基于模糊C-回歸聚類的T-S模糊粒子濾波算法

黃逸凡 粟 梅

(中南大學信息科學與工程學院 湖南 長沙 410012)(湖南民族職業學院 湖南 岳陽 414000)

0 引 言

非線性系統的狀態估計是目前目標跟蹤領域研究的重點課題之一，而非線性濾波算法對于非線性狀態估計具有極其重要的影響[1]。在隨機非線性系統和非高斯噪聲的條件下，尋找更有效粒子濾波實現機動目標跟蹤具有重要的研究價值和實際意義[2]。

針對動力學系統中的非線性和非高斯問題，提出的許多粒子濾波算法主要通過融合多個模型從而提高粒子濾波密度函數的權重[3-5]。這些方法在一定程度上抑制了粒子的退化，但是在跟蹤目標機動時，效果并不理想，而且隨著模型數量的增加，不可避免地會增加計算的復雜度。同時，太多模型的不必要競爭導致性能的降低。

上述提到的濾波方法都需要精確的運動模型，但在非線性系統中進行精確的運動建模幾乎是不可能的，且實際系統中存在大量的不確定性問題[6]。為此，考慮到模糊邏輯在非線性描述方面的巨大優勢，諸多學者已經在粒子濾波中引入T-S模糊理論[7]。由于這些方法均無法實現模型中參數與規則的自適應調整，從而無法適應實際非線性系統的不確定性問題，另外也無法達到實際系統粒子濾波的實時性要求。

針對上述問題，本文提出一種基于模糊C-回歸聚類的自適應T-S模糊模型實時粒子濾波算法，實現了在運動方向突然改變或目標動態模型的先驗信息不準確條件下，對機動目標進行實時跟蹤。

1 相關理論

1.1 T-S模糊語義模型

T-S模糊模型已廣泛應用于非線性系統建模[8]。研究證明，T-S模糊模型可以表示任意精度的非線性系統。對于具有空間特征信息的T-S模糊模型，每個線性模型規則定義如下：

(1)

在T-S模糊模型的建模中，一個重要的問題是后續模型參數的識別[9]。傳統的T-S模糊模型在結論參數識別中采用最小二乘法或加權最小二乘法，所以建模精度不高[10]。目標模型由T-S模型中的幾個線性子模型表示，可以通過最好的線性濾波算法卡爾曼濾波算法進行識別。對于每個T-S模糊規則，卡爾曼濾波算法具有以下步驟：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

此外，為了實現參數的適應性識別，通常將前提參數的模糊隸屬函數設置為高斯函數：

(7)

基于式(1)和式(7)，每個規則的相應權重計算如下：

(8)

最后，基于T-S模糊語義模型的狀態和協方差估計如下：

(9)

(10)

(11)

結合式(11)和權重更新來計算粒子權重，計算如下：

μk-1,jp(zk|xk,j)

(12)

1.2 基于模糊C-回歸聚類算法的參數識別

(13)

(14)

FCRC算法有兩個主要問題[12]：交替優化技術的迭代性質使其對噪聲敏感，如果噪聲數據幅值較大，則會嚴重影響估計模型參數；另外該算法對初始化很敏感，并且可能收斂至局部最小值。因此，不同的初始化可能很容易導致不同的結果。

基于Lyapunov穩定性理論，可得關于線性矩陣不等式的穩定性條件，從而可以確定系統穩定性并實現控制設計。另外，在內核空間中作為非線性相似性度量的熵對異常值不敏感，而且熵可以用非高斯噪聲來求解。為了估計T-S模糊語義模型的輸出與觀測值zk,l之間的相似性，在算法中引入熵，其定義如下：

(15)

根據信息理論，最大熵原理(MEP)是選擇隸屬度值最公正的方法。為了在式(14)的約束下最大化式(15)中定義的熵，可以將優化問題重新表述為拉格朗日的最大值，目標函數定義如下：

(16)

(17)

(18)

(19)

因此，在時間k處第i條模糊規則的模糊隸屬度計算如下：

(20)

式中：C表示均值常數矩陣。當利用式(20)計算隸屬矩陣U時，可以使用T-S模糊模型的參數識別式(21)。

(21)

算法1T-S模糊模型粒子濾波(TSF-PF)

2) 迭代循環：對于k=1,2,…

(22)

(23)

(24)

(25)

(2) 狀態輸出：狀態和狀態協方差的估計結果如下：

(26)

