3-PUS-PU柔順并聯機構運動學分析與優化設計

周亞杰 李仕華 徐 奇 張鳳奎

(1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室， 秦皇島 066004; 2.燕山大學機械工程學院, 秦皇島 066004)

0 引言

并聯機構以其高精度、高剛度等優勢，引起廣泛的關注。其中，含恰約束支鏈的并聯機構不僅能增大機構的承載能力，提升機構本身運動特性，而且不會影響原本機構的運動自由度，應用越來越廣泛，大量學者對其進行了研究[1-6]。葉偉等[7]提出一種冗余驅動的三平移并聯機構，對其進行運動學分析及優化設計。XU等[8]提出一種具有冗余驅動的2-RPR-P并聯機構，對其驅動力進行分析。WANG等[9]提出一種具有恰約束分支的3-SPS-S并聯機構，并對其運動學進行分析。LIANG等[10]基于3-RPS并聯機構，采用五桿機構作為其恰約束運動鏈，設計得到一種具有恰約束支鏈的并聯機構。

含恰約束支鏈的并聯機構具有大的承載能力，但是傳動精度過低的問題并未解決，而且由于加入了恰約束支鏈，增加了加工和裝配難度。相比對應的剛性機構，柔順機構作為一類利用材料的彈性變形來傳遞或轉換運動、力或能量的機構，具有無間隙、無摩擦、免潤滑、免裝配等優點，能夠實現高精度運動，大量的學者進行了相關研究[11-14]。

為得到性能優良的柔順機構，XU等[15]提出以偏差路徑和應變能為性能指標對柔性四桿機構進行參數優化設計，得到運動軌跡最優的機構構型。PAN等[16]以柔順度指標對三平移柔順并聯機構進行優化設計。CHAU等[17]針對具有柔性桿與剛性桿的機構運動精度不高的問題，提出一種智能優化算法，實現二自由度柔順并聯機構輸出運動的優化設計。DWARSHUIS等[18]針對拓撲優化中變形量不易確定的問題，提出了一種運動學分析方法，實現了平面柔順并聯機構的運動學優化設計。崔浩洋[19]設計一種具有兩轉一移(Two rotations and one translation, 2R1T)運動柔性并聯機構并對其進行熱力耦合優化分析。ZHAN等[20]基于映射約束法對平面三自由度柔性機構進行優化設計。ZHANG等[21]提出一種三自由恒力柔性機構，并以力的波動變化為優化目標進行多目標優化設計。而柔順機構剛度不足一直是限制其進一步應用的重要因素。

為了得到高精度、高剛度的柔順并聯機構，對含恰約束支鏈的柔順并聯機構進行了相關研究。ZHANG等[22]基于3-SPS-RPR并聯機構，采用剛體替換法設計得到一種新型三自由度柔性并聯機構，并進行優化設計。崔學良等[23]推導了3-RPS-UPS冗余驅動并聯機構各支鏈的運動協調性方程，確立了冗余驅動支鏈的動力學方程，由此建立其目標阻抗控制模型。CHEN等[24]提出了4-UPS-UPU柔性并聯機構并對其建立了非線性彈性動力學模型，并對其動態響應、相圖、動力學行為進行了分析。然而，含恰約束支鏈的柔順并聯機構的優化設計方面研究不足，對其運動學性能指標少有研究。

基于空間調姿機構高精度、高剛度的設計要求，通過引入恰約束支鏈的方式，提高機構剛度。本文提出一種具有恰約束支鏈的3-PUS-PU柔順并聯機構，并對其進行運動學和工作空間分析，考慮空間環境的特殊性和具體的工作要求，提出定位精度指標和緊湊性指標，并對該柔順并聯機構進行參數優化設計，以期為樣機加工提供依據。

1 機構描述及運動學分析

1.1 機構描述

如圖1所示，該柔順并聯機構由動平臺、定平臺、3條完全相同的PUS柔順支鏈和一條PU柔順支鏈及3個音圈電機驅動器組成。柔順支鏈中P、U、S分別表示柔性移動副、柔性虎克鉸和柔性球鉸。3條PUS主動柔順支鏈提供運動，而中間恰約束柔順支鏈PU為機構提供約束，該機構能夠實現兩轉一移運動，自由度為3。

