分數(shù)階混沌系統(tǒng)的無源反步控制器設(shè)計

趙飛，鄭永愛

（揚州大學信息工程學院，江蘇 揚州 225127）

最近，學者們提出了多種混沌系統(tǒng)的控制和同步方法[1-10]。其中，反步控制是一種將李雅普諾夫函數(shù)的選擇與反饋控制器的設(shè)計相結(jié)合的系統(tǒng)控制方法。文獻[11-13]利用反步控制法實現(xiàn)了整數(shù)階和分數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制和同步。無源控制是從系統(tǒng)的能量角度入手，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足無源性的一種控制方法，從而實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用無源控制，文獻[14]和文獻[15-16]分別實現(xiàn)了超混沌系統(tǒng)和分數(shù)階系統(tǒng)的控制和同步。結(jié)合反步控制和無源控制技巧，該文提出了實現(xiàn)分數(shù)階混沌系統(tǒng)的無源反步控制法。

1 預(yù)備知識

Caputo 微分定義為[17]：

其中，n-1 ＜α＜n,n∈N，Γ(·)為伽馬函數(shù)。非自治分數(shù)階系統(tǒng)如式（2）：

其中，α∈(0,1)是分數(shù)階，x=(x1,x2,…,xn)T是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，f=(f1,f2,…,fn)T是可微的非線性向量函數(shù)。

引理1[18]設(shè)x=0 是式（2）系統(tǒng)的平衡點，若存在李雅普諾夫函數(shù)V(x(t),t) 和K 類函數(shù)γi(i=1,2,3)滿足式（3）：

那么式（2）系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

引理2[19]若x(t)為連續(xù)可微函數(shù)向量，則有：

分數(shù)階系統(tǒng)如式（5）：

其中，x∈Rn是狀態(tài)變量，u∈Rm是輸入變量，y∈Rm是輸出變量，f(x)和g(x)是光滑向量場，h(x)是光滑映射，且f(0)=h(0)=0。

假設(shè)式（5）系統(tǒng)可以用式（6）表示：

其中，(zT,yT)T∈Rn是系統(tǒng)的新坐標，z∈Rn-m是狀態(tài)變量。

定義1如果存在一個正定李雅普諾夫函數(shù)V(z,y)(稱為存儲函數(shù)或能量函數(shù))，滿足對任意的t≥0有≤uT y，則式（6）系統(tǒng)是無源的。如果存在一個正定李雅普諾夫函數(shù)V(z,y)和一個K 類函數(shù)γ4，滿足對任意的t≥0 有：

則式（6）系統(tǒng)是嚴格無源的。

由引理1 易得下面的引理3：

引理3假設(shè)式（6）系統(tǒng)是嚴格無源的，則式（6）系統(tǒng)的平衡點x=0 在輸入u=0 的情況下是漸近穩(wěn)定的。

2 分數(shù)階混沌系統(tǒng)的無源反步控制設(shè)計

將利用反步控制研究分數(shù)階混沌系統(tǒng)的無源控制問題，系統(tǒng)描述如下：

其中，α是分數(shù)階階次，z∈Rn-r，(x1,x2,…,xr)T∈Rr是狀態(tài)，u∈R是輸入，函數(shù)f(·)、g(·)和φi(·)(i=1,2…,r)都是光滑函數(shù)，且f(0,0)=0,g(0,0)=0,φi(0,0)=0(i=1,2,…,r)。

定理1若函數(shù)f(z,0)滿足zT f(z,0)≤-|z|2l(z)，其中l(wèi)(z)是光滑函數(shù)，且對于任意的z，都有l(wèi)(z)＞0，則存在如下反饋控制器（式（9）），使得式（8）系統(tǒng)是嚴格無源的，且在外部輸入信號v=0 的情況下是漸近穩(wěn)定的。

其中，α1=-e1-zT g(z,x1)-φ1(z,x1)與αi=-ei-ei-1-φi(z,x1,…,xm)+(i=2,…,r-1) 為設(shè)計的虛擬控制器，且轉(zhuǎn)換變量e1=x1、ei=xi-αi-1(i=2,…,r)。

證明設(shè)計步驟共有r步，第1 步：設(shè)x2為控制器，α1為虛擬控制器。由于e1=x1、e2=x2-α1，則有子系統(tǒng)：

第i(2 ≤i＜r)步：設(shè)xi+1為實際控制器，αi是虛擬控制器。由于ei+1=xi+1-αi，則有子系統(tǒng)：

從而由定義1 知，式（12）子系統(tǒng)是嚴格無源的。

第r步：式（8）系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

所以由定義1 知，式（14）系統(tǒng)是嚴格無源的。即式（8）系統(tǒng)是嚴格無源的。進一步由引理3 知，在輸入v=0 的情況下，式（8）系統(tǒng)也是漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值仿真