2 改進TSF-PF算法

考慮到每個粒子的TSF-PF算法估計都使用T-S模型，并且在粒子濾波算法中重新采樣所需的時間、TSF-PF的計算負擔較大。為了提高本文算法的實時性能，提出了兩種改進算法。

(27)

同時，前提參數的識別方法與TSF-PF相同。最后，通過T-S模糊模型狀態融合獲得目標的下一次狀態和協方差估計。

算法2改進的T-S模糊模型粒子濾波(ITSF-PF1)

2) 迭代循環:對于k=1,2,…

(28)

3) 模型狀態融合。

(29)

改進的T-S模糊模型粒子濾波算法2(ITSF-PF2)類似于TSF-PF算法，都將T-S模型引入了粒子濾波框架。TSF-PF基于T-S模糊語義模型的估計，構造了每個粒子的重要性密度函數并在TSF-PF中進行了采樣。而ITSF-PF2是基于T-S模型的輸出來構造所有粒子的重要密度函數并提取粒子的。首先，在T-S模型的語義模型中對多個模型進行加權求和，導出自適應狀態轉移模型，然后基于該模型對粒子進行估計。通過使用T-S模糊模型輸出構造重要性密度函數。

(30)

算法3改進的T-S模糊模型粒子濾波2(ITSF-PF2)

2) 迭代循環：對于k=1,2,…

(31)

(32)

3) 狀態輸出：得到的狀態和狀態協方差的估計結果如下：

(33)

3 仿真結果與分析

3.1 單變量非平穩增長模型

本文將均方根誤差(RMSE)用作性能指標，其定義為：

(34)

式中:D是蒙特卡洛仿真的次數。

為了驗證算法的非線性跟蹤有效性，將過程模型選為具有觀測模型的高度非線性非穩定離散時間系統。

(35)

(36)

式中：wk-1和vk是高斯噪聲，均值為零，方差為0.1；α=0.5，β=25，γ=8，φ=0.05是已知常數。為了比較算法的性能，執行了100次蒙特卡洛仿真，在每次蒙特卡洛仿真中，假設初始狀態x0=0.5 m，規則數為6[3]。

圖1(a)顯示了當粒子數為500時，EKF、UKF、PF、EKF-PF、UKF-PF和TSF-PF的RMS位置誤差[13-18]。可以看出，在很大程度上，TSF-PF的性能優于UKF。對于此問題，UKF的性能較差是由于過程的高度非線性和觀測模型的不平穩性引起的近似誤差增加導致的。此外，可以看出，本文算法的效果比EKF和PF的效果稍好。原因之一是PF使用先前的PDF作為重要性密度，并且從它們中提取的粒子可能是無效的，因為它遠離似然函數。EKF-PF、UKF-PF和TSF-PF的RMSE分別為3.871 8 m、3.562 8 m和3.495 6 m。

圖1(b)顯示了當粒子數不同時，PF、EKF-PF、UKF-PF和TSF-PF的RMS位置誤差。當粒子數小于100時，TSF-PF的性能最佳。但是，隨著粒子數量增加300或700，UKF-PF的性能略優于TSF-PF。一個主要的原因是，當目標運動模型已知時，無跡轉換仍然成立。否則，當粒子數太大時因太稠密會出現粒子重疊的現象，這會使其有效性下降。當粒子數為500時，全部的計算時間如表1所示。一般而言，TSF-PF的RMS位置誤差較小時，說明該算法在UNGM中是有效且穩定的，它可以準確地解決非線性問題。

表1 所有算法的計算時間比較 單位：s

3.2 跟蹤機動目標

進一步分析了雷達機動目標跟蹤問題，以此驗證不確定的建模和非高斯問題。本文算法中目標的狀態方程和觀測方程如下：

(37)

(38)

(39)

(40)

