三平移并聯機構拓撲設計與運動學分析

李 菊 朱忠頎 沈惠平 趙一楠 吳廣磊

(1.常州大學現代機構學研究中心， 常州 213164； 2.大連理工大學機械工程學院， 大連 116024)

0 引言

兩支鏈少自由度三平移(3 translation, 3T)并聯機構具有支鏈干涉少、工作空間大等特點。三平移并聯機構均可基于螺旋理論[1-4]、基于位移子群[5-9]和基于方位特征集[10-11]的型綜合方法設計而得。這些方法均從瞬時特征速度出發，導出非瞬時位置(過程)特征，且都以動平臺方位特征(Position and orientation characteristic, POC)集和自由度(Degree of freedom, DOF)為設計目標。其中，基于方位特征集的方法具有與運動位置無關,得到的機構具有非瞬時性，且又與定坐標系無關,機構存在的幾何條件具有一般性的優點。

并聯機構奇異性分析的方法主要有Jacobian法、運動學法、線幾何法等。文獻[12-14]通過對Stewart機構的奇異軌跡分析，求解出其無奇異工作空間；文獻[15-17]對無奇異工作空間進行了詳細的研究；MA等[18]通過實體樣機對GOSSELIN的方法進行了驗證，此方法用歐拉角對姿態進行描述時較復雜，故有學者通過四元數法[19-22]對運動學進行建模，以簡化奇異方程表達式，減少計算量及難度。JHA等[23]通過幾何計算和數學計算軟件進行奇異方程消元。

機構工作空間一般指機構動平臺所能達到的運動位置的集合。求解機構工作空間的方法主要有：數值方法、幾何方法、離散化方法等。對于具有符號式位置正解的并聯機構，可以從正解入手進行求解，這樣可以縮小搜索范圍，減少計算量，且結果更為精確[24～27]。

本文將根據基于子運動鏈生成子工作空間和基于疊加原理的并聯機構拓撲設計方法，設計一種具有符號位置正解且運動解耦的純三平移并聯機構，并對該機構進行拓撲分析；運用基于拓撲特征的機構位置分析方法求解該機構的位置正逆解；基于子運動鏈(Sub-kinematic chain, SKC)單元的奇異分析方法對該并聯機構的奇異位形和工作空間進行分析。

1 機構設計

兩支鏈的并聯機構只有當2條支鏈均含有三平移的運動輸出特性時，機構才具有三平移的輸出運動特性。本文設計3T并聯機構的2條支鏈如下：

第1條支鏈Ⅰ為能產生3T運動的2-DOF混合支鏈(Hybrid single open chain，HSOC)，它由產生兩平移(2T)元素的子平面機構并串聯一個平行四邊形構成。選取P11⊥R12‖R13-Pa‖P21子平面機構，且其兩移動副(P11、P21)呈90°垂直布置，其中，Pa表示由4個R副組成的4R平行四邊形1，如圖1a所示；子平面機構輸出構件的點S處與第2個4R平行四邊形2的一短邊固連，且平行四邊形2的4個R副軸線垂直于第1個平行四邊形1的轉動副軸線；平行四邊形2的另一短邊與動平臺的一端點T固結，末端點T具有產生三平移的特性，如圖1b所示。

圖1 具有3T輸出的混合支鏈Ⅰ設計Fig.1 Structure designs of HSOC I with 3T output

第2條支鏈為一條PRUR型簡單支鏈Ⅱ。得到的3T并聯機構如圖2所示。

圖2 3T并聯機構示意圖Fig.2 A novel 3T parallel mechanism

機構在靜平臺上的3個移動副為驅動副，其中，P11和P21在同一平面XOY內，且分別沿著X軸和Y軸軸線方向運動；P31沿著平行Z軸軸線方向運動，但位于Y軸負方向的一側(即YOZ平面的左側)。

此機構具有以下特點：①除3個驅動的移動副外，其余運動副均為轉動副，制造方便。②具有符號式位置正解，及輸入-輸出運動解耦性。

2 機構拓撲

2.1 理論基礎

(1)并聯機構POC方程為[1]