圖1 3-PUS-PU柔順并聯機構Fig.1 3-PUS-PU compliant parallel mechanism1.定平臺 2.柔性球鉸 3.動平臺 4.柔性虎克鉸 5.柔性移動副

3-PUS-PU柔順并聯機構中的柔性鉸鏈的具體結構如圖1所示。PUS支鏈中的主動柔性P副采用平行四桿型柔性移動副，通過板簧的變形產生一個方向的位移。PU支鏈中的被動柔性P副采用簧片組合型柔性移動副，多個簧片組合增大了該柔性鉸鏈剛度，進一步保證了機構高剛度的實現；通過施加外力引起板簧變形，對稱設計保證了其具有更好的直線運動能力。柔性U副采用簧片形式的柔性虎克鉸，由兩轉動軸線相互垂直的柔性轉動副組成，來實現兩個方向的轉動。柔性S副采用雙軸正圓缺口型柔性鉸鏈，依靠柔性材料的變形來實現運動。

1.2 位置逆解

建立如圖2所示的坐標系。Ai(i=1,2,3)表示PUS主動柔順支鏈的P副與定平臺相連的點；Bi(i=1,2,3)表示PUS主動柔順支鏈的S副與動平臺相連的點；Ci(i=1,2,3)表示PUS主動柔順支鏈中柔性移動副與柔性虎克鉸的交點；C4表示PU恰約束柔順支鏈的移動副與柔性虎克鉸的交點；B4在Bi(i=1,2,3)張成的平面B上，且位于平面B的中心位置，A0在Ai(i=1,2,3)張成的平面A上，且位于平面A的中心位置。以定平臺中心A0為原點建立基坐標系A0X0Y0Z0，其中Z0軸垂直定平臺向上，X0軸與A0A1重合，方向由A0指向A1，根據右手定則確定Y0軸。在動平臺中心B4建立動坐標系B4X4Y4Z4，Z4軸垂直于動平臺向上，初始狀態下動坐標系B4X4Y4Z4與基坐標系A0X0Y0Z0各軸平行。

圖2 3-PUS-PU柔順并聯機構結構簡圖Fig.2 Structural diagram of 3-PUS-PU compliant parallel mechanism

如圖2所示，在基坐標系下，得到鉸接點Ai和Bi(i=1,2,3)的位置矢量，建立閉環約束矢量方程，從而求出位置逆解。

定平臺鉸點Ai在基坐標系A0X0Y0Z0下的位置矢量為

(1)

在動坐標系B4X4Y4Z4下動平臺鉸點Bi的位置矢量為

(2)

在基坐標系中動坐標系原點B4位置矢量為

r=(x,y,z)T

(3)

在基坐標系下動平臺鉸點Bi位置矢量為

bi=R4bi0

(4)

其中

式中ra——定平臺外接圓半徑

rb——動平臺外接圓半徑

R4——旋轉變換矩陣

α——繞X0軸旋轉角

β——繞Y0軸旋轉角

根據空間閉環矢量法，在基坐標系A0X0Y0Z0中，該柔順并聯機構閉環矢量約束方程為

(5)

式中qi——主動鏈中移動副長度

w——移動副單位矢量

q4——PU支鏈桿長

li——各支鏈中定長桿長

wi——各支鏈定長桿單位矢量

聯立式(1)～(3)得到機構位置逆解表達式為

(6)

1.3 速度分析

根據3-PUS-PU柔順并聯機構的結構特點，將機構分解為3-PUS并聯驅動子系統和PU串聯約束子系統，分別得到并聯部分的Jacobian矩陣和串聯部分的Jacobian矩陣，進而建立整個機構的Jacobian矩陣，得到其速度之間的映射關系。

對于3-PUS并聯驅動子系統，式(6)兩邊同時對時間求導可得

(7)

其中

ωX、ωY、ωZ——X、Y、Z方向的角速度

Ja——該機構并聯部分的Jacobian矩陣

對于中間PU串聯約束子系統，旋轉矩陣R4的第3列恰為中間支鏈的單位向量。同時，動平臺參考點B4坐標(x,y,z)也可以表示中間支鏈的單位向量，由對應關系可得并聯機構的約束方程，整理得

(8)

動平臺線速度和有效速度矢量之間關系為

(9)

式中Lp——中間變量

Jv——線速度對應的部分雅可比矩陣

動平臺角速度和歐拉角α、β以及z之間關系為

(10)

