巧用教材原題及衍生題探析“法拉第圓盤”類問題

周佳

(清華附中嘉興實驗高中 浙江 嘉興 314000)

1 引言

高中物理人教版上放置了兩道“法拉第圓盤”類問題．一道在新、舊教材的“渦流、電磁阻尼和電磁驅動”一節中，另一道先在舊教材“楞次定律”一節中[1]，后在新教材中轉移到“電磁感應”一章的“復習與提高”板塊[2]并增加了一個小題．這兩道教材原題與之后在各類考試中出現的衍生題均引起了師生的廣泛討論，筆者將這類問題梳理、對比，糾正部分學生的錯誤觀念，總結出切實可行的解題思路與方法．

2 教材原題及解析

【教材題1】有一個銅盤，輕輕撥動它，能長時間地繞軸自由轉動．如果在轉動時把蹄形磁鐵的兩極放在銅盤的邊緣，但并不與銅盤接觸(圖1)，銅盤就能在較短的時間內停止．分析這個現象產生的原因．

圖1 題圖

解析:銅盤可視為由無數根導線并列組成，形成無數個閉合回路．在磁場中轉動時每根“導線”都會切割磁感線從而產生感應電流，宏觀上形成渦流．由楞次定律可知，“通電導線”受到的安培力與其相對運動的反向相反，故銅盤能在較短的時間內停止．

疑難梳理:部分學生存在疑惑，在銅盤轉動過程中，其面積沒有變化，則通過銅盤的磁通量也不變，根據電磁感應定律，不會有感應電流產生，怎么會有安培力呢？這是典型的 “通量法則佯謬”，回顧法拉第電磁感應定律的完整表述——閉合電路中感應電動勢的大小，跟穿過這一電路的磁通量的變化率成正比．須注意到磁通量變化必須針對某一閉合回路來講，學生的誤區在于認為整個圓盤只有一個大回路(圖2)．事實上雖然整個圓盤的磁通量不變，但圓盤上可以劃取無數回路，其中任何一個回路都在隨著圓盤轉動[3]，如圖3所示，回路a、b在進出磁場的過程中都會發生磁通量的變化，從而產生感應電流，宏觀上形成渦流．

圖2 學生認為的閉合回路

圖3 銅盤中的無數回路

【教材題2】圖4是法拉第發明的圓盤發電機示意圖，銅盤安裝在水平的銅軸上，它的邊緣正好在兩磁極之間，兩塊銅片C、D分別與轉動軸和銅盤的邊緣接觸．使銅盤轉動，電阻R中就有電流通過．

圖4 法拉第圓盤發電機示意圖

(1)說明圓盤發電機的原理．

(2)圓盤如圖4方向轉動，請判斷通過R的電流方向．

(3)如果圓盤的半徑為r，勻速轉動的周期為T，圓盤處在一個磁感應強度為B的勻強磁場之中．請討論這個發電機的電動勢與上述物理量的關系．

解析:(1)從“切割”的角度來看，圓盤可看成由無數根半徑為r的輻條組成，圓盤轉動時每根輻條都在切割磁感線產生感應電動勢，相當于電源的作用；從電磁感應定律的角度來看，圓盤轉動過程中閉合回路CDRC的磁通量發生變化，從而產生感應電流．

(2)由右手定則可知，感應電流方向為C至D．

(3)如圖5所示，順著磁場方向看，閉合回路CDRC在極短時間Δt內的面積變化量為扇形CDD′的面積，設圓盤半徑為r，旋轉角速度為ω，則

圖5 回路CDRC的面積變化

由電磁感應定律可得

疑難梳理：部分學生沿用上一題的思路分析該題，認為既然磁場范圍足夠大，那么圓盤上任何回路的磁通量在轉動過程中都不變，無法產生感應電流．該疑惑的癥結在于機械照搬方法而沒有抓住“閉合回路”的正確觀念，此題中的閉合回路是由圓盤輻條CD與外電路構成的，即CDRC回路，而其他主觀劃分的回路均不與外電路連通，因此沒有分析的意義．這時有學生提出，圖中顯示CDRC回路平面與磁場方向平行，因此磁通量始終為零．該觀點的錯誤之處在于認為CD部分是固定不動的，但事實上CD是圓盤沿半徑方向的“輻條”，隨圓盤的轉動而轉動．還有學生從“切割”的角度加以分析，認為每根輻條在一瞬間切割之后就與外電路斷開，因此不會形成穩定電流．該思路忽視了圓盤是由無數根輻條并排而成的，上一根輻條與外電路斷開后的下一瞬間，下一個輻條便與外電路連通，該過程隨著圓盤的轉動而不斷重復，因此能夠形成穩定的電流．綜上，該題結果與勻強磁場的范圍無關．