(1)

(2)

式中MJi——第i個運動副的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

MPa——機構動平臺的POC集

(2)并聯機構全周DOF公式為[1]

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副的自由度

m——運動副數n——構件數

v——獨立回路數

ξLj——第j個獨立回路的獨立位移方程數

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構件的POC集

(3)機構耦合度[1]

由基于序單開鏈(Single open chain, SOC)的機構組成原理知，任一機構可分解為約束度為正、零、負的3種有序單開鏈，第j個SOCj的約束度定義[1]為

(5)

式中mj——第j個SOCj運動副數

Ij——第j個SOCj驅動副數

進一步，一組有序的v個SOC可劃分為若干個獨立子運動鏈SKC，而每個SKC僅含一個自由度為零的基本運動鏈BKC(Basic kinematics chain)，對一個SKC而言，須滿足

(6)

因此，SKC耦合度為

(7)

2.2 拓撲分析

2.2.1POC集

選取動平臺的中點P作為機構的末端端點O′，本機構的POC集計算過程如下：

(1)HSOC末端POC集

混合支鏈拓撲結構可以表示為

HSOC{-(P11⊥R12‖R13-Pa①⊥P21)⊥Pa②-}

由1.1節可知，子平面機構的末端POC集為兩平移，串聯的平行四邊形①等效于1個移動副。

因此，由式(1)可得，混合支鏈HSOC的末端POC集顯然為3T，即

(2)PRUR支鏈的末端POC集

PRUR支鏈的拓撲結構為

SOC{-P31⊥R32‖R33⊥R34∥R35-}

由式(1)可得，支鏈Ⅱ末端的POC集為3T2R，即

(3)機構末端動平臺POC集

由式(2)得，機構末端動平臺的POC集為

2.2.2自由度

該機構可分解為2個獨立回路，第1個回路為混合支鏈Ⅰ中的子并聯機構，記為

LOOP1{-P11⊥R12‖R13-Pa①⊥P21-}

易知，其獨立位移方程數為ξL1=3。

由式(3)可得，第1個回路的自由度為

因此，子并聯機構的子動平臺可實現兩平移的輸出特性。

第2個回路由第1個回路與平行四邊形②及簡單支鏈Ⅱ共同構成，簡記為LOOP2。

由式(4)可得，其獨立位移方程數為

由式(3)可得，整個機構自由度為

因此，該機構自由度為3，當取移動副P11、P21、P31作驅動副時，動平臺可以實現三平移(3T)的運動輸出。

2.2.3耦合度

由式(5)分別計算得2個回路約束度為

這樣，第1、2回路可分別構成SKC1、SKC2，其耦合度由式(7)分別計算得

因此，機構耦合度為零，可求得符號式位置正解；又由于P11、P21分布于SKC1，且SKC1的位置具有自確定性，因此，機構具有輸入-輸出運動解耦性。

3 機構位置

3.1 坐標系建立

機構運動學建模如圖3所示。子運動鏈SKC1在XOY平面的投影如圖4a所示，子運動鏈SKC2在YOZ和XOZ平面的投影如圖4b、4c所示，并由θ1、θ2、θ3限定點B1、B3、C3的位置。

圖3 3T并聯機構的運動建模圖Fig.3 Kinematic modeling of 3T parallel mechanism

圖4 子運動鏈SKC運動學建模Fig.4 Kinematic modeling of sub-kinematics chains

點A1、A2和A3分別代表3個移動副P11、P21、P31的位置；點B1、C1、B3、D3為相應轉動副R12、R13、R32、R35的位置；點C3為虎克鉸R33、R34兩個轉動副軸線的交點；點C2、B2和T、S為兩個平行四邊形短邊的固接點，且點S為子動平臺末端點；機構動平臺的兩個端點為點D3、T，而點P為其中心點。