式中Jω——角速度對應的部分雅可比矩陣

根據驅動方程和約束方程建立的運動學模型可以反映并聯機構的整體運動特性，可以得到整個機構量綱統一的Jacobian矩陣

(11)

2 工作空間分析

采用數值法中的極限邊界搜索法[25]進行工作空間的求解，首先確定機構桿長、運動副轉角等約束條件，然后基于運動學位置逆解，采用極限邊界搜索法得到機構的工作空間。

2.1 約束條件

3-PUS-PU柔順并聯機構的驅動器限制是限制其工作空間一個關鍵因素，根據工作空間的要求，本文選擇直線音圈電機作為驅動器，確定其進給量

-5 mm≤qi≤5 mm

(12)

3-PUS-PU柔順并聯機構工作空間另一關鍵影響因素是轉動副轉動范圍，故必須保證虎克鉸和球較偏轉角都在一定范圍內。

對于柔順并聯機構，柔性鉸鏈的極限轉角同樣是決定其工作空間的關鍵。如圖3所示，本文采用雙軸正圓缺口型柔性球鉸和簧片形式的柔性虎克鉸。

圖3 柔性鉸鏈示意圖Fig.3 Schematics of flexible hinges

基于力學理論[26]求得柔性球鉸和柔性虎克鉸的極限轉角為

(13)

(14)

式中Kφq——柔性球鉸轉動剛度

Kφh——柔性虎克鉸轉動剛度

WZ——抗彎截面系數

[σ]——許用彎曲應力

對于柔性球鉸，影響其極限轉角的尺寸參數主要為半徑rs和中截面(最窄截面)的寬2ts，其極限轉角與鉸鏈結構尺寸參數關系如圖4a所示；對于柔性虎克鉸，其極限轉角主要取決于簧片厚度tu和長度lu，其極限轉角與鉸鏈結構尺寸參數的關系如圖4b所示。

圖4 極限轉角Fig.4 Maximum rotational angle

由圖4a可看出，柔性球鉸極限轉角隨著半徑rs的增大而增大，初始變化比較平緩，當其大于某值時，轉角呈指數式增大；極限轉角隨著最小截面ts的減小而增大，初始變化比較平緩，當其小于某值時，同樣出現呈指數式增加的情況。由圖4b可以看出，柔性虎克鉸極限轉角隨著長度lu增加而增大，隨著厚度tu減小而增大，且其厚度tu對其影響更加明顯。

空間調姿機構的工作空間需要達到毫米級行程和角分級轉角，首先需保證柔順虎克鉸的轉動范圍大于0.5°，柔性球鉸轉動范圍大于0.2°，確定柔性鉸鏈結構參數如表1所示。

表1 柔性鉸鏈結構尺寸參數Tab.1 Structure size parameters of flexure hinges mm

2.2 工作空間

3-PUS-PU柔順并聯機構的可達工作空間指其動平臺上參考點所能達到的空間范圍，選取rb=120 mm，ra=150 mm，θ=60°(定平臺與PUS支鏈定桿的夾角，圖2)，采用數值搜索法，得到3-PUS-PU柔順并聯機構的可達工作空間，如圖5所示。

圖5 3-PUS-PU柔順并聯機構的工作空間Fig.5 Workspace of 3-PUS-PU compliant parallel mechanism

由圖5可以看出，3-PUS-PU柔順并聯機構的工作空間關于XOZ平面和YOZ平面對稱，具有很好的對稱性，整個工作空間內部沒有空洞，連續性好。

其中繞X軸和Y軸的最大轉動范圍α=β=±2.5′，沿Z軸方向的位移最大行程z=±5 mm。由于其z向的位移由驅動副決定，所以不予考慮，用α和β兩者之間的乘積表征工作空間VS，即

VS=αβ

(15)

3 性能指標分析

考慮空間調姿機構的工作需求及特殊的工作環境，提出定位精度指標和緊湊性指標，分析機構關鍵結構尺寸參數對其性能指標的影響。

3.1 定位精度指標

機構的Jacobian矩陣能夠表征柔順并聯機構的運動學性能，誤差放大因子能夠表征柔順機構的定位精度。即假設驅動單元輸入速度有偏差δq，則動平臺運動速度也會有偏差δp，可得

(16)

對式(16)兩邊取范數可得

(17)

(18)