3 教材衍生題及解析

【衍生題1】有一個銅盤，輕輕撥動它，能長時間地繞軸自由轉動．若將銅盤置于足夠大的勻強磁場中(圖6)，銅盤能在較短的時間內停止下來嗎？

圖6 衍生題1題圖

解析：如圖7所示，由于勻強磁場足夠大，所以對于銅盤上所有的回路，其磁通量在轉動的時候都不變，因此不會產生感應電流，銅盤不會在較短時間內停下來．

圖7 銅盤上的無數回路

疑難梳理：若將題干中的足夠大的勻強磁場改為足夠大的非勻強磁場呢？圓盤轉到不同位置時，其回路的磁通量會發生變化，所以會產生感應電流與安培力，銅盤能夠在較短時間內停下來．

【衍生題2】電阻不可忽略的導電圓盤的邊緣用電阻不計的導電材料包裹，圓盤可繞固定點O在水平面內轉動，其軸心O和邊緣處電刷A均不會在轉動時產生阻力，空氣阻力也忽略不計．用導線將電動勢為E的電源、導電圓盤、電阻和開關連接成閉合回路，如圖8(a)所示在圓盤所在區域內充滿豎直向下的勻強磁場，如圖8(b)所示只在A、O之間的一塊圓形區域內存在豎直向下的勻強磁場，兩圖中磁場的磁感應強度大小均為B，且磁場區域固定．將圖8(a)和圖8(b)中的開關S1和S2閉合，經足夠長時間后，兩圖中的圓盤轉速均達到穩定．則( )

圖8 衍生題2題圖

A.從上往下看，圓盤沿順時針方向轉動

B.剛閉合開關時，圖8(a)中的圓盤比圖8(b)中的圓盤加速得快

C.將兩圖中的開關斷開，圖8(b)中的圓盤仍然勻速轉動

D.將兩圖中的開關斷開，圖8(a)中的圓盤比圖8(b)中的圓盤減速得快

解析:圖8(a)、(b)中圓盤上的電流方向均為O到A，根據左手定則可知，從上往下看圓盤沿逆時針方向轉動，選項A錯誤．因為兩圖中的圓盤完全相同，因此剛閉合開關時，圓盤的加速度大小僅取決于安培力大小，需要針對安培力公式F=BIL中的3個因素加以分析．由于電路和圓盤完全相同，所以兩圖中從O至A的電流大小相同，此外磁感應強度B也相同，所以安培力大小只須看兩圖中L的大小．圖8(a)中圓盤受到安培力部分的有效長度為半徑OA，圖8(b)中的有效長度為圓形磁場區域的半徑，小于OA．綜上圖8(a)圓盤受到的安培力更大，所以加速得更快，選項B正確．若將開關斷開，由于圖8(a)中的磁場區域足夠大，因此圓盤上任何回路在轉動過程中的磁通量都不變，不會產生感應電流和安培力，仍然勻速轉動．而圖8(b)中的磁場在有限區域內，因此圓盤上所有回路在進出磁場時都會引起磁通量的變化，從而產生感應電流和安培力，將減速轉動，選項C、D錯誤．故選項B正確．