設構件尺寸參數為：lA1B1=l1；lA2B2=l5；lA3B3=l9；lB1C1=l2；lC1S=l3；lC2S=l4；lB3C3=l8；lC3D3=l7；lB2C2=q1；lST=q2；lTD3=2l6。點A3在靜坐標系下，只在Z軸方向上移動，故其X、Y軸坐標為固定值，即XA3=0,YA3=-l10。

3.2 位置正解求解

已知靜平臺3個驅動副的輸入分別為ρ1、ρ2、ρ3，求動平臺的3個輸出，即P=(PX,PY,PZ)。易知A1=(ρ1,0,0)，A2=(0,ρ2,0)，A3=(0,-l10,ρ3)，B1=(ρ1-l1,0,0)，B2=(0,ρ2-l5,0)，B3=(0,-l10+l9,ρ3)。

由Ai、Bi(i=1，2，3)的坐標，可直接求得SKC1、SKC2的運動位置。

(1)在SKC1(A1-B1-C1-S-C2-B2-A2)中有

C1=(ρ1-l1-l2sinθ1,l2cosθ1,0)
S=(ρ1-l1-l2sinθ1-l3,l2cosθ1,0)
C2=(ρ1-l1-l2sinθ1-l3,l2cosθ1+l4,0)

由幾何約束lB2C2=q1列出位置方程，并求得

G1sinθ1+G2cosθ1+G3=0

(8)

(2)在SKC2(A3-B3-C3-D3-P-T-S)中有

由幾何約束lTD3=2l6，列出位置方程，并求得

(9)

進一步，由幾何約束lST=q2列出位置方程，并求得

(10)

由式(8)～(10)可得點T、D3的坐標，由此可得其中心點P的位置為

(11)

顯然，因式(8)中有m=±1，式(10)中有n=±1，動平臺的點P共有4組解。

3.3 位置逆解求解

已知動平臺上P=(Px,Py,Pz)，求輸入ρ=(ρ1,ρ2,ρ3)。

(1)由點P坐標，求得點T、D3坐標為

D3=(PX,PY-l6,PZ)
T=(PX,PY+l6,PZ)

記S=(SX,SY,0)，且SX=PX，由幾何約束lST=q2，得

(12)

同時，求得

C1=(PX+l3,SY,0)C2=(PX,SY+l4,0)

(2)由幾何約束lB1C1=l2和lB2C2=q1，可得

(13)

(14)

設定桿B3C3與Z軸負方向的夾角為θ2，則可求得點C3的坐標為

C3=(0,-l10+l9+l8sinθ2,PZ)

由幾何約束lC3D3=l7列出位置方程，求得

(15)

于是，由式(13)～(15)可得位置逆解為

(16)

其中，u=±1、v=±1、w=±1。

由式(11)、(16)可知，理論上該機構存在16組逆解。

3.4 位置正逆解數值驗證

設機構各桿件參數為：l1=100 mm，l2=180 mm，l3=80 mm，l4=60 mm，l5=100 mm，l6=50 mm，l7=l8=180 mm，l9=60 mm，l10=560 mm，q1=q2=180 mm。

在SolidWorks中的機構三維圖上，取兩組輸入參數如下：①ρ1=355.95 mm，ρ2=344.09 mm，ρ3=285.80 mm。②ρ1=353.17 mm，ρ2=268.28 mm，ρ3=333.98 mm。

由式(8)～(11)，用Matlab求得理論位置正解，如表1所示。

表1 位置正解計算值Tab.1 Calculated value of positive position solution mm

再將表1中的數值代入式(12)～(16)，可得逆解數值如表2所示。

表2 位置逆解計算值Tab.2 Calculated value of inverse position solution mm

誤差在1%之內，故驗證了正逆解公式推導的正確性。

4 機構奇異性分析

4.1 奇異位形分析

4.1.1在SKC1中

為求解SKC1中的雅可比矩陣，需在SKC1中建立位置約束方程。此時，設SKC1子動平臺末端的輸出點S=(xS,yS,0)，則

(17)

