具有擾動的脈沖系統的漸近穩定性

倪郁東, 韓姣杰

(合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230601)

脈沖能引起系統狀態的變化,進而改變所期望的穩定性,因此對脈沖系統的漸近穩定性分析具有一定的現實意義[1-3]。脈沖系統可表述為:

(1)

其中:k=1,2,…;x∈Rn為狀態變量;脈沖時刻序列{τk}滿足0<τ1<…<…,k=1,2,…,當k→∞時,τk→∞;系統描述函數f(t,x(t)):R+×Rn→Rn和脈沖量函數uk(x):Rn→Rn均為連續性函數。

在實際的系統中,由于系統結構本身的原因,如機械設備的限制、機器老化等,都會使脈沖系統的穩定性受到相應干擾,當把這些擾動因素添加到系統中并對其進行分析時,系統(1)便成了具有擾動的脈沖系統(2)。當脈沖系統(1)受到R(t,x(t)):R+×Rn→Rn擾動后的系統形式為:

(2)

其中,k=1,2,…。

近年來,研究者關于擾動后的脈沖系統進行了大量的研究和應用[4-6]。文獻[7]將擾動項加入陳氏混沌系統中,利用脈沖控制的方法,使受不確定擾動的陳氏混沌系統漸近穩定到平衡點,得到受擾動的陳氏混沌系統魯棒穩定的充分條件;文獻[8]通過構造Lyapunov函數將脈沖系統的解與具有擾動的脈沖系統的解連接起來,再根據Lyapunov直接方法和比較原理,分析了擾動后系統的最終Lipschitz穩定性,但是當系統不易求解時,再利用解對系統進行分析相對困難;文獻[9]在原有Lyapunov函數V(t,x)的基礎上構造了一個新的、適用于受擾動后脈沖系統的Lyapunov函數V(t,x)=V1(t,x)+Ψ(t,x),證明了有擾動的非線性脈沖系統的一致漸近穩定的充分條件,其側重點是構造函數Ψ(t,x);文獻[10]通過構造類似Lyapunov函數的分段連續輔助函數,建立了系統保持一致最終穩定的充分條件。

在分析脈沖系統的漸近穩定性時,研究者常采用比較系統法[11-15],根據脈沖系統的比較原理構造滿足條件的比較系統,通過分析比較系統的穩定性得到脈沖系統漸近穩定的充分條件。該方法的主要思想是以Lyapunov函數為媒介,將較復雜的脈沖系統研究轉換為一個相對簡單的標量脈沖系統(即比較系統)研究,從而降低分析問題的難度,因此在研究脈沖問題時多采用此方法。

系統(1)受到R(t,x(t))擾動后,若仍用判斷系統(1)漸近穩定的比較原理和比較系統分析擾動后系統(2)的穩定性,則需重新建立比較系統和比較原理,否則會忽略擾動項的特性。本文充分考慮范數有界擾動R(t,x(t))的作用,根據比較系統法,建立能夠判斷系統(2)漸近穩定的比較原理和比較系統,得到系統(2)漸近穩定的充分條件。具體過程如下:對系統(1)的比較系統進行調整,利用擾動R(t,x(t))和系統(1)Lyapunov函數V(t,x)控制量,構造系統(2)的比較系統,同時建立有關系統(2)和比較系統的引理,再調整系統(1)比較原理的條件,結合引理建立能夠判斷系統(2)穩定的比較原理。系統(2)的Lyapunov函數是通過對系統(1)的V(t,x)進行變易,選取K(t)V(t,x)對擾動后的系統進行分析,構造滿足比較原理條件的比較系統,通過分析比較系統的漸近穩定性得到擾動后脈沖系統漸近穩定的充分條件,Bx函數的適當選取有利于滿足擾動后脈沖系統漸近穩定的條件。本文還考慮:系統描述函數為非線性函數,脈沖量分別為線性函數Bx和可變線性函數Bkx的系統,分析得到2種系統漸近穩定的充分條件,最后通過數值示例驗證方法的有效性。