疑難梳理:開關閉合時的物理本質為通電導線所受的安培力，兩圖區別為“導線”的有效長度不同．開關斷開時的物理本質為電磁感應，物理模型為孤立導體盤，圖8(a)相當于衍生題1，圖8(b)相當于教材原題1，分析時抓住閉合回路的磁通量這一關鍵點．也可以從“切割”的角度分析，開關斷開后的孤立圓盤可看作由無數根沿半徑方向的輻條并排而成，因為圖8(a)磁場布滿整個圓盤，所以這些輻條產生的感應電動勢都等大，電荷只在盤心和盤邊緣處積累，無法在圓盤內部形成電流，故不會產生安培力．而圖8(b)中的磁場存在于部分區域內，只有一部分輻條產生感應電動勢，可以在圓盤中形成電流(圖9)[4]，產生安培力．

圖9 輻條切割磁感線產生的電流

如何理解題干中“經足夠長時間后，兩圖中的圓盤轉速均達到穩定”？這與反電動勢有關，圓盤轉動時產生感應電流，進一步產生安培力，阻礙圓盤的轉動，并且隨著速度的增大而增大，當該反向安培力與此前的正向安培力平衡時，圓盤達到最大速度，之后速度保持不變．

圖10 衍生題3

(1)線圈的EF邊剛剛越過磁場邊界OA時，該線圈產生的電動勢的大小和受到的安培力大小F；

(2)以EF邊通過磁場邊界OA為計時起點，畫出該線圈穿越Ⅰ、Ⅱ兩磁場區域的過程中電流隨時間的變化圖像，以逆時針為電流正方向；

(3)從EF邊通過磁場邊界OA開始，轉盤轉一圈的過程中，94個線圈產生的總熱量Q．

解析:(1)EF邊切割磁感線產生感應電動勢，其大小

E=nBLv

因為r比L大很多，所以

v≈ωr

可得

E=nBLωr

代入數據得

E=15 V

根據安培力公式可得

代入數據得

F=6 N

(2)EF邊進入磁場Ⅰ且GH邊沒有進入磁場Ⅰ時，僅EF邊切割磁感線，感應電流大小為

可得I=3 A，根據右手定則可知電流方向為逆時針；EF邊進入磁場Ⅱ且GH邊進入磁場Ⅰ時，EF和GH邊均切割磁感線，根據右手定則可知，此時感應電動勢的大小E′=2E=30 V,感應電流大小

即I′=6 A，方向為順時針；EF邊離開磁場Ⅱ且GH邊尚在磁場Ⅱ時，僅GH邊切割磁感線，此時感應電流

即I=3 A，方向為逆時針．因為轉盤勻速轉動，所以進、出磁場時間相同，每個階段持續的時間均為

代入數據得

綜上可畫出I-t圖像，如圖11所示．

圖11 電流隨時間的變化圖像

(3)在轉盤轉一圈的過程中，對任意線圈分析可得熱量

Q=2I2RΔt+I′2RΔt

代入數據得

Q=3.6 J

由題意可知所有線圈都相同，且相對于轉盤圓心對稱分布，因此總熱量

Q總=94Q=338.4 J

疑難梳理:該題不直接考查法拉第圓盤的原理，而是將原理分解轉化為題干，體現在一處簡化與四處理想化處理．解題時須關注四個理想化處理的目的，處理(1)說明可以用BLv計算感應電動勢；處理(2)為了簡化第二小題感應電流的計算；處理(3)說明每個線圈都挨個連續進入磁場，中間沒有空檔期；處理(4)說明了線圈在同一切割階段內產生感應電流大小不變．此題難在審題，易在計算，若事先掌握了教材原題1的物理模型，則不會對看似復雜的題干產生陌生感和恐懼感，能夠迅速完成解題．

4 總結

通過以上教材原題與衍生題的分析，我們發現解決法拉第圓盤類問題的關鍵在于確定閉合回路．外接無源回路時，分析對象是由圓盤輻條與外電路所組成的閉合回路；無外接回路時，分析的對象是圓盤內部的無數個任意回路．外接有源回路時，圓盤運動過程中產生反電動勢，也會形成感應電流．由此可以總結出在不同外接回路及所處磁場的情況下，法拉第圓盤類題目的物理特征，如表1所示．若將“部分勻強磁場”與圓盤所處的無磁場區域看作一個整體，該整體相當于一個“全域非勻強磁場”，因此表1中第四、五行的結果是相同的，本文不作具體論述．

表1 不同條件下“法拉第圓盤”類問題的物理特征