民樂縣第一中學 734500)

本文側重賞析以下四類新情景數列問題的解析，旨在幫助同學們明確此類問題的求解策略，進一步鞏固所學數列知識在解題中的靈活應用，進而提高分析、解決問題的實際能力.

1 “周期”型數列問題

在數列問題中，當正整數n較大時，要計算an或Sn，一般是利用等差或等比數列的通項公式、求和公式求解；若數列不是等差或等比數列，則往往需要優先考慮數列的周期性.

例1在數列{an}中，已知a1=2，a2=3，當n≥2時，an+1是an·an-1的個位數，則a2022=____.

解析根據題設得a1=2,a2=3，a3=6,a4=8,a5=8,a6=4,a7=2,a8=8，a9=6,a10=8,a11=8,a12=4,a13=2,a14=8,….

所以據此可知數列{an}中的各項從第3項起，會反復出現數字6,8,8,4,2,8，即具有周期性(以6為周期).

又注意到2022=2+336×6+4，

故易知所求a2022=4.

評注通過羅列數列的前幾項，可歸納獲得該數列的周期性，這是本題求解的關鍵所在.

2 “分段”型數列問題

若所給原數列遞推式是分段函數的形式，則有意識地去探求新數列的相鄰兩項之間的緊密聯系，往往會發現隱藏在其中的規律、特點，從而便于迅速找到解題思路.

(2)根據題設,得

易知bn≠0.

3 “新運算”型數列問題

數列問題中，如果題目給出了“新運算”，那么需要我們先認真閱讀，準確理解、認識“新運算”的特點；然后再結合相關數列知識加以靈活分析、求解.

(1)若an=2n-1，則Q4=____；

(2)若Qn=n2(n∈N*)，則an=____.

解析(1)因為an=2n-1，

所以a1a2…an=n2(n∈N*).

①

于是，可知a1a2…an-1=(n-1)2(n≥2).

②

從而，當n≥2時，由①÷②可得

又當n=1時，an=a1=Q1=1，顯然不滿足上式成立.

評注由①②兩式求an時，必須要注意成立的前提條件是n≥2,否則極易出錯.

4 “新定義”型數列問題

數列問題中，如果題目給出了“新定義”，那么需要我們先認真學習，徹底搞清“新定義”是如何描述的；然后再結合相關數列知識加以靈活分析、求解.

例4 對任意x∈R，設[x]表示不超過x的最大整數，則函數f(x)=[x]叫做高斯函數(又稱“取整函數”).

(2)若bn=f(log2n),n∈N*，Tn是數列{bn}的前n項和，求T1024.

解析(1)通過觀察前n項，得

所以S30=0×(3-1)+1×(6-3)+2×(9-6)+…+9×(30-27)+10

=3(1+2+…+9)+10=145.

(2)通過觀察前n項，得

評注本題先將數列通項寫成關于“n”的分段函數的形式，這樣有利于幫助我們順利探求規律、簡潔求和.此外，要注意準確寫出數列通項公式中各段“n”的取值范圍.

總之，上述歸類舉例解析，不僅拓寬了我們的解題思維視野，增長了見識，而且可幫助我們積累一些求解數列新情景問題的經驗，同時強化了相關數學知識、思想方法在解題中的靈活、綜合運用能力.

一般來講，處理新情景數列問題需要過好三關：第一關，“心理關”，需要在心理上克服畏懼、膽怯等心理活動，必須具有積極的挑戰、探究、鉆研精神；第二關，“閱讀理解關”，通過認真閱讀、思考，有利于審清題意，知道題設條件是什么，明確目標問題是什么；第三關，“運用關”，能夠將所學數列知識與其他相關知識在解題中加以靈活運用，從而順利解決目標問題.