例1 考慮如下分數(shù)階Shimizu-Morioka 混沌系統(tǒng)[20]：

其中，x、y、z是狀態(tài)變量，u∈R是輸入，0＜α≤1是分數(shù)階階次，a∈R、b∈R+是參數(shù)。當α=0.98、a=0.75、b=0.45，初始條件為x=0、y=0.25、z=1 時，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌現(xiàn)象。分數(shù)階Shimizu-Morioka系統(tǒng)的混沌吸引子如圖1 所示。

圖1 分數(shù)階Shimizu-Morioka系統(tǒng)的混沌吸引子

設(shè)z=z、x1=x、x2=y，式（16）系統(tǒng)可表示為如式（8）的形式，如式（17）：

對于式（17）系統(tǒng)，n=3,r=2,f(z,0)=-bz,zf(z,0)=-bz2,l(z)=b＞0 滿足定理1 的條件。根據(jù)定理1，在虛擬控制律α1=-e1-ze1與控制律u=-2e1+ae2+aα1+e1z+CDα t α1-e2+v作用下，式（17）系統(tǒng)是嚴格無源的，且在輸入v=0 的情況下是漸近穩(wěn)定的。

對于式（17）系統(tǒng)，當α=0.98、a=0.75、b=0.45，初始條件為z=-2、x1=-0.2、x2=-6 時，受控分數(shù)階Shimizu-Moriok 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖2 所示，結(jié)果表明，所設(shè)計的控制器能將分數(shù)階Shimizu-Moriok 系統(tǒng)穩(wěn)定到原點。

圖2 受控Shimizu-Moriok系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

例2分數(shù)階Lü混沌系統(tǒng)[21]如式（18）：

其中，x、y、z是狀態(tài)變量，u∈R是輸入，0 ＜α≤1是分數(shù)階階次，a、b、c是正常參數(shù)。當α=0.96、a=36、b=3、c=20，初始條件為x=1、y=2、z=2 時，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌現(xiàn)象。分數(shù)階Lü系統(tǒng)的混沌吸引子如圖3 所示。

圖3 分數(shù)階Lü系統(tǒng)的混沌吸引子

設(shè)z1=x,z2=z,x1=y，式（18）系統(tǒng)可表示為如式（8）的形式，如式（19）：

對于式（19）系統(tǒng)，n=3,r=1,f(z,0)=(-az1,-bz2)T,(z1,z2)f(z,0)=≤-max{a,b}||z||2,l(z)=max{a,b}＞0 滿足定理1 的條件。根據(jù)定理1，在控制律u=-ce1-az1-e1+v作用下，式（19）系統(tǒng)是嚴格無源的。且在輸入v=0 的情況下是漸近穩(wěn)定的。

對于式（19）系統(tǒng)，當α=0.96、a=36、b=3、c=20，初始條件為z1=-22、z2=1、x1=16 時，受控分數(shù)階Lü系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖4 所示，結(jié)果表明，所設(shè)計的控制器能將分數(shù)階Lü系統(tǒng)穩(wěn)定到原點。

圖4 受控分數(shù)階Lü系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

針對下面的整數(shù)階Lü混沌系統(tǒng)（式（20）），通過將該文所提方法與文獻[11]的反步控制方法做對比，進一步來說明該文所提方法的優(yōu)越性和研究動機。

該文和文獻[11]設(shè)計的控制器分別為u=-cx1-az1-x1和u=-(1+c)x1-az1+z1z2，很明顯該文設(shè)計的控制器是線性控制器，但也具有和文獻[11]一樣的控制效果，所以該文方法更簡單有效。當a=36、b=3、c=20，初始條件為x1=10、x2=10、z=-10 時，受控整數(shù)階Lü系統(tǒng)分別在該文和文獻[11]所設(shè)計的控制器下的狀態(tài)響應(yīng)如圖5 和圖6 所示。

圖5 在該文控制器下的狀態(tài)響應(yīng)

圖6 在文獻[11]控制器下的狀態(tài)響應(yīng)

4 結(jié)論

該文研究了分數(shù)階混沌系統(tǒng)的無源反步控制問題，利用反步控制的遞推過程，獨立設(shè)計每個子系統(tǒng)的能量函數(shù)和虛擬控制律，最終設(shè)計出整個系統(tǒng)的實際控制律，實現(xiàn)對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的無源反步控制。以分數(shù)階Shimizu-Morioka 系統(tǒng)和分數(shù)階Lü系統(tǒng)為例進行數(shù)值仿真，理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。