式中λmax——J的奇異值λi最大值

λmin——J的奇異值λi最小值

3.2 緊湊性指標

受使用條件的限制，對空間調姿機構大小提出了很高的要求，為表征工作空間與機構大小的關系，提出緊湊性指標。初始狀態下動、定平臺半徑和高度乘積V表示其空間占用體積，空間調姿機構工作空間用VS表示，將VS與V的比值表征機構的相對占用空間，定義緊湊性指標EV為

(19)

為滿足應用需求，需要保證機構具有緊湊的結構；為滿足空間任務需求，需要保證調姿機構具有大的工作空間，在合理的結構尺寸范圍內EV越小表示其緊湊性越好。

3.3 靈敏度分析

3-PUS-PU柔順并聯機構的主要結構參數為rb、ra和θ。采用保持變量法，分析機構的結構參數對定位精度和緊湊性的影響。

圖6 的變化規律Fig.6

圖7 EV的變化規律Fig.7 Change rules of EV

4 優化設計

4.1 數學模型建立

為得到一個確定的3-PUS-PU柔順并聯機構，需要確定3個設計變量，即ra、rb和θ(圖2)。

對于3-PUS-PU柔順并聯機構，在工作空間足夠且精度滿足要求的前提下，通常希望機構結構越緊湊越好。根據第3節提出的定位精度指標和緊湊性指標，采用分配權重因子法將兩個指標統一，得到機構的目標函數

(20)

其中

n1+n2=1

式中n1、n2——權重因子

C(Ji)——第i個位姿的雅可比矩陣條件數

EVi——第i個位姿的機構體積比

為保證3-PUS-PU柔順并聯機構設計方案的可行性，考慮實際的工況條件，給出3-PUS-PU柔順并聯機構的各設計變量的變化范圍及初始值，如表2所示。

表2 機構主要設計變量Tab.2 Key design parameters of mechanism

4.2 優化算例

根據目標函數的比重，選取n1=0.8，n2=0.2代入式(20)，得到目標函數，采用粒子群算法(PSO)對3-PUS-PU柔順并聯機構進行結構參數優化計算，其中PSO的參數選擇直接影響優化結果。本優化主要的PSO參數配置如表3所示，優化結果如表4所示，目標函數隨迭代次數變化曲線如圖8所示。

表3 粒子群算法參數Tab.3 Parameters of particle swarm optimization

表4 優化結果Tab.4 Optimal results

圖8 目標函數變化曲線Fig.8 Curve of objective function values

由圖8可以看出，隨著迭代次數逐漸增大，目標函數逐漸趨于某一固定值，大約在第20次迭代，達到最優值，迭代速度較快。由此可以看出，建立的優化模型及選擇的優化算法是正確、有效的。

由表4可以看出，優化后的3-PUS-PU柔順并聯機構的定平臺外接圓半徑ra、動平臺外接圓半徑rb和夾角θ都有所增大，其中ra和rb增大令機構的橫向尺寸變大而θ的增大令機構的縱向尺寸有所減小，通過計算可以得到該機構的整體占用空間有所降低。

定位精度指標和緊湊性指標相比原方案有明顯的增加，定位精度指標增加25%，緊湊性指標增加81%，最優目標函數提高25%。考慮到機構的實際加工精度和制造成本，將優化后設計的參數圓整，得到一組機構的優化設計參數為：ra=200 mm，rb=135 mm，θ=80°。并得到最優結果的機構的工作空間，如圖9所示。

圖9 機構優化后工作空間Fig.9 Workspace after optimization

圖9表示優化后這組設計參數對應并聯機構的工作空間，與未優化前相比，其工作空間由±2.5′增加到±2.56′。優化后機構的空間占用體積降低，工作空間增大，即緊湊性指標有所增大。由此可知，優化后并聯機構的結構更加緊湊，具有良好的工作能力。該組優化設計參數可為后續3-PUS-PU柔順并聯機構的樣機設計提供參考。

5 結論

(1)提出了一種新型高精度、高剛度的三自由度柔順并聯空間調姿機構。

(2)建立了機構的運動學模型，分析了機構的工作空間，進一步提出了定位精度和緊湊性指標。

(3)采用粒子群優化算法，對該機構進行了尺寸優化設計。結果表明，優化后的機構定位精度指標提高了25%，緊湊性指標提高了81%。