由桿長lB1C1=l2和lB2C2=q1得2個約束方程為

(18)

(19)

其中

根據矩陣A、B是否奇異，將機構奇異位形分為兩類。

(1)逆向運動學奇異

當機構發生逆向運動學奇異時，即det(B)=0，矩陣B可視為兩個行向量，此時，矩陣B內至少有一個向量為零向量，即

g11=-(xB1-xC1)=0

即點B1、C1的x坐標值相等，此時，從動桿B1C1與沿著X軸的導軌垂直，如圖5所示。

圖5 SKC1逆向運動學奇異位形Fig.5 Inverse kinematic singular configuration of SKC1

點B2、C2的y坐標值相等時有

g22=-(yB2-yC2)=0

此時，從動桿B2C2與沿著Y軸的導軌垂直，即平行四邊形兩長邊重合。

上述兩種奇異發生時，驅動端有速度，但是末端速度為零，機構容易出現卡死。當B2C2與導軌垂直時，平行四邊形副兩長桿重合，桿件發生干涉，該種情況顯然不存在；同樣，由于驅動副運動范圍限制，從動桿B1C1同樣無法運動到與驅動軸線垂直的情況，故這種奇異不需要過多考慮。

(2)正向運動學奇異

圖6 SKC1正向運動學奇異位形Fig.6 Forward kinematic singular configuration of SKC1

4.1.2在SKC2中

為求解SKC2中的雅可比矩陣，將SKC2視為一個獨立的機構，并將SKC1中點S的輸出作為SKC2中的XOY平面內二維平動輸入，而另一個輸入由沿著Z軸移動的移動副A3產生。

由兩個幾何條件lB3C3=l8、lST=q2和一個位置關系xT=xS，得位置約束方程為

(20)

(21)

其中

根據矩陣C、D是否奇異，將機構的奇異位形分為兩類。

(1)逆向運動學奇異

將矩陣D視為3個行向量，機構發生逆向運動學奇異時，det(D)=0，顯然，矩陣無法線性相關，故矩陣D內至少有一個零向量，即

zB3-zC3=0

即點B3和C3的Z軸坐標值相等，此時從動桿B3C3與Z軸呈90°，桿A3B3、桿B3C3兩桿共線，如圖7所示。

圖7 SKC2逆向運動學奇異位形Fig.7 Inverse kinematic singular configuration of SKC2

點S和點T的Y軸坐標值相等時有

yS-yT=0

此時，桿ST與Z軸平行，即平行四邊形機構2的兩長桿重合。此類情況由于機構桿件的干涉或重合以及驅動副運動范圍的限制，在實際運動中不可能到達，故不作過多考慮。

(2)正向運動學奇異

圖8 SKC2正向運動學奇異位形Fig.8 Forward kinematic singular configuration of SKC2

對于只含有一個SKC的機構，機構奇異性分析只能在單個SKC內求解整體機構的輸入輸出速度雅可比矩陣，并據此來分析機構的奇異情況。此時，其奇異既可存在于某個支鏈上，也可存在于支鏈之間。

4.2 機構奇異曲線/曲面繪制

采用Maple軟件和SIROPA[28]工具包對該并聯機構進行代數方程建模，并基于SKC單元分析其奇異曲線/曲面。

4.2.1SKC1奇異曲線

(1)逆向運動學奇異(串聯奇異)

運用SIROPA中的SerialSingularities函數，得到一組滿足串聯奇異的多項式s1

(22)

運用Projection函數對式(22)進行消元，求得一個僅包含2個輸出變量的約束方程s1_cart

(23)

利用Plot2D函數表達出s1_cart方程，即為機構SKC1的串聯奇異曲線，如圖9所示。圖中坐標x1和y1分別代表s1_cart方程中的輸出變量x1和y1，單位為分米(dm)。

圖9 SKC1的串聯奇異曲線Fig.9 Serial singular curves of SKC1

(2)正向運動學奇異(并聯奇異)