轉動速度由T-S模糊模型確定，表2顯示了每個T-S模糊模型的相應曲線和過程噪聲標準偏差。

表2 不同的和Δνk的角速率ωi和過程噪聲標準偏差σi,e

為了驗證本文算法的有效性，執行了本文所提三種T-S模糊模型的粒子濾波算法，并將其與IMM、IMMUKF、IMMPF和IMMRBPF算法進行了比較[19-21]。從圖2(a)可以看出，本文提出的所有算法都是相對穩定的，特別是在目標機動的情況下，這三種算法的性能均優于其他算法，這表現出它們具有良好的魯棒性，并證明該算法可以有效地處理非線性系統中的不確定信息。圖2(b)和圖2(c)分別顯示了x坐標和y坐標的RMS誤差。可以看出，本文算法跟蹤結果相對都是最優的。但IMM和IMMRBPF算法在轉回時將失去目標，主要原因是IMM算法使用的模糊集可能不夠大，當目標機動時，所選的模糊集不能有效地匹配目標的運動狀態。TSF-PF、ITSF-PF1和ITSF-PF2可以根據目標的空間特征信息自適應地調整每個規則的權重，該特征具有多個語義模糊集。同時，通過T-S模糊模型中前提參數的隸屬度函數可以調整各規則的權重，得到目標機動的狀態估計。本文方法不需要像IMM算法那樣知道先驗概率和馬爾可夫轉移概率，同時還可以減少計算復雜度。

選擇最佳數量的粒子是提高粒子過濾波性能的關鍵因素。不同粒子情況下五個粒子濾波方法的運行時間如圖2(d)所示。在每種情況下，該程序都是在Inter (R) Core (TM) i5-6500、CPU為3.6 GHz和8 GB內存的計算機上的MATLAB R2017a上運行的。可以看出，粒子濾波算法的運行時間與粒子數量成正比。本文提出的TSF-PF算法耗時相對較長。但是經過改進后，與TSF-PF相比，ITSF-PF1和ITSF-PF2的運行時間分別縮短了6.59%和56.38%。因此，在很大程度上，ITSF-PF2可以滿足非線性系統的實時性要求，成為所有算法中所需運行時間最短的。表3為7個算法在不同粒子數下的RMS位置誤差。可以看出，在粒子數為200時，本文算法的RMS位置誤差約為0.107 4 km，與其他四種算法相比，它的跟蹤效果分別提高了33.54%、5.95%、3.59%和16.94%。

表3 不同粒子數下RMS位置誤差的統計單位:km

結合表3中的數據與圖2(d)中算法的運行時間分布，將本文中的粒子數設置為200。注意，如表4所示，IMM和IMMUKF是最快的，但它們具有較大的RMSE。ITSF-PF2的計算時間為72.310 5 s，可以滿足實時性要求。它還引入并行計算，已選的良好的重要度密度函數可以有效地減少粒子降解和省去重采樣步驟。比較所有算法的性能和計算時間，ITSF-PF2算法取得了很好的折中。

表4 所有算法的跟蹤計算時間比較 單位：s

表5給出了在不同過程噪聲方差下，每個規則的所提算法的RMS位置誤差。結果表明，表2中給定的過程噪聲方差值最適合，因為它是根據T-S模糊規則設計的。其中一些方差值相對較大，但它們可以改善采樣過程中粒子的多樣性并減少粒子的降解。

表5 不同過程噪聲下RMS位置誤差

單位：km

表6給出了在不同觀測噪聲方差條件下，IMM、IMMPF、IMMRBPF和本文提出的三種算法的RMS位置誤差的變化。當噪聲為高斯分布時，這些方法的RMS位置誤差會隨著觀測誤差的增加而增加，其中IMMPF的變化最為明顯。因此，高斯觀測噪聲方差被設定為0.15。同時，非高斯噪聲是兩個遵循相同高斯分布的噪聲的疊加。通過改變高斯分布的方差可以獲得不同的非高斯噪聲。可以看出，本文所提的三種算法最適合非高斯噪聲處理，這是因為本文構造了T-S模糊模型，它可以將目標的空間特征信息納入粒子濾波，自適應地調整目標的運動模型。總的來說，所有仿真結果均表明本文算法可以有效地解決系統中的非線性非高斯問題。

表6 不同觀察噪聲下的RMS位置誤差統計單位：km

4 結 語

針對非線性非高斯系統中不確定性估計問題，提出兩種改進的基于模糊C-回歸聚類新型的T-S模糊模型粒子濾波算法。通過仿真可知：

(1) 通過模糊C-回歸聚類算法和卡爾曼濾波分別確定了T-S模糊模型的前提參數和結論參數。同時，通過前提參數的模糊隸屬度可以自適應地調整模型的選擇。驗證了該方法可以有效處理非高斯非線性目標動態模型不確定性粒子濾波問題。

(2) 算法采用T-S模糊模型的輸出來構造重要性密度函數，有效地增強粒子的魯棒性和多樣性，在目標機動或目標運動模型不準確的情況下，所提算法相對于其他傳統濾波算法的效果更好

(3) 兩種改進的TSF-PF都能夠減小計算量，加快計算時間，相對來說，引入并行濾波和省略重采樣對計算速度的提升效果更明顯。