1 理論基礎

定義1 設ε>0,t0∈R+，稱函數x(t):[t0,t0+ε)→Rn為系統(2)的一個解，若以下條件成立：

(3) 當t∈[t0,t0+ε)且t≠τk時,x(t)左連續,即x(t-)=x(t)且x(t+)=x(t)+uk(x(t))。

定義2 設V:R+×Rn→R+,稱V是屬于V0類的,如果V滿足:

(1) 函數V在(τk-1,τk]×Rn上是連續的,且對每一個x∈Rn,k=1,2,…,有

(2) 函數V關于x滿足局部Lipschitz條件,即對任意x1,x2∈Rn,存在l>0,有

|V(t,x1)-V(t,x2)|≤l‖x1-x2‖

成立,且對所有的t∈R+,有V(t,0)=0。

定義3 對任意(t,x)∈(τk-1,τk]×Rn,k=1,2,…,定義

hf(t,x(t))-V(t,x)],

h(f(t,x(t)+R(t,x)))-V(t,x)]。

定義4 對任意α(s)∈C[R+,R+],若α(0)=0且α(s)為嚴格單調增函數,則稱α(s)為K類函數。

定義5 對任意ε>0,存在δ=δ(ε,t0)>0,當‖x0‖<δ時,對于系統(2)的解x(t,t0,x0),均有‖x(t,t0,x0)‖<ε，t>t0,則稱系統(2)的平凡解是穩定的。

定義7 若系統(2)的平凡解既是穩定的也是吸引的,則稱其是漸近穩定的。

定義8 設V∈V0,假設

(3)

(4)

為系統(1)的比較系統

引理1[13]設V:R+×Rn→R+且V∈V0,假設

引理2[15]設V:R+×Rn→R+且V∈V0,K:R+→(0,+∞),對k=1,2,…,有

K(t)V(t,x(t,t0,x0))≤r(t,t0,w0)。

其中:r(t,t0,w0)為系統(4)在區間[t0,∞)上的最大解;g1(t,V(t,x))滿足定義8的條件;ψk:R+→R+為非減函數。

引理3[15]假設如下:

(1)V:R+×Rn→R+且V∈V0，

g1(t,K(t)V(t,x)),t≠τk,

(2)K(t+)V(t+,x+uk(x))≤ψk(K(t+)×

V(t+,x)),t=τk,k=1,2,…。

(3) 存在函數α(·)∈K,滿足α(‖x‖)≤

V(t,x)且V(t,0)=0。

則比較系統(4)的平凡解的穩定性蘊含著系統(1)的平凡解的穩定性。

引理4[16]若P∈Rn×n為正定矩陣,Q∈Rn×n為對稱矩陣,則對任意向量x∈Rn,有

xTQx≤λmax(P-1Q)xTPx,

其中,λmax(P-1Q)為矩陣P-1Q的最大特征值。

引理5[17]對于在‖x‖<ρ上給定的任意正定連續函數V(t,x),必存在2個函數φ1、φ2∈K,使得:φ1(‖x‖)≤V(t,x)≤φ2(‖x‖)。

針對擾動后的系統(2),在構造它的比較系統時,需要考慮擾動項R(t,x(t))的存在,引理6利用擾動R(t,x(t))的控制量,以Lyapunov函數V(t,x)為媒介,對定義8中的條件進行調整,構造系統(2)的比較系統。

引理6 設V∈V0,α(‖x‖)≤V(t,x),‖x‖≤α-1(V(t,x)),設

(5)

(6)

為系統(1)受擾動后系統(2)的比較系統,其中α-1(w)為α(w)的反函數。

x+h(f(t,x)+R(t,x)))-V(t,x)]=

V(t+h,x+hf(t,x))+V(t+h,

x+hf(t,x))-V(t,x)]=

h(f(t,x)+R(t,x)))-V(t+h,x+hf(t,x))]。

由于V(t,x)在t∈(τk,τk+1]上關于x滿足局部Lipschitz條件,由(5)式和u(t,w)關于w為非減函數可知,當t≠τk時,有

lu(t,α-1(V(t,x)))≤g1(t,V(t,x))+

lu(t,α-1(V(t,x)))=g(t,V(t,x))。

當t=τk時,有V(t,x+uk(x))≤ψk(V(t,x))。

根據條件可得其比較系統為:

考慮系統(2)的比較系統(6),對引理1中的條件進行調整,得到適用于比較系統(6)的下列引理。

引理7 考慮系統(6),假設

其中:r(t,t0,w0)為系統(6)在區間[t0,∞)上的最大解;g1滿足定義8中的條件且滿足系統(1)穩定時的比較條件;u滿足引理6中的條件;ψk:R+→R+為非減函數。

定義

因此,對t≥t0,有V(t,x)≤r(t,t0,w0),其中r(t,t0,w0)為系統(6)在[t0,∞)上的最大解。

考慮擾動R(t,x(t))的特性,結合引理7對引理2的條件進行調整,得到適用于系統(6)的下列引理,其中系統(2)的Lyapunov函數是對系統(1)的Lyapunov函數V(t,x)進行變易,選取K(t)V(t,x)對系統(2)進行分析,一方面增加了其在系統中的實用性,另一方面K(t)函數的適當選取有利于滿足擾動后脈沖系統漸近穩定的條件。

引理8 設V:R+×Rn→R+,且V∈V0,K:R+→(0,+∞),對k=1,2,…,有

其中:r(t,t0,w0)為系統(6)在區間[t0,∞)上的最大解;g1滿足定義8中的條件且滿足系統(1)穩定時的比較條件;u滿足引理6中的條件;ψk:R+→R+為非減函數。

當t≠τk時,有

h(f(t,x)+R(t,x)))-K(t)V(t,x)]=

h(f(t,x)+R(t,x)))-K(t)V(t+h,x+

h(f(t,x)+R(t,x)))+K(t)V(t+h,x+

h(f(t,x)+R(t,x)))-K(t)V(t,x)]=

x+h(f(t,x)+R(t,x)))+

R(t,x))-V(t,x)]=V(t,x)D+K(t)+

由此可得:

即

對引理3的條件進行調整,得到能判斷系統(2)漸近穩定的比較原理(即引理9)。

引理9 假設如下：

(1)f(t,0)=0,R(t,0)=0,g1(t,0)=0,u(t,0)=0,uk(0)=0。

(2)V:R+×Rn→R+且V∈V0,K(t)≥m>0,

(3) 存在函數α(·)∈K,滿足α(‖x‖)≤V(t,x)且V(t,0)=0,則比較系統(6)的平凡解的穩定性蘊含著系統(2)的平凡解的穩定性。

證明借鑒文獻[15]中定理1的證明方法。由條件(1)可知,系統(2)和系統(6)的平凡解是存在的。假設系統(6)的平凡解是穩定的,r(t,t0,w0)為系統(6)在t≥t0上的最大解,則對任意ε>0,存在δ0=δ0(t0,ε)>0,當0

設δ=min{δ0,δ1},由引理8的結論、引理9的條件可知:當‖x0‖<δ時,有

mα(‖x‖)≤K(t)V(t,x(t,t0,x))≤

r(t,t0,w0)

即當‖x0‖<δ時,有‖x‖<ε,t≥0。

因此系統(2)的平凡解是穩定的。

現證明系統(2)的平凡解是吸引的。

w(t,t0,w0)

由引理8的結論、引理9的條件可得:當‖x0‖<δ時,有

mα(‖x‖)≤K(t)V(t,x(t,t0,x))≤

r(t,t0,w0)

其中,t≥t0+T。這說明系統(2)的平凡解是吸引的。因此系統(2)的平凡解是漸近穩定的。

采用比較系統法的思想,將較復雜的脈沖系統研究轉化為一個相對簡單的標量系統(比較系統)的研究,通過分析比較系統的穩定性得到系統(2)的漸近穩定性。下列引理考慮一種形式相對簡單的系統,并證明其是漸近穩定的。

引理10 考慮以下形式的脈沖系統:

(7)

若滿足條件:

(2) 存在γ>1,d2k+2d2k+1≠0,k=1,2,…,

λ(τ2k+3)+λ(τ2k+2)+

則系統(7)的平凡解是漸近穩定的。

證明對系統(7)的分析。當t∈(t0,τ1]時,

當t∈(τ1,τ2]時,

當t∈(τ2,τ3]時,

當t∈(τ2k-1,τ2k]時,

當t∈(τ2k,τ2k+1]時,

2 漸近穩定性條件

考慮如下形式的具有擾動的脈沖系統:

(8)

其中,x∈Rn為狀態變量;f(t,x):R+×Rn→Rn為非線性連續函數;R(t,x):R+×Rn→Rn為系統的非線性擾動項;B∈Rn×n為常數矩陣。

定理1 設P∈Rn×n為正定矩陣,λ1、λ2分別為矩陣P的最小和最大特征值,λ3為矩陣BTB的最大特征值。若擾動脈沖系統(8)滿足以下條件:

(2) 存在可微且不增的函數K(t),t≠τk,k=1,2,…,滿足e-Mk>D2,其中

則系統(8)在平凡解處是漸近穩定的。

證明構造Lyapunov函數V(t,x)=xTPx,當t≠τk時,

K(t)D+V(t,x)+V(t,x)D+K(t)=

K(t)(f(t,x)+R(t,x))TPx+

K(t)xTP(f(t,x)+R(t,x))+

H(t)K(t)xTPx。

當t=τk時,

xTBTPx+xTBTPBx≤

DK(τk)xTPx。

構造系統(8)的比較系統:

Mk≤-ln[γλ3(τ2k+2)λ3(τ2k+1)]。

由條件(3)可知,λ1‖x‖≤V(t,x)=xTPx,根據引理9、引理10可知系統(8)是漸近穩定的。

定理1中,脈沖量為線性的且與控制節點數k(k=1,2,…)無關;但是在實際的系統中,有時為了達到某種目的,脈沖量與控制節點數是有關的,它會隨著控制過程的進行而不斷改變,此時有以下形式具有擾動的脈沖系統:

(9)

其中:k=1,2,…;x∈Rn為狀態變量;f(t,x(t)):R+×Rn→Rn為非線性連續函數;R(t,x(t)):R+×Rn→Rn為系統的非線性擾動項;Bk∈Rn×n為常數矩陣。

定理2 設P∈Rn×n為正定矩陣,λ1、λ2分別為矩陣P的最小和最大特征值,λ3(k)>0滿足xT(I+Bk)TP(I+Bk)x≤λ3(k)xTPx,若系統(9)滿足以下條件:

(1) 與定理1的條件(1)相同。

(2) 存在可微且不增的函數K(t),t≠τk,k=1,2,…,滿足e-Mk>λ3(τ2k+2)λ3(τ2k+1)。

證明構造Lyapunov函數為V(t,x)=xTPx,當t≠τk時,結果與定理1中當t≠τk時相同。

當t=τk時,

構造系統(9)的比較系統為:

Mk≤-ln[γλ3(τ2k+2)λ3(τ2k+1)]。

由條件(3)可知,λ1‖x‖≤V(t,x)=xTPx,根據引理9、引理10可知系統(9)是漸近穩定的。

3 結 論

本文研究在范數有界因素擾動下脈沖系統的漸近穩定性。采用比較系統法,以Lyapunov函數為媒介,利用擾動R(t,x(t))的控制量,對能判斷系統(1)漸近穩定的比較原理和比較系統進行調整,建立了能夠判斷系統(2)漸近穩定的比較原理和比較系統,通過分析比較系統的漸近穩定性,得到系統(2)漸近穩定的充分條件,簡化了分析過程,為解決這類問題提供了一種新方法。本文方法對擾動項的適用范圍較窄,未來可嘗試放寬對擾動項的限制,使其適用于范圍更廣的系統;另外,本文只考慮了系統描述函數具有擾動的情況,未來可嘗試研究系統描述函數與脈沖量函數均具有擾動的脈沖系統。