運用SerialSingularities函數得到一組滿足并聯奇異的多項式s2

(24)

運用Projection函數對式(24)進行消元投影，得到一個僅包含輸出變量x1、y1的二次約束方程s1_cart

(25)

利用Plot2D函數表示出s2_cart，即為機構SKC1的并聯奇異曲線，如圖10所示。圖中坐標x1和y1分別代表s2_cart方程中的輸出變量x1和y1。

圖10 SKC1的并聯奇異曲線Fig.10 Parallel singular curves of SKC1

4.2.2SKC2奇異曲面

利用SIROPA中的CreateManipulator函數對SKC2進行建模。此時，以SKC1的末端輸出作為SKC2的輸入，SKC2的輸出即為機構動平臺的輸出。

給定3個輸入x1=0，y1=-150 mm，ρ3=240 mm后，即可通過SIROPA程序包進行奇異性分析。

(1)逆向運動學奇異(串聯奇異)

運用SerialSingularities函數，求得一組滿足串聯奇異的多項式s12

(26)

其次，運用Projection函數，對式(26)進行Grobner基消元，求得只含3個輸入變量(x1，y1，ρ3)的約束方程s12_art

(27)

故使用Plot函數列里的Plot3D函數表達3個變量的s12_art隱式約束方程的曲面，即為SKC2的串聯奇異曲面，如圖11所示。圖中坐標x1、y1和ρ3分別代表s12_art方程中的變量x1、y1和ρ3。

圖11 SKC2的串聯奇異曲面Fig.11 Serial singular surfaces of SKC2

(2)正向運動學奇異(并聯奇異)

通過Analysing函數列里的函數ParallelSingularities，得到一組滿足并聯奇異的多項式s22

(28)

通過Projection函數對式(28)進行Grobner基消元，得到只含有3個輸出變量x2、y2、z2的約束方程s22_cart

(29)

運用Plot3D函數表達出s22_cart隱式約束方程的曲面，即為SKC2的并聯奇異曲面，如圖12所示。圖中坐標x2、y2和z2分別代表s22_cart方程中的變量x2、y2和z2。

圖12 SKC2的并聯奇異曲面Fig.12 Parallel singular surfaces of SKC2

5 機構工作空間求解

5.1 SKC1

根據3.1節中給定的機構桿長參數，利用離散元方法及位置正解式(8)～(11)對機構進行坐標值搜索，可求得機構中SKC1的工作空間。然后，避開奇異位置，在SKC1的工作空間內截取一個規則的正方形，邊長為300 mm，作為其任務工作空間；又可看成SKC2中點S的輸入范圍，如圖13所示。

圖13 SKC1的任務工作空間Fig.13 Task workspace of SKC1

5.2 SKC2

因SKC1可達工作空間為SKC2的部分輸入的范圍，機構動平臺的工作空間為SKC2在SKC1的末端運動(X-Y)范圍下的輸出工作空間。故SKC1的工作空間決定了機構整體在XOY平面上的運動范圍，而簡單支鏈Ⅱ決定了機構整體在Z方向的運動空間，從而可基于子工作空間疊加原理求解出SKC2的工作空間。然后，在此工作空間內截取出一最大規則無奇異任務工作空間：300 mm×150 mm×120 mm，如圖14所示。

圖14 SKC2的任務工作空間Fig.14 Task workspace of SKC2

因此，三平移并聯機構整體任務工作空間是以SKC1的平面工作空間為基準，由SKC2沿Z軸生成的工作空間為約束，最終得到一個300 mm×150 mm×120 mm的規則無奇異立體工作空間。

6 結論

(1)設計了一種三平移(3T)并聯機構，該機構耦合度為零，由兩個SKC組成，具有符號式位置正解且部分運動解耦特性。

(2)采用基于SKC單元的奇異分析方法對該并聯機構的奇異位形進行了分析，該法可找出SKC內部的所有奇異位形，并利于求解機構無奇異的規則工作空間。